无限小数0.999…… 通常被定义为由∞个9组成的小数。虽然1=0.999……在主流数学界以达成共识，但对其证明的严格性仍然有很多质疑。

例如，用高等数学易证n→∞时，lim10^-n=0，但无穷小量的极限0是否能达到，在极限定义中是看不出的:极限定义只讨论了n→∞的情形，但由于任何一个n都是有限的，所以极限定义无法也没有讨论n达到∞的情形。这样，用高等数学并不能证明10 ^-∞=0，进而也无法证明1=0.999……。

本文用初等数学证明了10 ^-∞=0

证明 (反证法)，设

y=10 ^-∞                        （1）                                   

假定

y≠0，                        (2)

这时，因y<0显然不成立，故只能

y>0                           (3)

由lg(y)的图形知，对任何y>0，必有

-lg(y)≠∞                     (4)

故可设

-lg(y)=k(有限值)               (5)

即

y=10^-k                                     (6)

 与（1）矛盾，所以只能y=0成立，证毕

注意，由于y=0时，lg(y)无意义，但采用了反证法后，可以只讨论y>0的情形，从而使得证明得以进行下去:本文从假定y>0出发，得到了矛盾，从而证明了y=0，这是典型的反证法。

由此即可得1-0.999……=10 ^-∞=0

还要注意，对于任意大的有限值n，上述矛盾并不会产生，这就再次验证了任意大不是无限大。

通常，无限小数的位数编号写成

   1，2，3……n，n+1，……

由于其中没有最大数，故无法用任何一个自然数来表示其小数位数(否则这个自然数就变成最大数了)，只能用∞表示。

而有限小数的位数编号通常写成

   1，2，3……n

其中有最大数n，且共有n位小数
   可见无穷小数和有穷小数的区别在于:无穷小数可以达到无穷位，而有穷小数永远只能达到有限的n位。

更深层的理论基础见我上一篇的博文及其评论，其中评论[10]详述了无限的定义.

世界未必是有限的，比如说，如果世界是有限的，有限的世界外面又是什么呢？然而，人们的感官、仪器乃至实践范围始终是有限，无法直接感知到无限，而且往往井蛙观天似地以为有限世界的规律在无限世界也一定是成立的，所以，探索无限世界就主要要依靠人的逻辑思维了。
   比如，对任意n位有限小数0.99……(n个9)，总有1-0.99……(n个9)=10 ^-n﹥0成立，于是就想当然地认为对于无限个9也是这种情况。但逻辑证明这种想当然是错的。
    虽然本文只是一个特例，但不难推广到一般情形，例如，n→∞时lim(1/n)=0，可证明到达极限时1/∞=0。

证明(反证法):假如1/∞≠0，则1/∞﹥0时可设1/∞=x>0，因为x有限，故∞=1/x有限，矛盾；1/∞<0时可设1/∞=x<0，则∞=1/x有限，也矛盾，所以，1/∞=0。证毕

同理，n→∞时lim(1/n²)=0，可证明到达极限时1/∞²=0......

从而或许可认为任何无限小量总可以找到使其等于零的证明方法，而任何数列不但因此可以无限地接近而且可以达到其极限。这无论在理论上还是在实践中，都是具有重要意义的。比如说芝诺悖论就根本不存在了。

 （猪美丽，林益，以理服人等人参与讨论。注：参与讨论只表明对本文的议题有兴趣，不等同于同意本文的观点，但以理服人的意见对证明的完善有重要作用，在此表示感谢!）