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悖论集锦 (1) –- 逻辑学中也有悖论意味着什么？

程京德

“逻辑学是一门研究论证与推理之正确性的基础性学问，其目的为建立和建全用于判断各种论证与推理之正确性的一般标准。” [1]  如同13世纪苏格兰哲学家神学家司各特(John Duns Scotus)所说，“逻辑学是科学之科学，技艺之技艺 (Logic is the science of sciences, and the art of arts)”。 “逻辑学是最最重要的学问，没有任何其它学问比逻辑学更重要，因为逻辑学是任何其它学问之基础。” [2] “俗话说，逻辑学是“讲道理”的学问，并且，逻辑学要讲的是“一般的道理”，要追究的是不依赖于具体事物、放之四海而皆准的“一般的准则”。逻辑学有着其它学问所不具备的应用广泛性，恰恰是因为其一般性。这是逻辑学作为一门学问最最本质的特征。” [2]  逻辑学历史悠久、内容丰富、应用广泛，可以毫不夸张地说，如果没有逻辑学提供的最最一般的正确性判别标准，我们人类社会就不可能发展到今天如此之先进 [3-10]。

逻辑学之古老的、有趣的、有效的用途之一就是用来辨识、分析、解决各种悖论问题。本系列文章将为读者展现悖论世界里形形色色的悖论实例以及解决方案。作为首篇，本文先澄清一个哲学问题：逻辑学中也有悖论意味着什么？

悖论之定义

因为各种悖论牵涉到自然语言表达及语义、逻辑学、数学、物理学、伦理学、甚至医学和生物学等等多个方面，所以，把“悖论”定义清楚本身就不是一件容易的事情。应该说，直到现在，并没有一个被普遍认可的对悖论的标准定义。下面介绍一些具有代表性的悖论定义。

悖论(paradox)，在牛津英语词典[11]里的解释为：

“一个与公认的观点或信念相反的陈述或信条；往往带有奇妙或不可思议的涵义；有时具有不利的含义，如与公认的真理不一致，因此是荒谬或荒诞的；有时具有有利的含义，作为对庸俗错误的纠正。(A statement or tenet contrary to received opinion or belief; often with the implication that it is marvellous or incredible; sometimes with unfavourable connotation, as being discordant with what is held to be established truth, and hence absurd or fantastic; sometimes with favourable connotation, as a correction of vulgar error.)”  “一个与观众之预期相反的结论或归结。(A conclusion or apodosis contrary to what the audience has been led up to expect.)”

“一个表面上看起来自相矛盾、荒谬或与常识不符的陈述或命题，尽管经过调查或解释，它可能被证明是有根据的（或者，根据一些人的说法，尽管它本质上是真实的）。(A statement or proposition which on the face of it seems self-contradictory, absurd, or at variance with common sense, though, on investigation or when explained, it may prove to be well-founded (or, according to some, though it is essentially true).”  “通常用于一个命题或陈述，该命题或陈述实际上是自相矛盾的，或与理性或确定的真理相矛盾，因此本质上是荒谬和虚假的。Often applied to a proposition or statement that is actually self-contradictory, or contradictory to reason or ascertained truth, and so, essentially absurd and false.)”  “在逻辑学中的这样一个陈述或命题，它从一个可接受的前提出发，以合理的推理，但得出一个违背常理、逻辑上不可接受或自相矛盾的结论；通常按其名称，特别是按其提出的问题或提出的问题类型来区分。(Logic. A statement or proposition which, from an acceptable premise and despite sound reasoning, leads to a conclusion that is against sense, logically unacceptable, or self-contradictory; freq. distinguished by name, esp. of its propounder or of the type of problem it raises.)”

悖论(paradox)，在斯坦福哲学百科全书[12]里的解释为：“所谓‘悖论’通常是指一种主张的事情超出（甚至反对）‘普遍观点’（通常被相信或持有的观点）的陈述。自理性思维起源以来，悖论就成为哲学研究的自然对象。它们作为复杂论证的一部分和作为反驳哲学论题的工具而被发明的。(By “paradox” one usually means a statement claiming something which goes beyond (or even against)‘common opinion’ (what is usually believed or held). Paradoxes form a natural object of philosophical investigation ever since the origins of rational thought; they have been invented as part of complex arguments and as tools for refuting philosophical theses.)”

悖论(paradox)，在互联网哲学百科全书[13]里的解释为：“一个悖论通常是一个令人困惑的结论，我们似乎在推理的驱使下得出这样的结论，但这结论却是非常违反直觉的。在这些悖论中，有各种各样的逻辑性质的悖论，甚至连专业逻辑学家都感到困惑，某些甚至困惑了逻辑学家长达数千年。但现在被独立出来作为“逻辑悖论”的是一个不那么异质的悖论集合：它们是一组以自我指涉概念为中心的自相矛盾，其中一些在古代就已经为人所知，但大多数在上世纪初变得尤为突出。(A paradox is generally a puzzling conclusion we seem to be driven towards by our reasoning, but which is highly counterintuitive, nevertheless. There are, among these, a large variety of paradoxes of a logical nature which have teased even professional logicians, in some cases for several millennia. But what are now sometimes isolated as “the logical paradoxes” are a much less heterogeneous collection: they are a group of antinomies centered on the notion of self-reference, some of which were known in Classical times, but most of which became particularly prominent in the early decades of last century.)”

美国著名逻辑学家 Quine 认为，“笼统地说，悖论就是任何一个一开始听起来很荒谬但是却有一个论证支持的结论。(May we say in general, then, that a paradox is just any conclusion that at first sounds absurd but that has an argument to sustain it?)”[14] 

Haack 认为，悖论就是“从显然无懈可击的前提出发，通过显然无懈可击的推理所得出的相互矛盾的结论。 (Well， what exactly is the problem? – that contradictory conclusions follow by apparently unexceptionable reasoning from apparently unexceptionable premises.)”[15] “这表明解决方案有两个要求；它应该给出一个一致的（语义的或集合论的，视情况而定）形式理论 -- 换句话说，应该指出哪些明显无懈可击的前提或推理规则必须被禁止（形式的解决方案）；此外，它还应该提供一些解释，解释为什么前提或推理原则尽管表面上看起来是无懈可击的但是实际上却是可反驳的（哲学的解决方案）。(This suggests two requirements on a solution; that it should give a consistent formal theory (of semantics or set theory as the case may be) – in other words, indicate which apparently unexceptionable premises or principle of inference must be disallowed (the formal solution); and that is should, in addition, supply some explanation of why that premise or principle of inference is, despite appearances, exceptionable (the philosophical solution).)”[15] 

Sainsbury 认为，一个悖论就是“由明显地可接受的前提通过明显地可接受的推理得出的一个明显地不可接受的结论。(an apparently unacceptable conclusion derived by apparently acceptable reasoning from apparently acceptable premises.)”[16] “外表必然具有欺骗性，因为可接受的事情不可能通过可接受的步骤走向不可接受的事情。 所以，一般来说，我们有一个选择：要么结论并非真的不可接受，要么出发点或推理有一些不明显的缺陷。(Appearances have to deceive, since the acceptable cannot lead by acceptable steps to the unacceptable. So, generally, we have a choice: either the conclusion is not really unacceptable, or else the starting point, or the reasoning, has some non-obvious flaw.)”[16]  

Lycan认为，“一个悖论就是一组不一致的命题，其中每一个命题都是非常合理的。要解决悖论，就要根据一些原则性理由决定放弃哪些命题。(More generally, then, a paradox is an inconsistent set of propositions, each of which is very plausible. And to resolve a Paradox is to decide on some principled grounds which of the propositions to abandon.)”[17]。

年轻有为的英国哲学家数学家Ramsey 在1925年对悖论做过一次区分：逻辑悖论(logical paradoxes)和语义悖论(semantical paradoxes)[12,18,19]，把罗素悖论（请参阅后续文章）划为逻辑悖论，把说谎者悖论（请参阅下面及后续文章）划为语义悖论。Ramsey 引入了逻辑矛盾和认识论矛盾之间的标准区别，逻辑矛盾仅涉及逻辑或数学术语，但语义矛盾除了纯粹的逻辑术语外，还涉及“思想”、“语言”、“表象/象征”等认识论概念 [12,18,19]。

Quine 在1961年对悖论做了一次分类，他首先分离出“真实的(veridical)”和“虚假的(falsidical)”悖论，这些悖论虽然令人费解，但经过一番检查后，最终被证明它们要么是明显正确的，要么是明显错误的 [13,14,17]。然而，除上述两种之外，还有“通过公认的推理方式产生自我矛盾(produce a self-contradiction by accepted ways of reasoning)”的第三种悖论。

古代悖论举例：埃庇米尼得斯/克里特悖论和芝诺悖论

古希腊传说中的哲人诗人预言家埃庇米尼得斯(Epimenides of Crete)是古希腊克里特岛人，传说他于公元前6世纪说过一句话：“所有克里特人都说谎。”，被称之为埃庇米尼得斯/克里特悖论[13-15,20,21,24-26]。因为埃庇米尼得斯自己就是克里特岛人，所以他的这句话是很明显的矛盾命题。

埃庇米尼得斯/克里特悖论的特征是自指(self-reference)，由此悖论衍生出来的许多版本，在现代被称之为“说谎者悖论”[12-16,20,21,24-26],是最典型的自指形式悖论。哥德尔的“PM及相关系统的形式不可判定命题”（哥德尔不完全性定理）[22,23]，本质上也与自指概念相关，甚至也被称之为一种悖论 [14]。

    古希腊哲学家芝诺(Zeno of Elea)于公元前5世纪提出了关于运动及无限的几个悖论，这些悖论由于被记载在亚里士多德的《物理学》一书中而传世，现代有关悖论历史的文献几乎没有不言及这些悖论的[12-14,16,24-25,27-31]。

    阿基里斯悖论，这个著名的悖论由芝诺发表于公元前5世纪。芝诺提出，让乌龟与阿基里斯（古希腊传说中跑得最快的人）进行赛跑，乌龟在阿基里斯前面1000米处出发，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑完1000米时，其所用时间为t，此时乌龟还领先于他100米；当阿基里斯继续跑完下一个100米时，其所用时间为t/10，乌龟仍然还领先于他10米；当阿基里斯继续跑完下一个10米时，其所用时间为t/100，乌龟仍然还领先于他1米，……， 芝诺主张，阿基里斯能够持续地逼近乌龟，但是却永远不可能追上乌龟。

    这个悖论在亚里士多德的《物理学》一书中被陈述为，“运动得最慢的物体不会被运动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追赶者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追赶者总是在追赶者前面。”

对于上述埃庇米尼得斯/克里特悖论（说谎者悖论）和芝诺悖论，将在后续文章中详细讨论。

现代悖论举例：标准规范逻辑里的悖论

笔者在本文开始说道“逻辑学之古老的、有趣的、有效的用途之一就是用来辨识、分析、解决各种悖论问题”，这当然意味着逻辑学是用来辨识、分析、解决各种悖论问题的工具。但是，实际上，逻辑学自身也有悖论！最为熟知的是经典数理逻辑中的实质蕴含悖论以及模态逻辑中的严格蕴涵悖论[4,8,32,33]。这里给出笔者关于规范相关逻辑研究工作中的实例 [34]。 

规范(道义)逻辑(deontic logic)是一种模态逻辑，是现代哲学逻辑的一个分支，涉及义务与许可及相关概念，可以用于表达和推理关于行为主体的实际的和理想的状态或行为 [34,35]。通常，规范逻辑有两个模态算子，O 和 P，用 OA 来表示命题 A 是义务的（应该是 A，A 应该为真），用 PA 表示命题 A 是许可的（可以是 A，A 可以为真）；算子 P 可以用算子 A 定义为 PA =df !O!A (!表示否定)；O!A 或者 !PA 就表示 A 是禁忌的（禁止是 A，A 不可以为真）。

由芬兰著名逻辑学家 von Wright最早提出的规范逻辑系统通常被称为标准规范逻辑(SDL, standard deontic logic)，它是经典数理逻辑命题演算的一个保存扩张，添加了模态算子 O、逻辑公理模式 O(A→B)→(OA→OB) 和 !(OA & O!A)（亦即，OA→PB）、以及推理规则 O-必然化(O-necessitation)：如果 A 是 SDL 的一个逻辑定理，那么 OA 也是。

在SDL 中，有一些逻辑定理或有效推理的结论是被认为是悖论，因为它们的自然语言解读与我们人类的直觉相悖。这里仅举一例如下：

衍生义务悖论。在 SDL 中，OA→O(!A→B) 是一个逻辑定理。这个逻辑式如果按照规范逻辑的语义解释是，“如果 A 应该是真的，那么条件句‘如果 A 不为真，那么任意的 B 都为真’就应该是真的”，这在我们通常的思维中不会被认为是有效的。

对于这个悖论的解决方案及 SDL 中的其它悖论实例，将在后续文章中详细讨论。

逻辑学中也有悖论意味着什么？

现在我们可以澄清题设问题了。

首先需要澄清的是，“逻辑学中的悖论”与“逻辑悖论”并不是同一件事。通常所说“逻辑悖论”，广义地说，是指在悖论的产生有逻辑上的原因和问题，产生这些悖论的语境并非逻辑学而可能是现实世界中的任何场景；而产生“逻辑学中的悖论”的语境就是逻辑学，原因和问题就出在逻辑学自身之中。

其次，“逻辑悖论”，尽管对其定义可能稍有不同，大概是绝大多数研究和讨论悖论的学者们都认可的概念，而“逻辑学中的悖论”却不被一些学者所认可。这些学者主张，所谓“逻辑学中的悖论”，仅仅是（各种）逻辑学中有一些与我们人类思维直觉不符的事情而并非逻辑矛盾，它们就不是悖论，逻辑学作为规范性学问，就不应该有悖论存在。笔者认为，在哲学上逻辑学上没有对“悖论”这一概念或学术用语给出被学术界统一认可的定义之时，笼统地说什么是悖论什么不是，这本身就“很不逻辑”，毫无意义。而如果在某个“悖论”判别标准之下来说什么是悖论什么不是，那么就仅仅是一家之言，并没有普遍意义。

再次，如果某种逻辑系统中的确有与我们人类思维直觉不符的事情，那么无论名称是否被叫做“悖论”，这些事情都是需要解决的“问题”，这一点应该是毋庸置疑的。实际上，恰恰是这些问题及其解决方案/方向，促进了逻辑学的发展。比如，如今已经发展为庞大家族的现代模态逻辑，就是当年美国逻辑学家 Lewis 为了解决经典数理逻辑中的“实质蕴涵悖论”问题而提出了严格蕴涵概念之后发展起来的；而现代相关逻辑家族，也恰恰是德国逻辑学家 Ackermann 为了解决经典数理逻辑中的“实质蕴涵悖论”和模态逻辑中的“严格蕴涵悖论”问题而提出了严密蕴含概念之后发展起来的；笔者本人将传统(弱)相关逻辑改造成为强相关逻辑，也是为了解决前者中的“相关蕴涵悖论”问题 [4,8,32,33]。

最后，借用一句名言（出处不论），“实践是检验真理的唯一标准”，笔者认为，只要任何逻辑系统中被发现有与我们人类思维直觉相悖的“悖论”问题，那么，我们就应该也必须去解决它，这是逻辑学作为最最基本的规范性学问义不容辞的“学科责任”！

本系列文章后续各篇将陆续为读者展现悖论世界里形形色色的悖论实例以及解决方案/方向。

参考文献

[1] 程京德，“逻辑学是什么”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月25日。

[2] 程京德，“逻辑学之重要性（及对其在中国被轻视之原因初探）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月27日。

[3] 程京德，“为什么在逻辑学中存在有如此众多的不同逻辑系统？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月28日。

[4] 程京德，“条件句：逻辑学中的最核心概念及最大难题”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月29日。

[5] 程京德，“形式理论：将形式逻辑系统应用于具体对象领域的逻辑基础”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年1月30日。

[6] 程京德，“形式逻辑系统中逻辑归结关系的形式化定义方法”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年2月1日。

[7] 程京德，“推理与证明之不同”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年5月7日。

[8] 程京德，“强相关逻辑及其应用（上）、（中）、（下）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年6月18日、2023年8月8日、2023年8月12日。

[9] 程京德，“现代逻辑之未来 – 从相关逻辑到量子逻辑（纲要）”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年7月25日。

[10] 程京德，“实现人工通用智能的关键必由之路 -- 基于强相关逻辑的形式理论自动定理发现”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年10月19日。

[11] Oxford English Dictionary, 2nd Edition, Oxford University Press, 1989. 

[12] A. Cantini, “Paradoxes and Contemporary Logic,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2007, 2021. 

[13] B. H. Slater, “Logical Paradoxes,” The Internet Encyclopedia of Philosophy.

[14] W. V. Quine, “The Ways of Paradox,” in “The Ways of Paradox and Other Essays,” Random House, 1966, “The Ways of Paradox and Other Essays (Revised and Enlarged Edition),” Harvard University Press, 1976. [Early published under the title “Paradox” in Scientific American, Vol.206, pp. 84-96, 1962.] 

[15] S. Haack, “Philosophy of Logics,” Cambridge University Press, 1978.

[16] R. M. Sainsbury, “Paradoxes, 3rd Edition,” Cambridge University Press, 1987, 1995, 2009.

[17] W. G. Lycan, “What, Exactly, is a Paradox?” Analysis, Vol. 70, No. 4, pp. 615-620, 2010. 

[18] F. P. Ramsey, “The Foundations of Mathematics,” Proceedings of the London Mathematical Society (Series 2), Vol. s2-25,Issue 1, pp. 338–384, 1926; in R.B. Braithwaite (ed.), “The Foundations of Mathematics and Other Logical Essays,” pp. 1–61,Kegan Paul, Trench, Trubner, & Co., 1931; in D. H. Mellor (ed.),“F.P. Ramsey: Philosophical Papers,”Cambridge University Press, 1990.

[19] F. MacBride, et al., “Frank Ramsey,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2019, 2023.  

[20] J. Beall, “Liar Paradox,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2011, 2016.

[21] B. Dowden, “Liar Paradox,” The Internet Encyclopedia of Philosophy. 

[22] 程京德，“‘PM及相关系统的形式不可判定命题’ (1) -- 哥德尔不完全性定理的历史背景及内容”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年5月23日。

[23] 程京德，“‘PM及相关系统的形式不可判定命题’ (2) -- 哥德尔不完全性定理的涵义及有效范围”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年6月13日。

[24] W. Poundstone, “Labyrinths of Reason: Paradox, Puzzles, and the Frailty of Knowledge,” Anchor Press, 1988. 

[25] M. Clark, “Paradoxes: from A to Z, 3rd Edition,” Routledge, 2002, 2007, 2012.

[26] 三浦俊彦，“論理パラドックス – 論証力を磨く９９問”，二见书房, 2002。

[27] N. Huggett, “Zeno’s Paradoxes,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2002, 2018. 

[28] J. Palmer, “Zeno of Elea,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2008, 2021. 

[29] B. Dowden, “Zeno’s Paradoxes,” The Internet Encyclopedia of Philosophy. 

[30] 林晋，“パラドックス！”日本评论社, 2000。

[31] 三浦俊彦，“論理サバイバル– 議論力を磨く１０８問”，二见书房, 2003。

[32] 程京德，“哲学逻辑(1)-何谓‘哲学逻辑’？”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年8月29日。

[33] 程京德，“哲学逻辑(2)–模态逻辑”，微信公众号“数理逻辑与哲学逻辑”，科学网博客，2023年8月30日。

[34] T.Tagawaand J.Cheng, “Deontic Relevant Logic: A Strong Relevant Logic Approach to Removing Paradoxes from Deontic Logic,” in M. Ishizuka and A. Sattar  (Eds.), “PRICAI 2002: Trends in Artificial Intelligence, 7th Pacific Rim International Conference on Artificial Intelligence, Tokyo, Japan, August 18-22, 2002. Proceedings,” Lecture Notes in Artificial Intelligence, Vol. 2417, pp. 39-48, Springer, 2002.

[35] P.McNamara, “Deontic Logic,” The Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2006, 2021. 

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