Zmn-1338 杨六省 : 矛盾的推出没有用到反论题，就不是反证法

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矛盾的推出没有用到反论题，就不是反证法 

杨六省

yangls728@163.com

《百度百科》中的“反证法”词条说：“在应用反证法证题时，一定要用到‘反设’，否则就不是反证法。” 下面是人教版（2024）数学七年级下册第 58 页关于“√2 不是有理数”的证明：

假设√2 是有理数，那么存在两个互质的正整数 p，q，使得 p/q=√2，于是 p=√2q. 两边平方得 p2=2q2. 由 2q2是偶数，得 p2是偶数. 而只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数. 因此可设 p=2r(r 是正整数)，代入上式，得 4r2=2q2，即 q2=2s2. 所以 q 也是偶数. 这样，p 和 q 都是偶数，与假设 p，q 互质矛盾. 这个矛盾说明，√2 不能写成分数的形式，即√2 不是有理数.

笔者评析：关于间接证明，帕特里克·赫尔利（Patrick Hurley）在《简明逻辑学导论（第10 版）》（世界图书出版公司北京公司.2010）第 310 页写道：“使用这个假设（笔者注：指反论题）得到一个矛盾，然后得出结论说最初的假设是错误的。” 

在教科书的证明中，推出的矛盾是“p 和 q 都是偶数，与假设 p，q 互质矛盾”，这说明不成立的假设是指“p，q 互质”（而不是指“p，q 都是整数”），从而说明教科书是把 √2=p/q（p，q 互质）当作“√2 不是有理数”的反论题展开论证的。

 反论题必须参与得到矛盾的推理。但是，教科书在推出“p 和 q 都是偶数”（因而与假设 p，q 互质相矛盾）的过程中，并没有用到反论题中的“p，q 互质”这一条件，否则，会得到完全不同的结论：前面推出了 p 是偶数（姑且不论这种推理是否有效），后面就不可能 再推出 q 也是偶数。 

应用反证法，矛盾的推出没有用到反论题，这是论证形式的错误（与反论题的设定是否正确无关），是证明中的一个硬伤，它表明教科书的证明是无效的。

圣彼得堡大学弗拉基米尔·G·比科夫教授的回复 

杨六省

yangls728@163.com 

前苏联菲赫金哥尔茨的《微积分教程》是大学数学系用书中的著名教材。为了反映笔者

对该书中关于√2 不是有理数证明的不同意见，笔者请求圣彼得堡大学数学与计算机科学学 院院长彼得罗夫·维克多·亚历山德罗维奇教授向该校数学系转发一个邮件（笔者查不到该 校数学系的电子邮箱地址），其中附件是笔者的一篇文章。2025-10-16 收到了圣彼得堡国 立大学副校长科研顾问弗拉基米尔·G·比科夫教授的回复。回复说：“We recommend that you format your material as a scientific article or short communication and submit it to a specialized journal on the history of mathematics.”（“我们建议您将您的材料整理成科学文章或简短通 讯，并将其投稿到数学史专门期刊。”） 下面是笔者修改后的文章摘要，希望得到批评指正。

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