ZX演算

左 芬

上海微观纪元数字科技有限公司

前一阵粗读了Bob Coecke和Aleks Kissinger合著的 “PICTURING QUANTUM PROCESSES: A First Course in Quantum Theory and Diagrammatic Reasoning”一书，有类似朱天文“石破天惊，云垂海立”的感觉。不过原书是在范畴论的语言框架下写的，一般人很难读懂。我在这里不自量力，把原书最精华的部分之一——ZX演算——用通俗的话跟大家讲讲。再次强调一下：所有内容均出自该书，我只是重新表述而已。

我们知道，量子电路里要求所有的门都是幺正的。如果把量子电路跟量子场论里的费曼图相比，会发现这一要求是有所不同的：在费曼图里我们只要求整体过程是幺正的，而不对相互作用顶点做此要求。正因如此，我们在画费曼图的时候相对比较灵活。那么，我们是不是可以把类似的思想用到量子电路中来呢？答案是可以，而且如果你足够聪明，这样做了之后，你或许会独立发明ZX演算。下面我们用CX门来详细说明这一点。

CX门也就是所谓受控非门（CNOT），在电路里通常如下表示：

现在我们试图把两个“相互作用顶点”切割开来。在上面一个顶点处，我们其实没做任何操作，只是把输入的态复制了一份（如果输入的是Z基的基矢态）。我们把这个顶点叫做Z-复制映射，并给它一个单独的记号：

注意我们在这里改变了时间方向：量子电路的时间方向是从左至右，而这里我们类比于费曼图，改成从下到上了。我们甚至还给她起了个昵称：Z-蛛。注意这一映射并不能复制任意态（为什么？）。那么下面一个顶点呢？她实际上是一个二到一的门：如果中间线是0，则不操作；如果为1，则翻转左侧输入（X操作）。可以证明，这实际上是一个异或门：

注意我们再次改变了时间方向。换句话说，受控非门其实可以分解成如下形式：

这好像简化了一点，但还不够。复制门我们比较好理解，这个异或门当成基本模块来用的话还是有点复杂。有没有什么办法继续简化下去呢？办法是有的，但我们要转换视角。上面的复制和异或门都是在Z-基下的作用效果。如果我们转换到X-基下，会如何呢？结论有些惊人：Z-基下的异或门就是X-基下的复制门（的“反演”）！之所以是反演，是因为异或门是二到一的，而复制门是一到二的。这一结论需要证明，但是我不打算重复证明过程。对此感兴趣的朋友可以私下交流。我们把X-基下的复制门用以下图形表示：

并称之为“X-蛛”。而她与Z-基下异或门的关系为：

这里之所以是约等于，是有归一化的因子未包含在内。把Z-蛛与X-蛛合起来，我们就得到了：

Z-蛛和X-蛛是两种最基本的“蜘蛛”，后面会介绍她们各自相应的推广。把量子电路（甚至超出量子电路的过程）完全用广义的Z-蛛和X-蛛来表示，就是ZX-演算。值得一提的是，Z-蛛和X-蛛本身似乎都只是平庸的复制操作，但把它们合起来就大不一样了。这不就是量子力学么：坐标和动量本身都平平无奇，但它们的对易关系是非比寻常的！