摘要 严格证明了无限可达，但不能完成这一新的无限观，从而可以结束潜无限观和实无限观的争论。叙述了新无限观与传统无限观的区别。讨论了新无限观的一些应用，其中包括建立新的集合论的必要性。

    关键词 无限观；悖论，相容集合论 

            Abstract A new view of infinity, including the reachability and incompletability of the infinity, was strictly proved. The debate between the view of potential infinity and view of real infinity will therefore be ended. The difference between the new view of infinity and them is described. Some applications of the new infinity view are discussed, including the necessity to construct a new set theory.

            Key words ：infinity view; paradox; compatible set theory

 在我的上一篇关于无限观的博文发表后，藏龙卧虎的微信群《相容集合论研究》（文后有二维码，欢迎扫码入群）内又有群友参与了关于无限观的讨论:

 林益:无限是有限的延伸，不能结束，也不能完成。

  MAN:潜无限和实无限的定义不同。

 猪美丽:可以将每秒产生一个自然数的无限过程作为标准，然后来比较各种无限。

 黑光:自然数的构造不能完成。 

 怀旧老爵士：0.999....=1,没有潜无限。

 滴答：先要明确潜无限和实无限的定义。

 这些讨论使得我原先处于萌芽状态的”无限可以达到但不能完成”这一无限观逐渐成熟，现叙述如下。

1  新无限观的形成

 在人们的日常生活经验中，某一个过程的目的达到了，也就意味着过程完成了。比如我要到一个地方去，如果到达了这个地方，这个去的过程也就完成了。

 于是人们想当然地认为无限过程也是如此，如果能达到无限，那么这个无限过程自然就完成即结束了。

 正因为有这种似乎理所当然的想法，所以就出现了两种不同的无限观：要么是认为无限不能完成、也不能达到的潜无限观；要么是认为无限能够完成、也能够达到的实无限观。

 然而，有谁能够严格地证明达到无限和完成无限是一回事？

 相反，以最简单的自然数序列为例，一旦从1（或0）开始+1这一过程已经完成，即不能再加1了，其实已经变成有限序列了，又何谈无限？更何谈无限能否达到？

 所以要形成或达到无限，首先必须保证+1这个过程永远没有终点即不能完成。

 这与人们的日常生活经验是相反的，然而却是可以严格证明的。

 由于自然数都是有限的，所以任何含有最大自然数的自然数序列都是有限的，故可根据有没有最大自然数来区分自然数序列的有限性和无限性:

 定义 1如果某一自然数序列没有上界，即在该自然数序列中找不到最大的自然数，则称该自然数序列是无限的。

 显然，每次+1都会暂时得到一个最大数，因此，当且仅当这个过程永无止境的时候，才可以保证没有最大数，即才能形成无限的自然数序列。

 命题 1  永无止境的+1过程是形成无限的自然数序列的充分必要条件。

 充分性证明:当+1过程永不结束时，不存在最大的自然数，即形成的自然数序列是无限的。

 必要性证明: 当形成的自然数序列是无限时，为了保证该序列中没有最大数，+1过程永远不能结束：否则必然会出现一个最大的自然数，与定义1矛盾。证毕

 +1过程永不结束很容易理解。以下讨论无限能否达到。

 定义 2 对一个无限的自然数序列进行计算或其它任何操作时，若被操作的自然数已达到无限个，则称该操作已经达到了无限。

 我们不妨做一些思想实验来讨论无限能不能达到。        

 如果每次+1只需要零秒(或某一无限小的时间)，那么零秒（或大于零秒的某一个有限时间内），这个序列中被操作的自然数已达到无限个，即+1这个操作达到了无限。

 另一种达到无限的方法是用0.5秒加1次1，用0.25秒加2次1，用0.125秒加4次1……显然，到1秒时也达到了无限。

 如果每次加1需要1秒，那么显然至少在有限的时间内，我们是达不到无限的。

 但这也并不意味着无限不可达。这是因为，所谓无限可达，只要求操作对象中有无限多个自然数即可，并没有规定要多少时间内做到这一点。显然，如果时间无限长，这个+1过程可以永远进行下去，所以无限仍然可达，只是不能在有限的时间内达到而已。

 除了+1操作外，其他操作也一样，于是，已经得到

 命题 2  对自然数序列的任何操作都可以达到无限。

 以上虽然只讨论了自然数序列，但不难推广到一般情形，于是，综合命题1，2，我们得到了一种全新的无限观:

 无限可达，但不能完成。

2 与传统无限观的区别

 根据命题1、2，无限的不可完成性与无限的可达性是可以共存的。但由于以前人们并没有认识到这一点，反而想当然地把两者对立起来了，从而出现了两种截然不同的无限观：要么肯定不可完成性并否认可达性，要么肯定可达性并否认不可完成性。显然它们都与本文严格证明了的无限观不同，都是不科学的，因此都只能片面地解释一部分事实，无休止的争论在所难免。

 除了公理和公认为有意义的猜想外，任何没有经过严格证明，而仅凭想当然得到的命题，都不应该留在数学内。

3  新无限观的一些应用

3.1无限可达性的应用

   1）芝诺悖论:

  追上的时间=第一次追赶所花的时间+第二次追赶所花的时间+第三次追赶所花的时间+……，

  由于芝诺已证明了有限次追赶是追不上的，因此，争论的焦点在于无限次追赶能不能实现？如果不能实现，当然追不上，如果能够实现则可以追上。

  新的无限观认为无限虽然不能完成但能够达到，所以能够实现无限次追赶，即能够追上，悖论不再存在。

  需要注意的是，如果我们在计算机上用加和算法计算这个级数和，再快的计算机，每一次加和都是需要时间的，理论上就会存在在有限时间内无法达到无限次计算的可能性。但是，追赶所需要的时间即上述无穷级数的和是一个客观数据，与我们主观的计算速度并没有关系。因此，为了方便起见，不妨设每一次加和在计算机上所花费的时间为零秒或无限小的时间。这样，只需要零秒或有限的时间，我们就可以实现无限次计算了。
    从以上分析可见，过程实际上所需要的时间与我们进行计算所需要的时间完全是两回事，人们往往会将它们混淆，误以为无限次计算也需要无限多时间，从而就会导致达不到无穷的假像。
    在实际计算中，人们实际上并不需要用计算机加和计算，而只需要通过很简单的极限运算就可以很快知道这个级数和。

    2）贝克莱悖论：由于无限可以达到，所以任何极限理论上都可以达到，不存在不可达极限。无限小量的极限0也不例外。当然，能不能用这个极限，即能不能把无限小量当作0，则是另外一回事。正确的东西不一定可以用，比如在初等数学中，a-a=0是对的，但是1/(a-a)无意义，不能因为1/(a-a)无意义而否认a-a=0的正确性。能不能用正确的东西这个问题与逻辑无关，只是一个技术问题，因此，所谓贝克莱悖论，实际上不是具有理论意义的悖论，而只是一个技术问题。

     3）无限小数： 虽然无限可达，但能不能在有限的时间内达到却是一个技术问题。比如说当我们计算圆周率的时候，由于每一步都不可能只用零秒，也无法在有限的时间内完成无限步的计算，所以这时候极限虽然存在但实际上在有限的时间内只能无限接近而无法达到。当然，在无限的时间内仍然是可以达到的。再比方说我们在做1除以3的除法时，做了一两步除法以后，我们就知道以后每一步计算的结果，不需要再计算，或者说以后每步计算所需要的时间为零，这个极限显然是能在有限的时间内即可达到的。这样，就可证明当0.33……为无限小数时，1/3=0.33……。该结论也可用下述方法证明：

  由于做除法时有余数，n位有限小数0.33…比1/3小了(1/3)x10^-n。因此，易证，

 命题3 当且仅当小数位数n为有限值即0.33…为有限小数时， 0.33……<1/3。

 由此可以证明

 命题4当0.33……为无限小数时，1/3=0.33……:

 证明(反证法):假定0.33……是无限小数, 这时，如果0.33……<1/3仍然成立，则由命题3可知0.33……是有限小数，矛盾，即0.33……<1/3不成立，0.33……>1/3显然也不成立。证毕

 长期以来关于0.33……究竟等于还是小于1/3、0.99……究竟等于还是小于1等问题的争论应该可以结束了。

3.2  无限不能完成性的应用

  所有建立在无限可以完成基础上的东西都不再成立。

  例如，可以完成的自然数集合是不存在的：由于无限不能完成，所以无限的自然数序列处于永无止境的延伸过程中，若要定义一个无限集合，则这个集合也只能是一个元素在不断增加中的可变集合^[1]，不存在一个已经完成了的自然数集合即无限的固定集合^[1]。

  根据这一点，整个集合论都要重新改写，文献【1】做了初步尝试。

3.3 无限的不可完成性和可达性的综合应用

 文献【1】的定理2证明了自然数集合不是唯一的。用本文的思想实验可以验证该定理:

 设从1(或0)开始每+1的用时为(1/∞)秒，则1秒后即达到了无限，即已有∞个自然数，但根据命题2，无限并不会停止，事实上时间也不会停止，因此2秒后有2∞个自然数，3秒后有3∞个自然数……若用集合表示，大于或等于1秒后，得到的都是无限的自然数集合，但是不同时间得到的自然数集合各不相同，且时间较短时得到的自然数集合是时间较长时得到的自然数集合的真子集，即自然数集合不是唯一的。

 熟悉集合论的人都知道，上述结论在传统集合论中是得不到的，因此无论是基本概念还是最后的结论，集合论都会产生翻天覆地的变化。

 例如，当有两个不同的自然数集合时，两者之间当然不能建立严格的一一对应^[1]关系。如果不知道这一点，即误以为只有唯一的自然数集合，就很可能把其中一个误认为是所谓不可数集合了^[1]。

4 总结

  本文严格证明了无限可达，但不能完成这一新的无限观(见命题1，2)，从而可以结束尚处于盲人摸象阶段的潜无限观和实无限观的长达二千多年的争论。叙述了新的无限观与传统无限观的区别。讨论了新的无限观的一些应用，其中包括建立新的集合论的必要性。

参考文献

[1]李鸿仪 相容集合论初探

https://blog.sciencenet.cn/blog-3425940-1326712.html

    本文发布后，由于在48小时内平台允许修改或补充，因此猪美丽、猫爪天下、胡爱生、何许、MAN等群友的讨论对本文的最后定稿也很有帮助，在此谨表谢意。