Zmn-1147 薛问天: 在数学推理和演算上“无穷步的忌用”，并不是客观上否定无穷【忌用无穷】。评一阳生《1145》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1145》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

在数学推理和演算上“无穷步的忌用”，并不是客观

上否定无穷【忌用无穷】。评一阳生《1145》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 一，在数学推理和演算上“无穷步的忌用”，并不是客观上否定无穷，在客观上【忌用无穷】。

一阳生先生谈到我在《Zmn-003》提出的“无穷的忌用”。即〖在数学的证明中，只允许有穷步骤的逻辑推理和有穷次数的演算，而不能使用无穷步骤的逻辑推理和无定义的无穷次数的演算。〗

但要注意，这里所说的忌用操作，推理证明和演算，都是指人类所进行的直接操作。由于人的感观受到时空的限制，人所进行的推理和演算，受到禁忌，只允许使用有穷次的推理和演算，而并不是否定客观无穷的存在，并不是在客观上【忌用无穷】。要知道客观上的无穷事物是大量存在的，无穷集合大量存在，无穷过程不受时空的限制，是完全可以完成的。而且我们所忌用的无穷只是指人的推理和人为演算的次数，至于推理的内容和客观操作的次数，则是完全可以涉及无穷的。

一阳生先生认为“无穷的忌用”意味着，【有穷步的操作永远无法跨越到无穷步】，【在数学中只有无穷对象的存在，没有无穷对象的完成过程】。甚至说【在小球的运动过程中，虽然小球客观上连续丝滑的经过了无穷个点，但在主观思维中我们要在有穷步的操作中或推理中证明小球完成了无穷过程。认为小球经过无穷个点，每经过一个点就是一步操作，总共是无穷步操作，是错误的。】这都是错误的认识。

二，一阳生先生问【在一次演算中，后继运算【最多】能进行多少次？是有穷次还是无穷次？【最终】得到的是有穷自然数还是无穷序数？】

我想我已说得很清楚了。由于〖任何自然数都是由0经有穷次的后继运算而得到的〗，因而在形成任何一个自然数的过程中，后继运算【最多】只能进行有穷次。当然这样生成的自然数有无穷多个，所以，【最终】得到的每个自然数都是有穷自然数，但有无穷多个。如果把这个由所有自然数形成的集合，称为超穷数ω，则在形成所有无穷多个自然数的同时也生成了无穷序数ω。 

知0经n次的后继演算中最终得到的数为n。那么在n次演算中，得到的自然数集合是{0.1,2,...,n}，而集合{n+1,n+2,…}中的全部无穷个自然数没有被得到；在n+1次演算中，得到的自然数集合是{0.1,2,...,n+1}，而集合{n+2,n+3,…}中的全部无穷个自然数没有被得到；…。如此进行无穷次的演算之后，所有得到的无穷个自然数集合，就是所有得到的的这无穷个有穷集合的并集。而没有被这无穷次的演算得到的自然数都在这未得到的无穷个集合的共同交集当中。因为可以证明这个交集是空集。这就告诉我们经无穷次演算过程，得到全体自然数。这证明很简单，任何自然数n都可在n次演算中得到，而不在超过n次演算未被得到集合之中。

三，我前面已讲过，所说的在推理上和人为的演算上“无穷的忌用”，并不是在客观上否定存在无穷，在客观上【忌用无穷】。所忌用的无穷步操作，推理证明和演算，都是指人类所进行的直接操作。由于人的感观受到时空的限制，人所进行的推理和演算，受到禁忌，只允许使用有穷次的推理和演算。但而并不是否定客观无穷的存在，在客观上【忌用无穷】。要知道客观上的无穷事物是大量存在的，无穷集合大量存在，无穷过程不受时空的限制，是完全可以完成的。

也就是说，如果让人去实施自然数的后继运算，那要受到忌禁，你只能实施有穷多次的运算，但客观上无穷自然数的形成，这个无穷过程却是可以在客观上完全完成。

所以一阳生先生认为在客观上，自然数集合形成的无穷过程不能完成，【无法运算无穷次和无法遍历全体自然数，那么重复无穷次的演算，同样无法得到全体自然数。】的看法就是错误的。

四、一阳生先生用【x趋向于某定值A或无穷大】来定义【潜无穷过程】，显然不合适。因为这个【x趋向于】只是函数极限定义的一半，不是完整的定义。完整的是函数y=f(x)极限的定义，当x趋近于a时，函数y趋向于A。确切含义是对任何ε，存在δ，当|x-a丨<δ时，丨y-A|<ε。仅仅说其中的一半【x趋近于a】或【y趋近于A】都没有确切的定义。

另外，一阳生说【实无穷过程及其完成都指的是物理世界中的，数学中没有。】也不知他说的是什么意思。

任何自然数都可以由0经有穷次后继演算而得到。当然所有自然数都可以由0经有穷次后继演算而得到。这是自然数的定义，皮亚诺公理的内容。不知一阳生先生为什么说由后继演算生成自然数，【当成是可以得到全体自然数的可完成的无穷过程，是完全错误的。】一阳生先生没有提出任何根据和理由。

五，静态地看，右闭区间[0,1]中点的集合同右开区间[0,1)中点的集合是不同的，右闭区间[0,1]中点的集含有端点1，右开区间[0,1)中点的集合不含有端点1。这就是数学的严密性之所在，叙述得非常精确。

同样，对于动态运动。精确地说，小球经过右闭区间[0,1]中所有点的无穷过程，同小球经过右开区间[0,1)中所有点的无穷过程是不同的，小球经过右闭区间[0,1]中所有点的无穷过程，包含有经过端点1这个点，但小球经过右开区间[0,1)中所有点的无穷过程，不含有经过端点1这个点。尽管小球到达1这个点的时刻，是小球经过右开区间[0,1)中所有点的无穷过程完成的标志，但是小球经过右开区间[0,1)中所有点的无穷过程，并不包括小球到达和经过1这个点这一步。也就是说小球经过1这个点并不是小球经过右开区间[0,1)中所有点的无穷过程中的一步，或者说不是它的最后一步。要知道这就是数学的严格叙述。

同样的道理，在严格地数学陈述中，由于无穷序列0.9,0.99,0.999,...中不包含1这个点。尽管小球到达1这个点的时刻，是小球经过这无穷个点的无穷过程完成的标志，但是到达和经过1这个点，並不是小球经过这无穷个点的无穷过程的一个步骤，不算该无穷过程的最后一步。这就是数学的严格陈述。

我认为严格的数学描述应该是这样的。

静态地讲，1点之前的点，即<1的点，不包括1这个点。

动态地讲，t=1这个时刻，标志着【小球经过这无穷个点的无穷过程】的完成。 t=1这个时刻，【小球达到和经过1这个点】，但是【小球达到和经过1这个点】，並不是【小球经过这无穷个点的无穷过程】的一步。

另外，一阳生先生说【小球从1点之前的某点达到和经过1点，只能是【一步】动作行为，无法拆解为无穷步动作行为，虽然这一步经过了0.9,0.99,0.999,...这无穷个点中剩余的无穷个点和1点。在这一步中我们无限选取【经过[第一子过程中剩余的全部无穷个点中的]每个点】，都或共同的与【达到1点】做了等价对应。】这种说法是错误的。

我前面已经说过，无穷过程的完成，实际上最后是相当稠密的，是在完成时刻前的任意小的时间开区间内，在完成它最后的无穷次的演算后，完成了整个无穷过程的。不是一阳生所说的【一次演算】。而是在最后完成前的一个任意小的开区间内(不是经过一个点，而是一个时间开区间)，稠密地完成了最后无穷次的演算。

再具体一点地说，小球由0运动到1，这个经过无穷个点的过程，实际上是非常稠密地分布在到达1之点之前的区间中。也就是说小球由0运动到1，这个经过无穷个点的无穷过程，对任意小的ε>0。可以令ε=0.0...01(n位)。这样1-ε=0.9...9(n位)。整个无穷过程可以分成经过[0，1-ε]和经过(1-ε，1)的两个子过程。其中第一子过程是有穷过程 ，经过0.9,0.99,...,0.99...9(n位)，共n个点。第二子过程是经过0.99...9(n位)后面的无穷个点的无穷过程。这个第二过程不是【一次演算】，而是在区间(1-ε,1)中执行经过无穷个点的无穷过程。不知一阳生先生对此有何质疑。

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