前些天看一本书，里面提到一牛人的经历，名叫Grassmann ，学过一定数学或者理论物理的人应该知道的。我在北大本科写毕业论文时，教授让我看了几篇文章用到 grassmann，我当时看了个稀里糊涂，平方等于零，积分、导数都很奇特，也没有心情去找本书来弄清楚，更没有去追究此人的生平。

也就是说 $a^2=0$ ，这意味着

$(a+b)^2 = a^2 + ab+ba +b^2= ab+ba=0$

因此， $ab =-ba$ .  两个 Grassmann 数乘法，如果颠倒顺序，符号相反。

假设 a,b 各有两个分量, $a = a_1 e_1 + a_2 e_2$ , $b = b_1 e_1 + b_2 e_2$

则 $ab = (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1e_2$

感觉有点狂吧？

1954年，杨振宁着手构造其规范场理论，为了找到规范场的动力学方程，杨耗费了大量时间，试了各种各样的组合，终于凑出了正确的拉格朗日。但如果用到 Grassmann 的乘法，问题就可以在三分钟内解决。如下。

先记住乘法换为符号改变： $dx \hspace{1mm}dy = - dy\hspace{1mm} dx$

规范场是

$A = A_{\mu} dx^\mu$

微分一次，

$dA = \partial_\nu A_{\mu} dx^\nu dx^\mu = \frac{1}{2} (\partial_\nu A_\mu dx^\nu dx^\mu - \partial_\nu A_\mu dx^\mu dx^\nu) \\ = \frac{1}{2} (\partial_\nu A_\mu - \partial_\mu A_\nu)\hspace{1mm} dx^\nu dx^\mu$

上面第三步仅仅是重新标记上下标。结果是熟悉的，这类似 Maxwell 电磁场。记住格拉斯曼，麦克斯韦尔方程也不用记了，随时推出来。

但是，我们还有这样的项

$A^2 = (A_{\mu} dx^\mu )^2 = A_\mu A_\nu dx^\mu dx^\nu \\ = \frac{1}{2} (A_\mu A_\nu dx^\mu dx^\nu - A_\mu A_\nu dx^\nu dx^\mu) \\ =\frac{1}{2} (A_\mu A_\nu - A_\nu A_\mu) \hspace {1mm}dx^\mu dx^\nu$

如果是电磁场，A只是数字，上面这一项为0 ，所以电磁场没有这一项。但是在杨米尔斯场中，A是矩阵，上面 A^2 不为零，用数学术语说是非阿贝尔 (non-Abelian)。这就是杨振宁据说花了几个月时间才找到的那一项。

另外补充一点，物理界曾有人认为在杨振宁之前 Oscar Klein 在1938年在一次会议中讲解了非阿贝尔规范场但没有发表论文，这说法已经被推翻了。杨振宁是第一人。