Zmn-1394 薛问天: 关键是要对切线给出严格的定义。评黄汝广《1392》

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关键是要对切线给出严格的定义

评黄汝广《1392》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

我们学习数学，关键是要学习数学的严格逻辑。例如我们学习函数的导数，知道它的几何解释是函数表示的曲线的切线斜率。这里的关键是要对几何中什么是切线的斜辛给出严格的数学定义。

如黄汝广在文中所述，数学中是把【切线斜率】定义为【割线斜率】的极限。是这样定义的，【割线斜率又可由比值直接求得K1=△y/△x，假设△x→0时△y/△x的极限为 K’】，数学中就把这个K´定义为【切线斜率】。

黄先生说【注意，我们此时并没有赋予该极限任何几何意义】。这种说法不合适。把【切线斜率】定义为【割线斜率】的极限。这就是它的几何意义。就是把【切线】的几何意义定义为【割线的极限】。在数学中割线是有定义的，极限是有定义的，从而切线就有了定义  。

黄先生说【对于不为0的任一△x，割线斜率K1=△y/△x=K’+O’(△x)，把其中含△x 的项O’ (△x)舍去，即得到常数项K’，也即切线斜率K´。】他把求【极限】用【舍去】来解释，是不确切的。极限有它严格的定义，不是随意地【舍去】就能求出极限。正是由于这里是极限，即是当Δx→0时O’(△x)→0，才使K1→K′。是Δx的极限等于0，割线斜率的极限等于切线斜率。由于不是Δx=0，使切线斜率等于【最后一个割线斜率】，这才克服了有Δx≠0同Δx=0这种矛盾的所谓贝克莱悖论。

黄先生用切线的斜角等于α，割线同切线的夾角等于β，割线的斜角等于α+β，求出的【切线斜率为K=tgα，割线斜率为K1=K+ O(β)，当β→0时O(β) →0。】从而证明了在β→0时，割线斜率K1的极限等于切线斜率。这从理论上是没有问题的。【从不同的角度对同一个量进行考察而得到等式，是十分常用的数学方法】。但是要注意，这是在切线已有了定义以后的理论。不能用这里的割线斜率K1表达式，在β→0时的极限来定义切线斜率 。因为这里的K1表达式中用到了β，而β的值是割线同切线的夾角，此角是在知道了切线的夾角α后才能求出。所以说切线斜率仍然只能用原有的定义，用ΔX→0时Δy/Δx的极限来求出。

黄先生说【导数的传统极限定义，......没有给出极限必然是切线斜率的证明。】这说得很对。传统极限定义作不到，其它方法也作不到这个【极限必然是切线斜率的证明】。数学上很多概念必须在给出严格的定义后，才能进行证明。切线这个概念必须用割线的极限给出严格的定义。这个定义的正确性要通过我们的大量实践来验证，而不是【证明】。

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