人教版高中数学教材中的逻辑错误辨析
——建议高中数学教科书弃用“逆否命题”一词

【摘要】本文根据逻辑学基本知识,分析了人教版高中数学教材中存在的一些逻辑问题,包括自相矛盾的陈述、对象名称的缺失、违反规则的定义以及不当用词。数学教材之所以存在这些问题,归因于教育体制逻辑学教育的缺失导致思维规则的缺失,以致违反思维规则,文章期望引起国家教育部门和权威人士重视逻辑学教育。
【关键词】逻辑学;高中数学教材;自相矛盾;定义规则;用词不当

1、 引言

人类的思想行为是有规律的,是自然规律,客观存在。早在两千多年前,人类已经认识了思维的一些规律。基于对人类思维规律的认识,亚里士多德始创了逻辑学。逻辑学是关于思维规律的知识体系,是思考的基础工具,教人如何正确地思考和表达。世界上很多国家在大、中学阶段,将逻辑作为一种必修的通识教育。1977 年版英国大百科全书将逻辑学列为知识的五大分科之首,即:逻辑学、数学、科学、人文学科、哲学,可见逻辑学的重要性。它们是并列关系,可见逻辑学不是数学。逻辑学的基础作用是对正确思维的保证和规范,作为一门工具型学科,具有全人类性,规范性和基础性,是指导人类使用逻辑思维并进行高效交流和讨论的必要工具。大学生学习逻辑学对本身素养的提高更是十分必要。但在我国,作为系统的通识教育的逻辑课,已经缺失数十年之久了。这种缺失必然造成严重负面影响,使社会呈现出一种思维上的病态,科学创新能力也极低下,在教育界也导致学生逻辑思维能力不足等问题。逻辑学的系统的通识教育在我们的教育体制整体上是缺失的,但是笔者注意到,也有一些科目的教材介绍了点滴的逻辑学知识。人教版的普通高中数学教材选修 1-1^[1]有“逻辑常用用语”一章,列出了命题及其关系,充分条件和必要条件,简单的逻辑连接词,全称量词和存在量词等内容,可是,即使是这么简单的一些内容,笔者浏览了一下,也发现了许多问题,这可以归因于教材编写专家也是出自这个没有逻辑学系统教育的体制,本身逻辑学知识并不扎实,在实际的学术活动中自觉地正确地应用逻辑学知识的能力不足,形成了一个不良循环。数学被认为是进行逻辑思维能力训练的基础学科,数学教材的不严谨势必造成不良影响。

中学教材存在不少逻辑错误,大学教材也同样存在,本文通信作者已经做了一些指正工作^[2-5]。本文根据《普通高中课程标准(实验)》编写的人教版数学教科书中存在的几个问题提出修正意见,目的是呼吁大家重视逻辑学普及工作,掌握思维规则,提高思维品质。

2、 人教版高中数学教材内容的几个问题

人教版高中数学教材是人民教育出版社根据教育部制订的课标组织编写的,笔者偶然机会浏览了教材,根据思维规则,审视了一下,发现存在一些不符合规则的内容,列举如下:

2.1 自相矛盾的陈述
教育部制订《普通高中数学课程标准(实验)》^[6] 开宗明义说:“数学是研究空间形式和数量关系的科学,是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础,并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。”这段陈述包含了若干性质命题和关系命题。

图1. 表示概念外延的欧拉图

从中我们可以简言之,数学科学是科学,这是一个性质命题,表示数学是科学大类下的一个小类,数学小类和科学大类可以用欧拉图表示它们之间的外延关系,见图 1,它们是种属关系,不是全同关系,因为还有自然科学,技术科学等科学存在。

“数学科学是自然科学、技术科学等科学的基础”,这是一个复合的关系命题,数学科学是自然科学的基础,这一命题是支命题。我们以此关系命题为小前提,以另一命题为大前提,可做如下推理:
        如果 A(类)事物与 B(类)事物之间存在关系(非自身关系), (用 p 表示)
       那么,A 事物不是 B 事物;(用 q 表示, 用 p→q 表示此充分条件假言命题)
       数学科学是自然科学的基础, (p)
       所以,数学科学不是自然科学。(q)
推理形式: (p→q) ∧ p → q
这是充分条件假言命题推理的肯定前件式(MP),是有效的推理形式,大小前提命题真实,推理是可靠的,见图 2。

 图2.  肯定前件式推理示意图

数学科学和自然科学并列,也就是,数学科学不是自然科学,与之等价的命题是,自然科学不是数学科学。但是,在《人教版普通高中数学教材必修 1》 ^[7]的《主编寄语》中主编却说:“她(指数学,拟人化的说法,笔者注),是一切科学和技术的基础”。这里,不再说数学科学了,而是说,数学是科学的基础。这是一个关系命题,同理,我们可以得出,数学不是科学,与之等价的命题是,科学不是数学,数学和科学是并列关系,它们和学的外延关系是种属关系，可以用图 3 表示。

图 3 欧拉图表示概念外延的关系

在《普通高中数学课程标准(实验)》和《人教版普通高中数学教材必修 1》两者中,一个认定“数学是科学”,另一个认定“数学不是科学”,但它们是同一体系,等价于同时认定两个互为矛盾的命题都为真,违反矛盾律,自相矛盾。

判断违反矛盾律基本规律,要求是在同一思想过程。根据《人教版普通高中数学教材必修 1》 的《本册导引》中有“我们根据《普通高中数学课程标准(实验)》编写了这套实验教科书”的陈述,由此认定他们是同一思想体系,断定人教版普通高中数学教材存在自相矛盾的陈述。

2.2 名称缺失

教育部制订《普通高中数学课程标准(实验)》引进了集合概念。人教版普通高中数学教材在必修 1 第一章讨论了集合与函数概念 ^[7] ,同时还讨论了子集概念。在讲到子集时写到:“对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合 B 的子集(subset)”。并且把这种包含关系分为两种情况,第一种是集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,而且集合 B 中任意一个元素都是集合 A 中的元素,即如教材所写“集合 A与集合 B 中元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等,记作 A=B”,接着教材谈到第二种情况,集合 B 中有的元素不是集合 A 中的元素,“称集合 A 为集合 B 的真子集(proper subset)”。

这就出现了一个问题,第一种情况的集合 A 该称为集合 B 的什么子集呢?也就是说教材没有给第一种情况的子集这个对象一个名称来指称,这做不到“名正言顺”,授课时很不好讲解。第二种情况,把“proper subset”译为真子集,也显欠妥。

为了消除这个缺陷,我们根据概念的划分知识^[8,9]对子集这个概念的外延提出如下划分,见图4:

图4 子集的分类和名称

子集是一大类对象,只有两种小类,一种是全同型子集(互子集),一种是包含型子集(常子集),图 4(a)。因此,子集的外延划分可应用“二分法”^[8,9]一分为二,用欧拉图表示见图 4(b), 用树状图表示见图 4(c)。

2.3 定义过窄
《人教版普通高中数学教材选修 1-1 》^[1]有“逻辑常用用语”一章,列出了命题及其关系,充分条件和必要条件,简单的逻辑连接词,全称量词和存在量词等逻辑学内容。因此,就有对概念进行定义的内容。它对命题概念下了这样一个定义:“一般地,在数学中我们把用语言、符号或者式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition)”。

定义是明确概念内涵的思维方法,一般以一个简单性质命题来实现,主项是被定义项,谓项为定义项。下定义要遵守规则^[8，9],其中第一条规则要求定义项概念和被定义项概念外延要是全同关系,违反此规则,则发生“定义过宽”、“定义过窄”错误。常用的定义方法是“属加种差”定义法,或者称之为“大类概念加限制”定义法,限制是通过增加内涵减小外延使概念从大类过渡为小类的思维方法,是划分的依据。为确保“全同关系”,下定义时先把被定义项概念归属为被定义项的大类,然后通过合适的限制使定义项大类过渡为与被定义项概念外延全同^[8，9]。

很明显,教材对命题概念的定义违反了“定义过窄”规则的定义。

命题是表达思想的语言单位,应属于语句。该定义应用了“属加种差”定义法,把被定义项概念归属于陈述句,而陈述句是语句的小类。顾名思义,陈述句就是对事物属性的陈述,既如此,它肯定有所陈述,也就一定可以判断真假,无需再加“可以判断真假”的限制,加了倒反成为“不当限制”^[8，9]了。 一些非陈述句,如反问疑问句,也可以判断真假,是命题语句。一般疑问句,祈使句等语句,不能判断真假,不是命题语句。命题是语句,可以用命题语句指称,就如化学是科学,可以用化学科学指称。合乎规则的定义应该是,“可以判断真假的语句叫做命题”。

2.4 用词不当
《人教版普通高中数学教材选修 1-1》有“逻辑常用用语”一章,着重讨论了所谓的“逆否命题”。逆否命题是一个命题,是相对于原命题而言的。原命题是充分条件假言复合命题,即,如果 p,那么 q,这里的 p、q 是支命题,用符号可表示为:p → q,即命题 p 蕴涵命题 q。 对原命题进行了三次逻辑操作而得到了“逆否命题”,其中,对原命题即假言充分条件复合命题的前件 p 和后件 q分别进行否定,得出的命题¬p → ¬q,被谓之为原命题的否命题,这是用词不当,引起了与原命题真正的否命题¬(p→ q)的混乱。

教材还用了一个类似性质命题对当关系图^[8,9]的示意图（图5）来说明命题间的关系 ,而这个示意图的四边所代表的命题之间都是不确定关系,没有确定的相关联的命题我们关注它没有意义。只有两条对角线所代表的命题关系是等价关系,即同真同假,而这两条对角线也是等价关系,只是表示符号不同而已。而且,这和性质命题对当关系图也不一致,性质命题对当关系图的对角线是矛盾关系,即不同真不同假。为了这两个等价的所谓“互为逆否”搞一个这么复杂的图,把学生搞晕。实际上,它只不过是命题逻辑学中的“蕴涵换位律(Trans)”,(p → q)≡(¬q →¬p),记住这个公式即可,证明它也很容易。

图 5 教材中不恰当的用语和示图

教材在涉及原命题真正的否命题¬(p → q)时,由于否命题一词已被使用,只好使用“命题的否定”来指称真正的否命题。可是,命题的否定是行为,不是命题,用命题的否定来指称命题,实在不妥,笔者建议弃用“逆否命题”一词。

3、 结语

本文对人民教育出版社根据教育部制订的课标组织编写的普通高中数学教材中存在的问题提出了纠正意见。数学本就是要着重培养学生推理能力的科目,但是,由于教材编写的不严谨,教学效果会大打扣折。有关专家编写的教材之所以存在这些问题,笔者认为主要原因是逻辑学教学的缺失导致逻辑学知识的缺失,这相当于缺少思维规则约束。笔者写此篇短文发表,以期引起国家教育部门和权威人士重视逻辑学教育。

参考文献
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[7] 人民教育出版社,课程教材研究所. 普通高中课程标准实验教科书 数学 必修 1 A 版. 北京: 人民教育出版社, 2007
[8] 中国人民大学哲学院逻辑学教研室 编. 逻辑学(第 3 版). 北京: 中国人民大学出版社, 2014
[9] 华东师范大学哲学系逻辑学教研室编. 形式逻辑. 上海: 华东师范大学出版社, 2009

本文发表在《高考》2019 年4月（中旬刊）