Zmn-0027  黄汝广:  有理数可数与其稠密性不相容，及薜问天先生的评论
【编者按。 黄汝广先生发来一短文《有理数可数与其稠密性不相容》，特请薛问天先生作了评论。现将原文及评论同时发布如下。请网友们关注，並积极参与评论。】

有理数可数与其稠密性是不相容的

黄汝广

康托尔关于有理数集可数的证明大致如下：

有理数集Q的另一等价定义是全体分数的集合，也即

Q={p/q|p为整数，q为正整数，且p与q无公因子}

全体有理数可按∣p∣+q的顺序由小到大排列，∣p∣+q相同的再按p的顺序排列。这样就有

Q={0，-1/1，1/1，-2/1，-1/2，1/2，2/1，...}

每个有理数必在此序列之中（重复的只保留一个）。故有理数集可数。

我们先假设其证明是有效的。那么很显然，[0，1)区间内的所有有理数也是可数的，也即可以按照其证明中的方法进行排列，从而得到一个无穷序列：现在，我们把这个排列从左到右，依次编号为1，2，3，4，…，每一个有理数都有一个确定的编号；由于集合与元素的顺序无关，我们可以把该序列中的每一个有理数带着确定的编号，恢复为其数轴上的自然顺序。很显然，在这个自然序列中，每一个有理数的编号仍然是确定的，只是编号不再是按从小到大的顺序排列而已：第一个有理数当然是0，并且其编号仍是1，第二个有理数的编号不再是2但仍然是确定的（假设该有理数的编号是p，并将其记作Qp）,如此等等。然而，这将意味着Qp是大于0的最小有理数，与有理数的稠密性相矛盾！

薜问天先生的评语

黄汝广先生在文中「证明」【有理数可数与其稠密性不相容】。文清慧老师让我作一评论。现评论如下。

黄先生的「证明」自然是错的。关键是要指出错在哪里。

「证明」分为三段推论。

第一段说:  将有理数【 以按照其证明中的方法进行排列，从而得到一个无穷序列：现在，我们把这个排列从左到右，依次编号为1，2，3，4，…，每一个有理数都有一个确定的编号； 】

这一段没有问题。有理数可数就是可以同自然数建立一一对应，就用所对应的自然数作为有理数的编号。这完全正确。错误出现在第二段。

第二段说:【 由于集合与元素的顺序无关，我们可以把该序列中的每一个有理数带着确定的编号，恢复为其数轴上的自然顺序。】

问题就出在【 恢复为其数轴上的自然顺序】这句话上。有理数作为一个无穷序列，你怎么知道它可以【恢复】为自然的大小顺序。要知道「可数」只是说有理数可与自然数建立「一一对应」，並不能保证可与自然数建立「保序的一一对应」。也就是说有理数可以「排成一个无穷序列」，但却不能保证「按自然大小顺序排成一个无穷序列」。「证明」错就错在毫无根据地断言有理数序列可以【恢复】成 「按大小顺序排成一个无穷序列」。

当然你可以把有理数 (既使是带标号的有理数)看作是分布在数轴上的数，在数轴上的任何两个有理数，左边的一定小于右边的数。但是在此数轴上的有理数并不是按大小排成的无穷序列，而是稠密地分布在数轴上的。显然这种稠密分布的有理数与有理数的稠密性没有任何矛盾。

所以说:  「证明」笫三段所证明是如果第二段的错误断言「有理数能按大小顺序排成一个序列」成立，则同有理数的稠密性发生矛盾。这个证明也没错，错在前提 「有理数能按大小顺序排成一个序列」不成立。而且这个矛盾正好证明了这个论断不成立。

简言之， ①「有理数能排成一个无穷序列」这个断言是正确的。

② 「有理数能按大小顺序排成一个无穷序列」这个断言没有任何根据，而且是错误的。

③  「有理数具有稠密性」同断言②的矛盾正好证明了断言②是错误的。

因而，此文证明【有理数可数同有理数具有稠密行有矛盾】不成立。。

（完）

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