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最近因为一个project的关系,需要用到非线性动力学的一些分析方法和技巧,因此花了点时间学习了下nonlinear dynamics and chaos的内容。我自己虽然不是主攻这个方向的,但是学习下来,还是感觉到这个领域的有趣,有料和有深度。虽然看起来理论性和技巧性的东西偏多,但是混沌的研究应该能够揭示自然更深层次的一些东西,同时这些研究在各个学科也都各有用武之地[1]。
作为一个形式简单的一维、二次映射,logistic map 通常被作为一个典型的非线性、具有chaotic特性的动力学系统作为入门研究。自从1976年[2]被提出以来,关于这个系统的研究,不说汗牛充栋也算是不可胜数。你可以在网络上找到上千篇涉及到这个系统的文献。本文作为我学习的一个笔记,归纳总结了我所认为重要的一些logistic map的性质,难免会有遗漏,欢迎指正。所有的图像都在Matlab下编码实现(available upon request),特此声明。
The logistic map 本质上是一个参数r-dependent的iterative map, 它的数学形式如下:
(1)
对于最初提出的人口问题来说, 代表的是在第n年的人口与最大可能人口的比值,r 则代表着人口出生率和死亡率所形成增长率。对于大于3.57的r值, $x$ 的最终取值严重依赖于初始值 $x0$ 。关于初始值的一点微小变化,反映在最终值 $x$ 的路径将是一个巨大无比的变化,这也是具有chaos特性的系统的一个显著特征,我们将在后面的分析中观察到。下图所显示的是一个典型的logistic map 在 phase space 和随着时间的迭代路径。
解决一个简单的一元二次方程,我们可以很容易的找到这个动力学系统的fixed point.
(2)
这个二次方程的两个根,代表着这个系统的两个稳定点,分别是
(3)
3. Linearized stability
通过将非线性系统线性化,我们可以分析系统在fixed point 附近的局部稳定性。
(4)
其中 $\lamda$ λ被叫做系统的multiplier 或者eigenvalue. 将式子(3)中所得的两个fixed point带入式子(4),我们得到
(5)
对于离散系统,我们知道系统获得局部稳定性的条件是,因此对于参数r-dependent的logistic map,我们可以定性的得到
(6)
这里,通过观察我们可以发现,当, fixed point is a non-hyperbolic fixed point, 事实上,根据bifurcation(分叉)的定义,我们知道
is a transcritical bifurcation point of logistic map. [When a change in a parameter results in a qualitative change in the dynamics of anonlinear process, the process is said to have gone through a bifurcation]. 当
,
从稳定的attractor转变为不稳定的repeller, 同时fixed point
变成正的,也即称为attractor,这种相互转换正是被称为transcritical point的原因。
同样的道理,当 是另一个non-hyperbolicfixed point,事实上这是一个period-doubling bifurcation point of themapping.
对于初始的mapping f, 我们得到a transcritical bifurcation at , and a period doubling bifurcation at
. 类似的,对于
map, a period doublingbifurcation 发生在
,
map, a period doublingbifurcation 发生在
. 随着r的增加,period doubling 发生在
and bifurcate 在
。这些
的序列遵循Feigenbaum rule:
(7)
也即,当n趋近于无穷,。
Bifurcation diagram 显示的是系统的稳定的fixed points 的分布情况,这种分布取决于
的取值是不断变化的,如图所示。
· 当, period doubling cascade of the sequence
决定了attracting fixed points.
· 当,fixed point 分布在整个[0,1]的区间。这个时候,系统表现为chaos的特性。
总而言之,对于logistic map,“depending on the value ofthe parameter r, orbits of the logistic map may appear orderly or chaotic”.
如图所示,横坐标轴显示的是作为参数的r的变化,纵坐标显示的可能的长期的x的取之情况。通过这个diagram前面我们所讨论的各种情况都变得显而易见的清楚。
5. Chaos and the Logistic Map所谓的chaos, 指的是在确定性的系统中所表现出的具有随机性特征的现象,i.e.“Stochastic behavior in a deterministic system”. 根据Strogatz [1], “Chaos is aperodic long-termbehavior in a deterministic system that exhibits sensitive dependence oninitial conditions”. 具有chaos的系统一般具备以下特征[3]
· 对初始值敏感-意味着不可预测性
· Topological mixing
· Density of periodic orbits
· Strange attractors
Sensitive dependence on 初始值,可能是chaotic系统最为显著,也最具困惑性的特点。它从理论上决定了chaotic system 的不可预测性(unpredictability),起始于非常接近的两个初始条件,经过一系列循环之后,相互之间的路径可能以指数形式迅速divergence,由此就引出了关于Lyapunovexponents的研究。
下图显示的是,当r分别为3.55和3.7时,logistic map的迭代情况,分别对应了非chaotic和chaotic的情况。对于每一个r值,我们取两个非常接近的initialcondition (eps = 0.0001). 我们发现,对于非chaotic系统,经过60步的迭代之后,两条路径仍然吻合的很好;而同时对于chaotic的系统,在经过不到20步的迭代,两个orbit的差距迅速拉开,从一个方面反映了系统对初始值敏感和复杂性。
Lyapunov exponent 是一项非常有效的衡量系统离散型的指标。粗略来说,如果一个系统的Lyapunovexponent 是大于零的数,那么整个系统就是指数发散的,是个chaos的系统,如果小于零,那么系统不具备chaotic的特征。如下图所示,我们可以看到logistic map的lyapunovexponent 随着r值的变化的分布情况,同时我们可以看到,这个变化趋势与bifurcationdiagram 是一致的。他们是从不同的方面展示的同一系统的同一特性:chaotic.
另外一个比较能反应logistic map的parameter r dependent的方法是cobweb(stair) map.对于不同的r值,我们可以看到不同的map递归情况。
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Chaos_theory.
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