1    贴出博文“刘徽与祖冲之的圆周率”后，请一位前辈批评。前辈从微信送来电子书，说“我的北大同学张景中院士曾在《数学家的眼光》书中讨论了密率，现转上请阅”。书中没有介绍祖冲之计算圆周率，只是赞叹密率355/113 的精美，并以连分数予以验证。 

[1]  张景中. 数学家的眼光. 中国少年儿童出版社, 1990.

不过，院士没有告诉中学生“小数点和零都是从国外传入，我国古代并没有小数的运算”。古代用整数和分数，如现在说朔望月平均29.53059 天，秦汉时则说朔策二十九天 又九百四十分之四百九十九天(29.53085)；确定起始月份后，从0逐月加499，超过940 则是大月，扣除940 得小余；若某月小余达到882以上，则其后两个月都是大月。隋朝用朔策29又607/1144天(29.53059) ——基于两次日食相距33783天而历1144个月。天文史研究朔策的来源而不必赞叹数字的精确。又，这是以平朔确定月首，与实朔时有偏离。

2     我国数学史关于圆周率还有一桩公案：晚清曾纪鸿(1848–1881)等有没有以反正切公式计算圆周率至小数点后百位。从文[2,3]剪贴部分内容，博友一看就能明白大概。

[2]  许康. 一篇算草蔚成家——纪念曾纪鸿诞生140周年.中国科技史料, 1988,(2):45-51

[3]  高红成.《圆率考真图解》注记——曾纪鸿有没有计算出π的百位真值? 中国科技史杂志, 2019,40(2):185-191 

崔朝庆、钱宝琮在百年之前已注意到曾纪鸿等计算的疏漏——作为示例的二十四位真值计算有四处错误，怀疑所列百位数值“有所本耶”。文[2，3]有所解释——可能为刊刻之误，并说 

3   笔者对真伪不敢发表意见；不过，从计算过程可见晚清数学真是落后。略述如下。

(甲)  以五分之反正切即式(3) 计算，其计算量大于式(1) 即A(1/2)+ A(1/3)，且引入A(5/27) 计算更为繁难。

(乙)  既然知道正切差公式，也知道A(1) = A(1/2)+ A(1/3)，那么A(1/2) = A(1/3)+ A(1/7)  和  A(1/3) = A(1/4)+ A(1/13)，真是一眼可见，则以 π/4 = 2A(1/4) + A(1/7) +2A(1/13) 计算，工作量只是所用式(3)之半或更少。反正切函数简记为A(x)。

请注意，曾纪鸿、左潜、黄宗宪实际参与计算，且得到丁取忠的关注：四人都没有注意到如此简单的换算？

(丙)  如果曾纪鸿等注意到A(1/3) = A(1/5)+ A(1/8)，给出下面的推导

π/4 = A(1) = A(1/2)+ A(1/3) = 2A(1/3) + A(1/7)

= 2A(1/5) + A(1/7) +2A(1/8) = 2A(1/5) +3A(1/8) + A(1/57) ，

或许还能称“晚清数学家”。

(丁)  1859年黎曼提出至今未获证明的伟大猜想，刊刻《圆率考真图解》的1874年，欧洲已计算圆周率至707 位，且不说此前一百六十八年，即1706年Machin 发现公式

 π/4 = 4A(1/5) –A(1/239) ，计算圆周率至小数点后百位：因  2A(1/5) =  A(5/12), 有

 A(1) = A(1/2)+ A(1/3)=  2A(1/5)– A(2/29)+2A(1/5)+ A(3/41) = 4A(1/5) –A(1/239)

其思路容易理解：1/5 可写为2/10 计算便利，所余为A(1/239)而不是A(a/b) ，那真是运气好啊。

又及，A(1/239)=A(1/250)+ A(11/59751)=A(4/1000)+A(1/5432)+ A(1/324567443)

需写成三项，有些可惜。

(戊)  黄宗宪1876年在英国见到158位的圆周率，“即翻行篋，检昔日与曾、左两君所推得百位者校之，一一吻合，何快如之! 谨录一纸寄归中华，想果师(丁取忠) 与栗兄(曾纪鸿) 见之当亦欣喜”，却没有考校计算方法之优劣，可为一叹。 

4   晚清落后的原因之一或许是“没有出现福泽谕吉(1835－1901)那样的学者”。