ZX演算

左 芬

上海微观纪元数字科技有限公司

（二） 互补与强互补

上次我们介绍了Z-蛛与X-蛛，并把她们和坐标与动量做了比较。我们知道坐标与动量服从不确定性原理，Z-蛛与X-蛛也满足类似的性质，我们称之为“互补性（Complementarity）”。具体说来，就是以下关系：

首先要对这个式子做一些定义。左边只是把Z-蛛与X-蛛衔接起来，右边是啥意思呢？这里我们需要对原始的Z-蛛和X-蛛加以推广。既然我们可以复制，那就也可以“删除”了。所以右边的两部分分别是Z-基下的删除操作，和X-基下删除操作的反演。这里说删除，更准确地说是在相应基下做破坏性的测量，但我们可以先不用这么严格。事实上我们可以进一步定义任意m到n的复制映射，m和n可以为0，或是自然数。

其次，这一关系的物理含义是什么呢？粗糙地说，就是在一组基下制备的（基矢）态，在另一组基下去测量，是得不到任何信息的。类比到坐标和动量，就对应着这样的表述：坐标完全确定的态，动量是完全无法确定。所以把它称为互补性关系，是合乎情理的。

最后，这一关系是局域的，即作为整个过程的一部分也是成立的。所以，只要在任何过程中出现左边的图形，就可以简化成右边。

下面我们来应用一下互补性，用它来证明CX门的幺正性。证明过程如下：

解释一下。首先我们把CX门的蜘蛛图表示的数值系数补充完整了（上次略过了）。这里的D是单希尔伯特空间维度，对于量子比特来说就是2。第一步，我们把相同颜色的蜘蛛捏在了一起，这是可行的，因为先后多次复制和单次多重复制是等效的；第二步我们用到了互补性；

最后一步，不额外复制当然等同于维持原状。于是，我们完全图形化地完成了这一证明。你可能会说，这是不是有点大炮打蚊子啊，CX的幺正性不是很容易证明么？只需要用到X²=I就行了。但是请注意，你是需要脱离量子电路用代数关系证明，并且区分不同的输入情况。试想一下，如果有很多受控门耦合在一起，该如何代数证明呢？这时候图形化的方式就会体现出巨大的优势来。

在上面的例子中我们处理的是相同颜色的蜘蛛相邻的情形，如果她们互相错开怎么办呢？比如，如何简化下图呢？

研究表明，要想化简这种图，我们必须继续强化Z-蛛与X-蛛的性质。于是我们引进下面的关系：

如果你看得足够仔细，你会发现上式左边与前面我们想化简的图在拓扑上是相同的。上面的关系式告诉我们可以把它简化成右边的形式。怎么理解这一关系呢？我们知道态和算符是紧密相关的，复制门既然可以复制态，自然也可以复制相应的门。于是，当你试着把右边的两个蜘蛛分别穿过对方时，她们会被相互复制，于是变成了左边的样子。我们把这一关系称为“强互补性（Strong Complementarity）”，因为它蕴含了互补性（证明略）。

我们也来看看强互补性的应用。首先我们把它重写成这种形式：

将这一关系与CX门的幺正性衔接起来，我们会得到交换门：

直接证明这一点似乎并不那么容易。事实上，Nielsen和Chuang的书里不少习题可以用蜘蛛图来快速解答。

至今为止我们只讲到了Z-蛛和X-蛛，怎么没有Y-蛛呢？如果我们只局限在互补性的框架下，是可以引入Y-蛛的，并且XY,YZ,XZ两两互补。如果我们要求强互补，那么只有其中一对可以满足，另一个则被抛弃了。换句话说，互补性是允许移情别恋的，而强互补则必须忠贞不渝。

顺便提一下，无论Z-蛛还是X-蛛，数学上其实是（交换）Frobenius代数；而强互补的一对Frobenius代数，则构成了一种特殊的Hopf代数。