无限集与其真子集的映射关系是集合论的一个重要问题，必须加以严格的考察。

   定理1 无限集与其真子集之间的映射是单射而不是双射。

 证明：设 A 是无限集合 B 的无限真子集，C=B-A，则 B=A∪C，现将 A 视作另一个独立的集合，并用A^#表示。显然，由于 C 的存在，映射 A^#→B 是单射而不是双射。具体来说，A^# 与B中的 A 是同一个集合，外延相同，故可在 A^# 与 A 之间建立一一对应，但 C 的任何一个元素在 A^# 中都没有原像，所以映射 A^#(即A)→B 之间是单射而不是双射。证毕

        以上证明简单且清楚，那么康托又是怎么证明无限集合与其真子集可以一一对应呢？

  以下以

   N={1，2，3，……}                                                  （1）

和

N₁={0}∪N={0，1，2，……}                               （2）

为例说明康托的证明方法及其错误。

  为了判断两个集合之间能不能建立一一对应，可以将一个无限集合看作显集合和隐集合之并^【1】，例如，N={1，2，3……}={1，2，3}∪{……}，则易证:
         命题1 若两个集合的显集合和隐集合中只有两个显集合(或隐集合)能一一对应，而两个隐集合(或显集合)不能一一对应，则两个集合不能一一对应。

 康托仅根据（1）（2）的显集合可以一一对应即认为 N 和 N₁ 可以一一对应，并没有考虑两个隐集合是否能够一一对应。

 这样考虑问题显然太简单化了。

        事实上，（1）的隐集合是 N-{1，2，3} 而（2）的隐集合是 N₁-{0，1，2}=N-{1，2}，两个隐集合不同，有何理由可以保证它们一定可以一一对应？根据命题1，当然也无法保证 N 和 N₁ 可以一一对应。
        另一方面，将 N 写成 {1，2，……}，N₁写成{0，1，2，……}，这时两个隐集合分别是N-{1，2} 和 N₁-{0，1，2} = N-{1，2}，它们的外延相同，当然可以一一对应，但两个显集合｛1，2｝与｛0，1，2｝显然不能一一对应，根据命题1，N  与 N₁  不能一一对应。
       康托实际上只考虑了显集合的一一对应，并没有考虑隐集合是否能否一一对应，其证明是不严格的，反映了其思维的简单化倾向，不能成立。

 其实，更清楚的方法是将N₁ 写成

   N₁=N∪{0}={1，2，3……，0}                               （3）

则（1），（3）中的N外延相同，可以一一对应，但（3）中的0元素在（1）中没有原像，与前述一样，（1），（3）也不能一一对应。

 在证明了定理1并确定了 N 和 N₁ 之间不能建立一一对应关系以后，不但所谓整体等于部分悖论已被彻底消除，希尔伯特的无限旅馆悖论以及所谓∞+1=∞等推论显然也不再成立了。

 事实上，如果无限集合能够与其真子集一一对应，那么一一对应的意义就几乎荡然无存了:任何一个人都知道，无限集合的元素数目必定是比其真子集多的。如果在元素数目不相等的两个集合之间能够建立一一对应关系，这就意味着一一对应并不能比较元素数目的多少，而建立在该基础上的势与基数的概念也就与元素数目没有了关系，那么势和基数的概念究竟代表了什么？如果其数学意义都说不清楚，研究它们又有什么意义？又如何应用？

 微信群《相容集合论研究》的群友MAN(以理服人)也认为“说不清等势理论的目的和用途，还怎么应用它？还怎么讨论它？”

 实际上，若否认了定理1，是不可能有人能够真正令人满意地回答这些问题的。

 传统集合论存在许多需要改进的地方，上述问题只是冰山一角。以消灭所有集合论悖论为宗旨的相容集合论^【1】正在做这方面的尝试。

欢迎扫码加入：

【1】相容集合论初探

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&id=1326712#comment