简单量子游戏揭示宇宙终极复杂度

一种双玩家游戏可揭晓宇宙是否拥有无穷大的复杂度。

Kevin Hartnett 著

左   芬      译

【译注：原文2019年3月5日刊载于QuantaMagazine，链接见文末。】

宇宙拥有多少独立的性质？一种简单的游戏或许能揭晓答案。

物理学最大且最基本的问题之一涉及宇宙中物质的所有构型的数目。你拿到所有物质，重新排布它们，再继续重排，是会能穷尽所有构型，还是会永远重排下去？

物理学家并不知晓。既然没有确切的答案，他们就做假定。而取决于所在的物理领域，这些假定会不一样。在一个领域里他们假定构型数目是有限的。而在另一个里，他们假定是无限的。至少目前来看，没办法说谁是对的。

但在过去几年里，由数学家和计算机科学家组成的一个专家小组已经在忙着构造可以从理论上解决这一问题的一种游戏。这种游戏涉及两个位置上相互远离的玩家。向两个玩家提问题，如果他们的回答以某种方式协调一致，就获胜。在所有这种游戏中，玩家获胜的频次会对宇宙重构的不同方式的数目给出结论。

“这是一个哲学问题：宇宙是有限还是无限维的？”多伦多大学的理论计算机科学家Henry Yuen说道，“人们会觉得这种问题你永远无法检验，但William想到的这种游戏有可能解决它。”

Yuen指的是William Slofstra，多伦多大学的一位数学家。2016年Slofstra发明了一种双玩家游戏，他们需要对数百个简单方程中的变量赋值。在通常情况下，哪怕最聪明的玩家有时候也会输。但Slofstra证明，如果你让玩家拥有无穷数量的非常规资源——纠缠的量子粒子——他们就可以在游戏中始终获胜。

之后其他研究者改进了Slofstra的结果。他们证明你并不需要包含数百个问题的游戏来获得跟Slofstra一样的结论。2017年三个研究者证明存在只有五个问题的游戏，玩家在拥有无穷数目的纠缠粒子时可以百分百获胜。

John Stewart Bell 构想出了非定域游戏，用以检验一种叫做纠缠的古怪量子现象的实在性。

这些游戏全都在模仿物理学家John Stewart Bell 50多年前发明的一种游戏。Bell开发这种游戏是为了检验量子力学关于物理世界提出的最奇怪的观点之一。半个世纪之后，他的想法可能会用到更为广阔的天地里。

魔方

Bell提出了“非定域”游戏，玩家在其中相距很远，因而无法交流。每个玩家得回答一个问题。玩家的输赢取决于他们答案的相容性。

这类游戏之一是魔方。由两个玩家参与，分别是Alice和Bob，每人有一个3×3的网格。一个裁判让Alice在网格的一个特定行——比如第二行——的每个格子里填1或者0，使得那一行的所有数字之和是奇数。裁判会让Bob在网格的一列——比如第一列——的每个格子里也填1或者0，使得那一列的数字之和是偶数。Alice和Bob赢得游戏的条件是，Alice的数字加和是奇数，Bob的数字加和是偶数，并且——最重要的——在行和列相交的那个格子里他们填下了相同的数字。

难点在于：Alice和Bob都不知晓对方被要求去填写的究竟是哪一行或者哪一列。“如果两个玩家可以交流，那这个游戏就毫无难度了，”在滑铁卢大学研究量子计算的Richard Cleve说道，“正因为Alice不知晓Bob被问到了什么问题，而Bob也是，这才让游戏变得微妙起来。”

魔方游戏

要点：两个玩家都不知晓对方被分配了哪一行或者哪一列。

在魔方以及类似游戏里，看起来玩家没有办法100%赢得游戏。确实，在经典物理学能完全解释的一个世界里，Alice和Bob最多能赢89%。

但是量子力学——具体来说，“纠缠”这种古怪的量子现象——使得Alice和Bob可以做得更好。

在量子力学里，像电子这种基本粒子的性质在你去测量那一刻之前是不定的。例如，设想一个电子沿着一个圆的圆周快速运动。要找到它的位置，你得做一次测量。但在测量之前，电子根本没有确定的位置。取而代之的是，电子由这样一个数学公式来刻画，它体现了电子在任何给定位置的可能性。

当两个粒子纠缠时，描述它们性质的复概率振幅也会交织起来。设想两个电子这样纠缠起来，如果一个测量确认一个电子在圆周上的某个位置，另一个必然处在圆周上的对侧位置。两个电子间的这种关系会始终保持，不论它们彼此相邻还是相距光年：即便相隔那么遥远的距离，当你测量一个电子的位置时，另一个的位置也会瞬间确定，尽管没有因果信号可以在它们之间传递。

这一现象有些不可思议，因为我们非量子尺度的经验表明这种事情完全是不可能的。Albert Einstein就将纠缠尖刻地嘲笑为“幽灵般的超距作用”，并在许多年里认为它不可能是对的。

要在魔方游戏里采取量子策略，Alice和Bob每人要拿到一对纠缠粒子中的一个。为了确定填写哪个数字，他们测量各自粒子的性质——差不多就像掷相互关联的骰子来指导答案选择。

Bell得出并在多个后续实验中被证实的结果是，通过利用纠缠中发现的奇怪量子关联，魔方类游戏的玩家能以更大的精度协同他们的答案，从而以超过89%的概率赢得游戏。

Bell提出非定域游戏，是为了用它说明纠缠是真实的，因而我们对世界的经典观念是不完整的——这在Bell的时代在很大程度上还悬而未决。“Bell提出了这种你在实验室里可以真正去做的实验，”Cleve说道。如果你在这些实验游戏中记录到了远超预期的胜率，你就知道玩家们一定用到了物理世界里经典物理学无法解释的某些特征。

Slofstra和其他人在那之后所做的在策略上是类似的，但在目标上有所不同。他们证明Bell的游戏不仅意味着纠缠的实在性，有些游戏甚至还有能力给出远远更多——比如宇宙可采取的构型的数目是否确实存在上限。

纠缠多多益善

在他2016年的文章里，Slofstra提出了这样一种非定域游戏，其中两个玩家要对简单的问题进行回答。就跟在魔方游戏里一样，他们的回答得以某种方式协同起来才能获胜。

例如，设想在一个游戏里，玩家Alice和Bob得从各自的袜子抽屉取出配对的袜子。每个玩家只能取一只，并且不知晓另一个玩家取的是哪一只。玩家不能预先协调。如果他们取出的袜子配成一对，就获胜。

在这些未知条件下你是不知道Alice和Bob早上会选出什么袜子的——至少在经典世界里。但如果他们可以借助纠缠粒子的话，就有更大的机会能配对上。基于一对纠缠粒子的测量结果来选择颜色，他们可以在袜子的颜色属性上取得一致。

但他们还得盲目地猜测其它所有属性——到底是羊毛还是棉的，短袜还是船袜。不过利用额外的纠缠粒子，他们可以获得更多测量结果。他们可以用一组测量来关联材质的选择，另一组关联袜长的选择。最终，因为他们可以协同很多属性的选择，就比只能协同一条属性时更可能得到一双配对的袜子。

“更复杂的系统允许更多关联测量，而这可以用来协同更复杂的任务，”Slofstra说道。

Slofstra的游戏里的问题并不真正是关于袜子的。它们涉及诸如a+b+c与b+c+d这类表达式。Alice可以给每个变量赋值1或0（这些值得在不同表达式间自洽——b必须在它出现的每个表达式中具有相同值）。并且她的表达式必须求和为某种数。

Bob只得到Alice的一个变量，例如b，然后需要给它赋值0或1。如果两个玩家对Bob获得的那个变量赋了相同值，则获胜。

如果你和你的朋友去玩这个游戏，你们是没有办法一直获胜的。但在一对纠缠粒子的辅助下，你始终可以赢得更多，就跟在袜子游戏里一样。

Slofstra热衷于弄清是否存在某个纠缠量，超过它之后团队的获胜概率就不再增加了。也许玩家只需要共享五对纠缠粒子就可以得到最佳策略，但也许是500。“我们曾期望得到这种结论，‘你只需要这么多纠缠就可以玩到最佳了，’”Slofstra说道，“但结果并非如此。”

他发现加入更多对纠缠粒子总是可以提高获胜百分比。此外，如果你能设法利用无穷数目的纠缠粒子，你就能获得完美策略，100%获胜。显然在袜子游戏里这是不太可行的——最终你会耗尽需要协同的袜子特征。但如同Slofstra的游戏所展示的，宇宙可比袜子抽屉复杂多了。

宇宙是无穷的吗？

Slofstra的结果令人震惊。在他的文章公布11天后，计算机科学家Scott Aaronson写道，Slofstra的结果触及了“具有近乎形而上意义的一个问题：何种实验证据可能关系到宇宙是离散还是连续的？”

Aaronson指的是宇宙所能处在的不同状态——这里一个状态是宇宙中所有物质的一种特定构型。每个物理系统都有其独特的状态空间，标记着其所能处在的所有不同态。

滑铁卢大学数学家William Slofstra发明了一种游戏，可对宇宙最根本的一种性质加以推定。

研究者们讨论态空间时会为其赋予某个数目的维度，用以反映在其底层系统里你可以调节的独立特征数目。

例如，哪怕袜子抽屉也有一个态空间。任何袜子差不多都能用颜色，长度，材质，以及破旧程度来描述。在此情形下，袜子抽屉的态空间的维度就是四。

物理世界里的一个深刻问题是，宇宙（或是任何物理系统）的态空间的大小是否有上限。如果有上限，就意味着不管你的物理系统多大，多复杂，总是只有这么多种方式去排布它。“问题就在于，物理学是否允许拥有无穷多性质的物理系统存在，这些性质相互独立，因而你原则上可以观察到。”加州理工学院计算机科学家Thomas Vidick说道。

物理学领域在这一点上是不定的。事实上，它保留了两种矛盾的观点。

一方面，学生在量子力学入门课里会学到怎么用无穷维态空间思考。例如，如果建模电子沿着圆周运动的位置，他们会为圆周上的每个点赋一个概率。因为有无穷个点，描述电子位置的态空间会是无穷维度的。

“要描述这一系统，对于电子处在的每个可能位置我们都需要一个参数，”Yuen说道，“有无穷多个位置，因而你需要无穷多个参数。哪怕在[圆这样]的一维空间里，粒子的态空间也是无穷维的。”

但或许无穷维态空间的观念是荒谬的。1970年代，物理学家Jacob Bekenstein与Stephen Hawking计算得出黑洞是宇宙中最复杂的物理系统，但哪怕它的态也可以用庞大但有限个参数来指定——每平方米黑洞事件视界大约需要10⁶⁹比特信息。这一数字——“Bekenstein上界”——表明既然黑洞都不需要无穷维态空间，那么没有什么东西需要。

关于态空间的这些争竞的视角反映了对于物理实在的本质的截然不同的观点。如果态空间真是有限维的，就意味着在最小尺度下，大自然是像素化的。但如果电子需要无穷维态空间，物理实在本质上就是连续的——哪怕在最细微的分辨率下也浑然一体。

哪种才是对的呢？物理学并不能给出答案，但Slofstra的这类游戏原则上可以。Slofstra的工作给出了一种方法来检测其差异：玩一个只有当宇宙允许无穷维态空间存在时才能100%获胜的游戏。如果你观察到玩家每次都赢，意味着他们利用了一种特殊的关联，这种关联只有在对拥有无穷多独立可调参数的物理系统进行测量时才能产生。

“他给出了一个实验，如果得以实现，我们就能断定产生所观察到的统计结果的系统一定有无穷多自由度，”Vidick称。

要真的执行Slofstra的实验有很多障碍。首先，你没法证实任何实验结果会100%发生。

“在现实世界里你会受制于你的实验设备，”Yuen说道，“该如何区分100%和99.9999%呢？”

不过抛开现实考虑，Slofstra证明了，至少在数学上存在一种方法来评断宇宙的一条基本性质，而除此之外我们似乎是无能为力的。当Bell首次提出非定域游戏时，他希望能用它们来探测宇宙中最具迷惑性的一种现象。五十年后，他的这一发明有了更为深远的意义。

原文链接：

https://www.quantamagazine.org/the-universes-ultimate-complexity-revealed-by-simple-quantum-games-20190305/