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Logistic Map notes

已有 10338 次阅读 2014-3-26 23:28 |个人分类:学习笔记|系统分类:科研笔记| Dynamics, Nonlinear, Chaos, map, Logistic

最近因为一个project的关系，需要用到非线性动力学的一些分析方法和技巧，因此花了点时间学习了下nonlinear dynamics and chaos的内容。我自己虽然不是主攻这个方向的，但是学习下来，还是感觉到这个领域的有趣，有料和有深度。虽然看起来理论性和技巧性的东西偏多，但是混沌的研究应该能够揭示自然更深层次的一些东西，同时这些研究在各个学科也都各有用武之地[1]。

作为一个形式简单的一维、二次映射，logistic map 通常被作为一个典型的非线性、具有chaotic特性的动力学系统作为入门研究。自从1976年[2]被提出以来，关于这个系统的研究，不说汗牛充栋也算是不可胜数。你可以在网络上找到上千篇涉及到这个系统的文献。本文作为我学习的一个笔记，归纳总结了我所认为重要的一些logistic map的性质，难免会有遗漏，欢迎指正。所有的图像都在Matlab下编码实现(available upon request)，特此声明。

1. The logistic map

The logistic map 本质上是一个参数r-dependent的iterative map, 它的数学形式如下：

(1)

对于最初提出的人口问题来说，代表的是在第n年的人口与最大可能人口的比值，r 则代表着人口出生率和死亡率所形成增长率。对于大于3.57的r值， $x$ 的最终取值严重依赖于初始值 $x0$ 。关于初始值的一点微小变化，反映在最终值 $x$ 的路径将是一个巨大无比的变化，这也是具有chaos特性的系统的一个显著特征，我们将在后面的分析中观察到。下图所显示的是一个典型的logistic map 在 phase space 和随着时间的迭代路径。

2. Fixed point (定点)

解决一个简单的一元二次方程，我们可以很容易的找到这个动力学系统的fixed point.

(2)

这个二次方程的两个根，代表着这个系统的两个稳定点，分别是

(3)

3. Linearized stability

通过将非线性系统线性化，我们可以分析系统在fixed point 附近的局部稳定性。

(4)

其中 $\lamda$ λ被叫做系统的multiplier 或者eigenvalue. 将式子(3)中所得的两个fixed point带入式子(4)，我们得到

(5)

对于离散系统，我们知道系统获得局部稳定性的条件是，因此对于参数r-dependent的logistic map，我们可以定性的得到

(6)

这里，通过观察我们可以发现，当, fixed point is a non-hyperbolic fixed point, 事实上，根据bifurcation(分叉)的定义，我们知道 is a transcritical bifurcation point of logistic map. [When a change in a parameter results in a qualitative change in the dynamics of anonlinear process, the process is said to have gone through a bifurcation]. 当，从稳定的attractor转变为不稳定的repeller, 同时fixed point 变成正的，也即称为attractor,这种相互转换正是被称为transcritical point的原因。

同样的道理，当是另一个non-hyperbolicfixed point,事实上这是一个period-doubling bifurcation point of themapping.

对于初始的mapping f, 我们得到a transcritical bifurcation at , and a period doubling bifurcation at . 类似的，对于 map, a period doublingbifurcation 发生在， map, a period doublingbifurcation 发生在. 随着r的增加，period doubling 发生在 and bifurcate 在。这些的序列遵循Feigenbaum rule:

(7)

也即，当n趋近于无穷，。

4. Logistic map bifurcation diagram

Bifurcation diagram 显示的是系统的稳定的fixed points 的分布情况，这种分布取决于的取值是不断变化的,如图所示。

· 当, period doubling cascade of the sequence 决定了attracting fixed points.

· 当，fixed point 分布在整个[0,1]的区间。这个时候，系统表现为chaos的特性。

总而言之，对于logistic map，“depending on the value ofthe parameter r, orbits of the logistic map may appear orderly or chaotic”.

如图所示，横坐标轴显示的是作为参数的r的变化，纵坐标显示的可能的长期的x的取之情况。通过这个diagram前面我们所讨论的各种情况都变得显而易见的清楚。

5. Chaos and the Logistic Map

所谓的chaos, 指的是在确定性的系统中所表现出的具有随机性特征的现象，i.e.“Stochastic behavior in a deterministic system”. 根据Strogatz [1], “Chaos is aperodic long-termbehavior in a deterministic system that exhibits sensitive dependence oninitial conditions”. 具有chaos的系统一般具备以下特征[3]

· 对初始值敏感-意味着不可预测性

· Topological mixing

· Density of periodic orbits

· Strange attractors

Sensitive dependence on 初始值，可能是chaotic系统最为显著，也最具困惑性的特点。它从理论上决定了chaotic system 的不可预测性(unpredictability)，起始于非常接近的两个初始条件，经过一系列循环之后，相互之间的路径可能以指数形式迅速divergence，由此就引出了关于Lyapunovexponents的研究。

下图显示的是，当r分别为3.55和3.7时，logistic map的迭代情况，分别对应了非chaotic和chaotic的情况。对于每一个r值，我们取两个非常接近的initialcondition (eps = 0.0001). 我们发现，对于非chaotic系统，经过60步的迭代之后，两条路径仍然吻合的很好；而同时对于chaotic的系统，在经过不到20步的迭代，两个orbit的差距迅速拉开，从一个方面反映了系统对初始值敏感和复杂性。

Lyapunov exponent 是一项非常有效的衡量系统离散型的指标。粗略来说，如果一个系统的Lyapunovexponent 是大于零的数，那么整个系统就是指数发散的，是个chaos的系统，如果小于零，那么系统不具备chaotic的特征。如下图所示，我们可以看到logistic map的lyapunovexponent 随着r值的变化的分布情况，同时我们可以看到，这个变化趋势与bifurcationdiagram 是一致的。他们是从不同的方面展示的同一系统的同一特性：chaotic.