迷宫证明为统计力学塑造“脊梁”

四位数学家估算出随机迷宫中存在畅通路径的可能性

Leila Sloman   著

左   芬    译

（原文刊载于Quanta Magazine）

设想在你面前伸展着一个由六边形组成的蜂窝状网格。有些六边形是空着的；其它的则竖立着六呎高的实心混凝土柱。这就构成了某种迷宫。在半个多世纪里，数学家们就这类随机生成的迷宫提出了很多问题。畅通路径组成的最大网络有多大？从边界到网格中心再回到边界存在通路的可能性有多大？在边界上加入越来越多的六边形，让整个网格规模扩大，这些可能性会怎么变化呢？

在有大量空白区域或者大量实心柱的情况下，这些问题很容易回答。假定每个六边形独立于所有其它六边形，以对于整个晶格为常值的一个概率来随机指定状态。这可以是，比如说每个六边形有1%的可能性是空的。那么实心柱会挤满网格，只在其间留下小的气孔，这样找到去往边界的路径的可能性几乎为零。反之，如果每个六边形有99%的可能性是空的，就只会有零星的一些实心柱，竖立在大片空白之上——也就算不上什么迷宫。在这种情形下找到从中心到边界的路径是十拿九稳的。

对于大型网格，当这一概率处在1/2时，一个非常突然的变化发生了。就如同冰恰好在摄氏零度时融化成液态水一样，在这一所谓临界概率的转变点上，迷宫的特性发生了急剧的变化。在临界概率之下，网格的大部分会被混凝土埋没，而空路总是会走入死胡同。在临界概率之上，大片地区会是空旷的，而实心墙则必然式微。如果你恰好处在临界概率处，实体与空白会相互制衡，二者都无法主导迷宫。

“在临界点处，一种高阶的对称性涌现了出来，”普林斯顿大学的数学物理学家Michael Aizenman说。“这开启了通向大量数学的大门。”同时这也有着许多实际用处，包括设计防毒面具，分析传染病的传播以及石油通过岩石的渗漏，诸如此类。

在去年秋天公布的一篇论文中，四个研究者最终计算出了在临界概率1/2时的迷宫中找到通路的可能性。

臂的竞赛

2000年代中期，Piere Nolin在法国读博士期间学习了大量临界概率的架构。他觉得，这种随机迷宫，是“一个相当漂亮的模型，可能是你所能构想的最简单的模型之一。”在他2008年完成的博士研究的末期，Nolin被临界概率处六边形网格行为的一个极具挑战性的问题迷住了。假定你围绕一个中心点构建网格，使它近乎圆形，然后在其上随机建造迷宫。Nolin想探究的是，有多大可能性能找到一条从边界出发到达中心，然后再出去，并且始终不回到自身的路径。数学家们把这称为单色双臂路，因为向内和向外的“臂”都是在空白路径上。（有时这类网格被等价地视为由两种不同的颜色，比如浅蓝和深蓝，组成，而不是空白和实心元胞。）如果你扩大迷宫的规模，所需的路径的长度也会随之增大，因此找到这种路径的可能性会越来越小。那么当迷宫变得任意大时，这种可能性会以多快的速率减小呢？

与此相关的简单些的问题在数十年前就得到了解答。Marcel den Nijs 1979年的计算估计出存在从边界到中心的一条路径，或者说臂，的可能性。（这与Nolin的诉求不同，他需要一条臂进去，还需要另一条臂出来。）Den Nijs的结果预言在六边形网格中找到一条臂的可能性正比于1/n^5/48，这里n是从中心到边界的单元数，或者说网格的半径。2002年，Gregory Lawler, Oded Schramm与Wendelin Werner最终证明这一单臂预言是正确的。研究者们采用分母中的指数，5/48，来简洁地量化当网格规模变化时可能性的缩小，并称之为单臂指数。

Nolin想计算更加难以捉摸的单色双臂指数。1999年的数值模拟显示它很接近于0.3568，但数学家们没能确定其精确值。

如果想要计算所谓多色双臂指数，事情会容易很多。这一指数刻画了从中心出发，你不仅能找到通往外缘的一条“空白”路径，还能找到一条“实心”路径的可能性（实心路径可以理解成在迷宫的混凝土墙的顶上行走。）2001年，Stanilav Smirnov和Werner证明这一指数为1/4。（因为1/4远大于5/48，当n变大时1/n^1/4比1/n^5/48衰减得快得多。因此，找到多色双臂结构的可能性相比单臂要低得多，正如所料。）

这一计算在很大程度上仰仗于对图中团簇的形状的认知。设想临界概率下的一个迷宫极其之大——由成千上万个六边形组成。现在找出一个由空白六边形构成的簇，并用粗的黑色记号笔描出簇的边界。这很可能不会是一个简单的圆形。隔空远望，你会看到一条蜿蜒的曲线，不断地折返，常常眼看着就要自我交叉了但从来没真正触碰上。

这是一种被称为SLE的曲线，由Schramm在2000年的一篇文章中提出，而整个领域由此被重新界定。数学家在研究同时找到一条空路和一条实路的可能性时知晓，这些路径必然分别位于由空心单元和实心单元构成的大型团簇内部，而这些团簇最终沿着一条SLE曲线相会。SLE曲线的数学性质于是转化成关于迷宫路径的重要信息。但是如果数学家搜寻的是同一类型的多条路径，SLE曲线就大为失效了。

到2007年， Nolin和他的合作者Vincent Beffara已经通过数值模拟得出单色双臂指数大约是0.35。这出奇地接近17/48——也就是单臂指数，5/48，和单色双臂指数，1/4（即12/48），之和。“17/48很引人注目，”Nolin说道。他开始猜测17/48是准确答案——这意味着在不同类指数之间存在简单的联系。你可以把它们加起来。“我们觉得，啊，这太不可思议了；这一定是对的。”

钱玮研究连续随机结构，而Pierre Nolin研究离散的。

夫妻二人合力确定了骨干指数。

过了一段时间，Nolin和Beffara的猜想并没有什么产出，尽管Nolin把它公布在自己的网页上好让其他人去研究。2017年他前往香港就任香港城市大学的教授职位，并继续研究这一难题。2018年，他在与钱玮的谈话中提及这一指数，而钱玮那时还是英国剑桥大学的博士后。钱也在研究随机几何，但是在连续而非离散的情形下，并对SLE曲线尤为关注。她正在另一种随机模型中利用SLE计算指数，而Nolin开始猜测她的专长也适用于单色双臂指数。俩人很快找到一个看起来很简单的方程，其解可以给出指数。不过这一方程依赖于一个中间量，而它又跟网格边界处一条SLE曲线包围的空间有关。Nolin和钱没法把这个数确定下来。

“我做了大量计算，但还是没能计算出这一特性，”钱说道。“我没能成功，所以只好中断一段时间。”

“我们从未向任何人提及它，因为我们不太确定它到底有没有用，”Nolin补充道。

骨干指数

单色双臂指数尤为有趣的原因是它同时也刻画了一个网格的“骨干/脊梁”：跟两条不同的臂相连的那些六边形的集合，它们会扩展出两条互不重叠的臂，一条通向迷宫的边缘，另一条通向中心。在着色后，这些元胞会形成跨越整个网格的一个网络，并被称为骨干。在研究者们为疾病的传播或多孔岩石的形成建模时，骨干就成了微生物或者石油通行的干道。Nolin和钱寻求的指数揭示了骨干的尺寸，因而也被称为骨干指数。

骨干指数

一个六边形晶格的“骨干”由所有这样的元胞构成：它们通过两条互不重叠的路径分别与边缘和中心连接。骨干指数衡量了晶格变得任意大时骨干的尺寸。

Nolin和钱并非追逐骨干的仅有者。当时在宾州大学的孙鑫也一直在尝试计算骨干指数。在之前的年头里，孙和包括纽约大学的Nina Holden在内的合作者一起想出了一种利用随机分形曲面来研究SLE曲线的方法。这些蔓延的曲面有着扇状的边缘，并进而延伸成长须。有些点跟邻居只有几步之遥，而其它的则有数月的旅程。在某些地方，这些效应太过于极端以致于没法视觉化。“事实上不太可能画出来”并且做到完全精确，Holden说道。“你必须把曲面拉伸很多。”

2022年夏天，孙让一个二年级研究生庄子杰加入到临界概率处随机迷宫的研究当中。他们考虑这样的随机迷宫，其中六边形不是放在平面上，而是放在一个随机分形曲面上。因为几率决定了在哪里以及以多大程度进行拉伸或压缩，该曲面有着独一无二的特性。（这些特性也使得这类曲面对于研究二维宇宙中的量子引力模型的物理学家很有用，并被他们取名为Liouville量子引力曲面。）例如，如果你剪开这种曲面，两半的形状互不相关。“这种无关性确实让事情大为简化，”麻省理工的Scott Sheffield说道。当事情随机时，你对它们知之甚少，但那可能意味着没有多少信息需要周密考虑。

孙和庄首先尝试确定连接网格中心周围的一个小圆和包围着它的一个更大的圆的一条空白路径的概率。在解答出这个问题之后，孙提出了野心勃勃的下一步：计算存在两条连接嵌套圆的路径的几率，而这会为他们给出计算骨干指数的方法。不过，很快他们就陷入了困境。“我们尝试了这种方法好几个月，但计算看上去不是太好处理，”庄在邮件中写道。

庄子杰，宾州大学的研究生，与当时

在那任教授的孙鑫一起利用随机分形曲面研究骨干指数

与此同时，尽管Nolin和钱还没有成功找出指数的值，他们在其它方面取得了进展。钱从她在法国国家科学研究中心的职位休假，加入Nolin到香港城市大学任教授。（他们也结为了夫妻。）2021年夏天，她翻到孙与合作者的几篇文章并产生了兴趣，于是当疫情旅行限制一解除，她就规划了2022年12月前往新泽西州普林斯顿高等研究院的访问，因为孙将在那待一整年。

结果表明这次访问很有收益。当钱描述她和Nolin发现的那个方程时，孙想到它可能与他跟庄在Liouville量子引力曲面上放置迷宫的技术是适配的。“这有点巧合，”孙说道，“一个人有一把锁，另一个人正好有一把钥匙。”

庄有点怀疑。“我们没什么期许，我们甚至不知道那个式子是不是有良好的解，”他这样描述当时的状况。孙和庄投入了接下来的数月时间利用他们的liouville量子引力技术——钥匙——去解出Nolin和钱早几年的方程里的那个难以捉摸的量——锁。

经过四个月的工作，孙和庄终于打开了这把隐形的锁。孙给庄、钱和Nolin发了封邮件，宣布：“重大利好：骨干指数的精确公式。”他发现，答案是由平方根和三角正弦函数构成的一个稍微复杂的表达式。它跟之前的估算是相符的，是一个以0.3566668开头的无限小数。

四人把自己的工作写成文章，在其中精炼了论证过程，将Nolin、钱和孙、庄两方面的想法结合成一个证明。孙的博士导师Sheffiled对此赞不绝口，称之为“一颗精美的宝石”。“证明策略确实出人意料并且独出心裁，但当你看过以后，又会觉得它有些水到渠成的味道，”Holden说道。

Nolin对他2011年把这一指数精确值猜测为17/48有些耿耿于怀。“我们误导了整个领域好些时间。对此我感到不太光彩。”骨干指数跟它的多色兄弟们截然不同。它不仅是无理数，还是超越数，这意味着它跟π和e一样，无法写成简单多项式方程的根。

“证明并不能真正解释这个式子从哪来的，”他说，“我们已经把它展示给了物理学家们，很期待他们的洞察力。”

骨干指数的超越数性质引起了领域内其他人的注意。Chan-Zuckerberg生物中心的Gregory Huber与人合写了一篇关于骨干指数的后续文章，并认为这一结果仅仅是统计力学中“一座新大陆的首次亮相”。他在文中写道，尽管将SLE曲线与Liouville量子引力结合起来是极其技术化的，但从中呈现出的简明数值答案却“惊人地简单和优雅”。

参考文章：

Pierre Nolin, Wei Qian, Xin Sun, Zijie Zhuang, Backbone exponent for two-dimensional percolation, arXiv:2309.05050.

I. Gruzberg, and G. Huber, (2023). The curious case of the backbone scaling exponent. Journal Club for Condensed Matter Physics.

L. Sloman,(2024, February 7). Maze proof establishes a ‘Backbone’ for statistical mechanics. Quanta Magazine. Retrieved from https://www.quantamagazine.org/maze-proof-establishes-a-backbone-for-statistical-mechanics-20240207/