地震资料处理解释群里有人问：“想做一个三维全波场数值模拟软件，包括声波介质、弹性波介质、黏弹性介质，还有各向异性，目前哪种有限差分算法，速度又高、精度又高、适用性又强且稳定”
      对这个问题，张宇做了很好的工作，得到了Hoffman奖。我的粗浅看法如下，供讨论。

      对“精度高”的需求，解决方案之一是差分阶数和格式（隐格式、显格式），裴正林的书有解释。

      对“速度高”的需求，解决方案依赖于模型大小、硬件、软件、成本以及研发时间。对单炮模拟，二维，弹性波模拟大学本科毕业设计，可望用单机实现。三维，如果不限时间，且三维模型尺度跨度（模型长度与单元长度比值）不大，可用单机CPU实现。如果希望在可容忍的时间内模拟单炮（1个小时），三维模型尺度跨度比较大，也许需要考虑GPU实现。在多炮情况下，如果不考虑成本，CPU集群是个解决方案。GPU实现也有一些难题，其中CPU与GPU之间的PCIE总线，往往是最后的瓶颈。刘红伟和李博做了很多研究。具体模型和计算时间参数，依赖与硬件和CUDA版本，细节会有变化。目前刘红伟的GPU声波三维模拟正通过吉星吉达公司和中科联衡在南阳、库尔勒推广，实践中还有少量问题。
      有限差分算法，相同阶数隐格式精度高一些，如果在CPU上实现，用隐格式好。但隐格式在GPU上实现，计算速度不高；用更高阶显格式，与相同精度隐格式比，速度更快。
      三维全波场数值模拟软件，包括声波介质、弹性波介质、黏弹性介质，还有各向异性，在选择差分格式时，可能还需要考虑单元存放方式；一种是传统的螺旋坐标存储，一种是多尺度（加密）网格存储，前者算大模型时会有一定困难，后者也许可适应大模型，显格式（甚至积分解）对后者有利，但还需要解决局部网格之间的数据交换。目前对多尺度网格，快速多极算法是一个有潜力的研究方向。

      快速多极算法，是基于积分解的算法，用来解多体问题和边界积分方程，可使的矩阵向量乘法从N*N，小降到NlogN。原来由V Rokhlin、CW Chew等人提出和发展，广泛用于天文、材料，据说可以与快速Fourier算法的地位一样高。近两年，我们对此关注，试图把他们的语言和问题与我们的语言和问题对上号。目前在我们领域的研究还很不成熟，需要在基础上创新，不仅仅是技术。这个方法大致的特点是将微分方程的积分解（格林函数）分为远区和近区，矩阵向量相乘时，近区直接在空间域乘，远区在波数域乘，但远区要展开成多极子，并截断。

 

 

      根据1楼回复，第3段做了一些修改。

      对“精度高”的需求，解决方案之一是空间导数的差分逼近的阶数和格式：隐格式、显格式，前者又称为空间导数的紧有限差分格式（compact finite-difference schemes ）。时间方向的隐格式需要大矩阵求逆，实践中目前还较少采用。时间方向的显格式，发展了各种辛格式方法，还可能利用快速多极算法。