微信群《相容集合论研究》(欢迎扫码入群)中的群友MAN（以理服人）在讨论调和级数时提出了一个悖论（私人通讯）：
       S=1+2+3+4+...
=(1+2)+(3+4)+(5+6)+...
       ①S>1+3+5+...=S_奇
       ②S>2+4+6+...=S_偶

_{--------------------------------}

       S_偶=2+4+6+...
=(1+1)+(2+2)+(3+3)+...
>(1+0)+(2+0)+(3+0)+...
=1+2+3+...=S，即
      ③S_偶>S

      ②③为什么矛盾呢？

我：这个问题很有意思。应该与伽利略悖论^【1】有点类似:
      在第一段中，因为S=S_偶+S_奇 ,故  S_偶和S_奇的自然数数目大约只有S的一半，
      但第二段的S*(与第一段S不是一回事，所以用S*表示)是从S_偶中来的，本来S_偶大约只有S的一半，缩小后的S*又只有S_偶的一半，所以S*≈S/4，并没有悖论。

      虽然这个悖论可以解决，但是很明显，S和S*都是自然集合内元素的加和，但相应的两个自然数集合显然是不同的，否则它们的元素和怎么可能不同呢？
      自然数集合不唯一是相容集合论^【2】的基础，很多问题可以因此迎刃而解。以对角线证明中所列出的实数

a₁，a_2，a_3......                        （1）

为例，其中

a₁=0.a₁₁a₁₂a₁₃a₁₄...

a₂=0.a₂₁a₂₂a₂₃a₂₄...

a₃=0.a₃₁a₃₂a₃₃a₃₄..

......

    其表示小数个数的行标和表示小数位数的列标，显然都是自然数，因此各自组成的集合当然都是自然数集合，但是这两个自然数集合显然是不一样的，只要承认自然数集合不是唯一的，并不会产生任何矛盾：

     设（1）中小数个数为∞₁（相容集合论用清晰且严格的元素数目概念代替了传统集合论的基数概念)，小数位数为∞_2，显然，∞₁>∞₂。不难发现，康托找到的实数

b=0.b₁b₂.....其中，b_k≠a_kk(k=1,2,3...)

的位数与小数的位数恰好相等，也只有∞₂，所以只能保证b不同于∞₂ 个实数中的任何一个，并不能保证b不同于(1)所列出的∞₁ 个实数中的任何一个，不存在任何矛盾。 除非硬要认为只有唯一的自然数集合，即∞₁=∞₂，才会有矛盾。否则，只要承认自然数集合不是唯一的，并没有任何理由认为实数是不可数的。

     在康托定理的证明中，也存在着类似现象: 虽然子集不能与自然数一一对应，但既然自然数集合不是唯一的，就没有理由认为子集不能与其他的自然数集合的元素一一对应。

     用闭区间套法证明实数不可数也存在类似问题^【2】。
     在MAN提出的这个悖论中，如果认为自然数集合是唯一的，并认为与S*相对应的集合N*=｛1，2，3....｝是自然数集合，就会发现N*与S对应的集合N=｛1，2，3....｝无法严格一一对应^【2】，甚至可能因此认为N不可数！

【1】伽利略悖论及其消解

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1328306.html

【2】相容集合论初探

 https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html