物理学家意图分类所有可能的物质相

完整的分类可以带来大量新材料和技术。可是某些奇异相始终难以理解。

Natalie Wolchover 著

左     芬       译

【译者按：原文2018年1月3日刊载于QuantaMagzine。文章指出，2011年Haah立方码提出后，人们对其背后的物质相始终感到困惑不已。我们在这里重译这篇旧文，是想就此提出以下问题：近年来量子LDPC码通过摈弃几何局域性，在码率和码距上均取得了惊人的突破，甚至诱发了经典编码中好的局域可检测码的诞生。那么，我们又该如何理解“好”的量子LDPC码背后的物质相呢？它们究竟是物理的，还是凭空想象的？如果是凭空想象的，我们是否真的能在诸如中性原子量子计算平台上实现它们？一言以蔽之，好的（量子）LDPC码背后的物理是什么？】

过去三十年里，凝聚态物理学家们发现了一个新奇物质相的仙境：与常规经验里的固态、液态和气态截然不同，这些相表现为相互作用粒子呈展的（emergent）、集体的态。

这些相有的已在实验室中实现，而其它的则在理论上被认定为是可能的。它们会在物质冷却到近乎绝对零度，也就是比水结成冰的温度还要低好几百度时出现。在这些严酷的条件下，粒子会以特定方式相互作用，使得它们完全脱离最初的特性而焕然一新。1980年代的实验表明，在某些条件下电子们整体分裂成在时空中交织时会留下踪迹的粒子片段；在其它情形下，它们集体地激荡成自身的无质量版本。旋转原子的晶格变成盘绕圈或分岔弦的流体；绝缘的晶体开始在表面导电。而在2011年作为一种数学可能性被识别出来的一种相更是震惊了专家们，因为它由奇特的，类粒子的“分形子（fracton）”组成，而它们会以分形模式锁在一起。

如今，微软和其他地方的研究团队竞相用部分这些相中的辫（braids）和圈来编码量子信息，以发展量子计算机。与此同时，凝聚态理论家们最近也在理解可能出现的种种集体行为背后的模式上取得了巨大的进展，并希望最终能枚举并分类所有可能的物质相。如果完整分类得以实现，它将不仅涵盖自然界中目前已知的所有相，还可能为新材料和技术指出方向。

在数十位顶尖理论家的带领以及数学家们的帮助下，研究者们已经分类了一大片可能在一维或二维空间中出现的相，采用的方法是将它们关联到拓扑：描述球面和环面这些形状的不变性质的数学。他们也已经开始探索三维物质在接近绝对零度时可能出现的相的荒野。

加州理工学院的凝聚态理论家陈谐称分类计划的“宏伟目标”是枚举出任意给定粒子所能产生的所有相。

这些科学家们求索的“并非物理学的一条特别定律，”普林斯顿大学的凝聚态理论家Michael Zaletel说，“它是所有可能性的空间，而这在某些层面上是一种更美妙或者说更深刻的想法。”或许出人意料地，Zaletel说，所有自洽相的空间本身也是一种数学对象，“它拥有如此丰富的结构，我们认为在一维和二维里会与这些漂亮的拓扑结构形成一一对应。”

在相的景观里，存在“一种极简选项”，哈佛大学的Ashvin Vishwanath说，“全都有道理可言”——这一当头鸿运让他困惑不已。 枚举物质的相应该“像是集邮”，Vishwanath说，“每种都有些微差异，并且不同邮票间没有关联。”结果相反，相的分类“更像是一个周期表。存在大量的元素，但它们全都归属于种种类别，而我们可以理解这些类别。”

尽管分类呈展粒子的行为可能没那么基本，包括麻省理工学院的文小刚在内的一些专家认为，呈展相的新规则表明，基本粒子自身可能是从量子信息纠缠比特的潜在网络，也就是文所谓的“量子比特海洋”中产生出来的。例如，在三维量子比特体系中可能呈展出来的一种所谓“弦网液体”相的激发态跟所有已知的基本粒子看起来很像。“真实的电子和光子可能就是弦网里的涨落，”文称。

一种新的拓扑序

在这些零温相层出不穷之前，物理学家们认为他们已经理解了所有相。到1950年代为止，他们已经能够解释比如说水凝结成冰时的行为，将其描述为一种对称性的破缺：液态水在原子尺度具有转动对称性（它在所有方向看起来都一样），而冰中的H₂O分子则被锁定在晶格的行和列上。

1982年，二维超冷电子气中所谓分数量子Hall态的一种相的发现改变了这一状况。这些奇特的物质态包含特殊的呈展粒子，它们拥有分数倍电子电荷，并且在电子绕体系单向行进一周时只走了分数倍的步数。“没有办法用不同的对称性来区分这些相，”文称。

寻找一种新的范式变得迫在眉睫。1989年，文设想分数量子Hall态不是出现在平面，而是在不同拓扑流形上——例如球面或环面这样的连通空间。拓扑学关注这类空间不随局域形变而变化的全局不变性质。一个有名的例子是，对于一个拓扑学家来说，你可以通过表面的简单形变将一个甜甜圈变成一个咖啡杯，因为两种表面都有一个洞，在拓扑上是等价的。但无论你怎么拉伸和挤压，再柔韧的甜甜圈也变不成蝴蝶脆饼。

文发现零温相的全新性质会在不同的拓扑背景下展现出来，因此发明了“拓扑序”这个词来刻画这些相的本质。其他理论家们也发现了与拓扑的联系。随着更多的奇异相的发现——如此之多以致研究者们都觉得跟不上了——很明显拓扑连同对称性一起提供了一个很好的组织纲领。

拓扑相只会在接近绝对零度时出现，因为只有在如此低的温度下粒子的体系才会进入它们的最低能量量子“基态”。在基态中，关联粒子特性的精致相互作用——在高温下会被破坏的效应——将粒子以量子纠缠的全局模式联系起来。粒子不再具有单独的数学描述，而是成为描述它们全体的一个极其复杂的函数的部件，同时往往会有全新的粒子作为整个相的激发呈展出来。这里出现的长程纠缠模式是拓扑的，不受局域变化干扰，如同流形中的洞的数目一般。

【译注：本图引自“返朴”公众号文章《对称性与拓扑序：新型量子计算机的物理基础》。】

考虑最简单的拓扑相，所谓“量子自旋液体”。这一体系由“自旋”——也就是指向会朝上，朝下，或者二者同时各占一定概率的粒子——的两维晶格组成。在绝对零度时，自旋液体会生成指向全都朝下的自旋的弦，并且这些弦形成封闭的圈。当自旋的朝向发生量子力学的涨落时，贯穿整个材料的圈的模式也随之涨落：自旋朝下的圈合并成更大的圈或者分裂成较小的圈。在这一量子自旋液体相中，系统的基态是所有可能的圈模式的量子叠加。

要将这一纠缠模式理解为某种拓扑序的类别，可以像文做的那样，设想量子自旋液体上洒在一个环面上，使得有些圈缠绕着环面的洞。由于这些对于洞的环绕，自旋液体不再只有所有圈模式叠加的单一基态，而是处于四种不同基态之一，分别对应于圈模式的四种不同的叠加。一个态的所有圈模式都有偶数个圈围绕着洞，且有偶数个圈穿过洞。另一个态有偶数个圈绕着洞，但有奇数个圈穿过洞；第三和第四个基态分别对应于奇数与偶数，以及奇数与奇数的绕洞数目。

体系处在这些基态中的任一个都会保持不变，哪怕圈模式局域地涨落。例如，如果自旋液体有偶数个圈围绕环面的洞，其中两个可能接触并结合，突然变成一个完全不包裹洞的圈了。纵向的圈数减少了两个，但仍然是偶数。体系的基态是一种拓扑不变的特性，可以经受住局域的变化。

未来的量子计算机可以利用这一不变的特质。拥有四个不受局域形变或者环境噪声影响的拓扑基态“给予你一种存储量子信息的方法，因为你的比特可以是它所处的基态，”Zaletel解释道，他一直在研究自旋液体和其它量子相的拓扑性质。像自旋液体这样的体系并不需要真正包裹在环面上才能获得拓扑保护的基态。研究者们钟爱的一个范例是环面码（toric code），它由加州理工学院的凝聚态理论家Alexei Kitaev在1997年构建出来，并在过去十年里被实验验证。环面码可以处在平面中，但仍保持环面上的多重基态。（自旋的圈本质上可以从体系的边缘出去，再从相对的边重新进来，使得它们像围绕环面的洞一样围绕系统。）“我们知道如何在环面上的基态性质和粒子应该出现的行为之间进行翻译，”Zaletel说。

自旋液体还可以处在其它相，其中自旋不再形成封闭的圈，而是长成弦的分岔网络。这就是所谓弦网液体，而它，据文所说，可以从三维量子比特海洋中“产生粒子物理的标准模型”。

相的宇宙

多个研究小组在2009年和2010年完成了对一维物质例如粒子链的“有隙”相的分类。一个有隙相会有一个基态：一个低能量构型，与更高能量态充分远离或者说“有隙”，使得系统会稳定地处于其上。仅仅有隙量子相会有定义良好的，粒子形式的激发。无隙相就好像漩涡状的物质气或是量子汤，在相的景观里仍是没怎么涉足过的蛮荒之地。

对于形成一维长链的玻色子——像光子一样的粒子，拥有整数值的量子自旋，意味着在交换位置后回到它们的初始量子态——来说，只存在唯一的有隙拓扑相。普林斯顿大学的理论家Duncan Haldane 最先研究这个相，并发现自旋链的两端会出现半自旋粒子。Haldane与J. Michael Kosterlitz因数十年致力于拓扑相的研究而同获2016年诺贝尔奖。对于费米子——像电子和夸克这样拥有半整数值自旋的粒子，在交换位置后它们的态会变成原来的负值——的链，存在两种有隙拓扑相。所有这些一维链中的拓扑序都并非源自长程量子纠缠，而是作用在相邻粒子上的局域对称性。他们被称为“对称保护拓扑相”，对应于“上同调群的上闭链”，也就是跟流形中的洞数这样的不变量相关的数学对象。

【译注：本图引自“返朴”公众号文章《对称性与拓扑序：新型量子计算机的物理基础》。】

两维相就丰富和有趣多了。它们会拥有一些专家所谓的“真实”拓扑序：与量子纠缠的长程模式相关联，如同自旋液体中起伏的圈模式。在过去数年里，研究者们证实这些纠缠模式对应于被称为张量范畴的拓扑结构，而它们枚举了对象间相互融合（fuse）与编织（braid）的不同方式。“张量范畴使你能够【描述】可以自洽地融合与编织的粒子。”马德里市康普顿斯大学的David Pérez-García说。

Pérez-García这些研究者正努力从数学上证明2维有隙拓扑相的已知类别是完整的。他在2010年帮助解决了1维情形，至少在一个广泛认同的假设下，即这些相总是能用量子场论——将粒子的环境视为光滑的而得到的数学描述——来很好地近似。“人们猜想这些张量范畴可以覆盖所有2维相，但还没有给出数学证明，” Pérez-García说，“当然，如果有人能证明并不都是这样，那会有趣得多。奇特事物总是有趣，因为它们会有新物理，并且可能有用。”

无隙相则是有更多可能性可以探索的另一个国度，但这些令人费解的物质迷雾抵制了大多数理论方法。“粒子的语言不再有用，因此我们要开始面对一些超级挑战。”麻省理工学院的凝聚态物理学家Senthil Todadri说。例如，无隙相是理解高温超导问题上的主要障碍。它们还阻碍了量子引力研究者们的所谓“万物源于量子比特”运动，其中不光是基本粒子，甚至时空和引力也被认为是从某种潜在的量子比特海洋中的纠缠模式产生出来的。“在万物源于量子比特中，我们花了大量的时间来研究无隙态，因为至少在我们目前的认知下，这正是我们获得引力之处。”马里兰大学的理论物理学家Brian Swingle称。一些研究者试图使用数学对偶将量子汤图像转换为高一维的一种等价粒子描述。“这仍处在探索阶段。”Todadri说。

而在3维中的探索更加激动人心。很明显的是，当自旋和其它粒子从链和平面国（flatlands）涌出来，填充真实的三维全空间时，令人难以想象的奇特量子纠缠模式会呈现出来。“在3维中，目前来说，有些事物可以逃离张量范畴的图像，” Pérez-García说道，“出现了非常怪异的激发。”

Haah 码

最怪异的3维相出现在七年前。加州理工学院一个极有天赋的研究生，Jeongwan Haah，通过计算机搜索发现了这个相。他当时试图寻找所谓“梦之码”：一个极其稳固的量子基态，稳固到可以安全地用于量子存储，哪怕在室温下。

为此，Haah只能求助于3维物质。在类似环面码的两维拓扑相中，错误的典型来源是“类弦算符”：系统的扰动使得自旋的新弦突然形成。这些弦有时会沿着环面的洞缠绕出新的圈来，将绕数从偶数变成奇数或者反过来，从而将环面码转换到另三个量子态之一。因为弦不受控制地生长并包裹物体，专家称2维中不会有好的量子存储。

如今在华盛顿州雷德蒙德市微软研究院工作的凝聚态理论家Jeongwan Haah发现了具有分形特征的奇特3维物质相。

Haah写了一个程序来搜索三维相，试图避免常规类型的类弦算符。计算机吐出17个精确解，接着他便手动研究它们。这些相中的四个经证实不会出现类弦算符；其中具有最高对称性的那个如今被称为Haah码。

除了有量子存储方面的潜在应用，Haah码本身也显得极其怪异。加州理工学院的凝聚态理论家陈谐回想起2011年在Haah做出这一诡异发现的一两个月后，还在读研究生的自己听到这一消息时的情景。“所有人都彻底震惊了，”她说，“我们完全不知道该怎么处理它。哪怕现在，这么多年过去了，情况依然如此。”

从纸面上看，Haah码并不复杂：它是一个由两项组成的能量公式的解，而该公式描述了立方晶格中的自旋与八个最近邻如何相互作用。但导致的相“匪夷所思”，Todadri说。

“Haah相开启了大量奇特事物之门。它象征着我们对3维及更高维度的无知。”                    ——陈谐

这一编码的特点是包含一种类粒子的实体，也就是所谓分形子，而它们与量子自旋液体中的圈型模式不同，是非液态的，并被锁定在某处；只有当晶格中的一些位置以分形模式进行操作时，分形子才可以在这些位置间移动。也就是说，你必须在体系中连接，比方说，四个分形子的一个正四边形的每个角落注入能量才能让它们切换位置，但一旦放大来看，你会发现你当成点状角落的实际上是小一号的一个正四边形的四个角，而你必须在它的角落也注入能量。在更小的尺度下，你会发现更小号的正四边形，以此类推，直到晶格的最小尺度。这一分形模式意味着Haah码永远不会遗忘它来自的内在晶格，因而也就永远无法以晶格的光滑化描述来近似，如同量子场论中的那样。此外，Haah码中的基态数随着内在晶格的大小而增长——一种毫无疑问的非拓扑性质。（拉伸一个环面，它仍然是一个环面。）

Haah码的量子态超常地安全，因为完美地命中所有目标的一个“分形算符”不太可能随机地出现。专家称该码的可实现版本将会具有巨大的技术吸引力。

Haah相也激发了大量的理论猜测。2015年，Haah和麻省理工学院的两个合作者发现了作为Haah码简单近亲的一类相——如今被称为“分形子模型”——的大量实例，从而推动了该领域的进展。（这一家族中的首个模型是波士顿大学的Claudio Chamon于2005年率先引入的。）自那以后陈和其他人研究了这些分形子系统，发现其中一些允许粒子沿三维体内的线或面移动，从而或许有助于概念上的理解或是更易于在实验上实现。“它开启了大量奇特事物之门，”陈如此评价Haah码，“它象征着我们对3维及更高维度的无知。而正因为我们对发生的一切还没有一个系统化的图像，可能还存在大量事物等着我们去探索。”

目前还没人知道Haah码及其近亲在相的可能景观里归属于何处，或者说会让这一空间的多样性扩大多少。据Todadri所言，同行们已经在分类最简单的有隙3维相上得到了进展，但要就此开展3维的一个完备分类计划，还需要更多的探索。很显然，他说，“一旦在3维中开展对物质有隙相的分类，就不得不面对Haah最先发现的这些怪异的情况。”

许多研究者认为，需要新的分类概念甚至全新的框架才能体现Haah码的分形特征，进而揭露3维量子物质的多样性的全貌。文称，“你需要一种新型理论，一种新的思路。”或许，他说，我们需要长程纠缠非液态模式的一种全新图像。“我们有一些模糊的想法，但还没有一种非常系统化的数学去实现它们，”他说道，“我们能大致估摸出它是什么样子的。详细的分类仍然缺失。但这一切令人振奋。”

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/physicists-aim-to-classify-all-possible-phases-of-matter-20180103/