方程的变迁

小时候上初中一年级，有了代数课，知道了“方程”，许多小学算术课中间的很“绕”的题目，列一个方程，就很容易解出来。一眨眼，六十多年过去了。但是，我学过的课本上可从来没有告诉我，为什么这样“含有未知数的等式”叫做“方程”。小时候的我也没有去想这个问题，就像当年坐在我边上的那位同学叫张家麒，我当时并没有去追问他为什么叫这个名字一样。

不过，年长之后，慢慢明白了，给人给物取名称都是有一定根据或一个缘由的，如张家麒的家长希望他像他们家的“麒麟”，给他们家带来荣华富贵，所以给他取了这样一个吉祥的名字。但是，很长时间以后，虽然学了一元二次方程、高次方程、指数方程等等，我也仍然不知道为什么把这些方程称为“方程”。

直到后来学矩阵，用计算机解线性方程组，看到这由数字组成的方方正正的阵列，才模模糊糊地感到，怪不到这叫做方程。

实际上，“方程”这个词，有着非常久远的历史，原来就是指线性方程组。方，方形；程，程式。差不多两千年前，汉代的《九章算术》的第八卷就取名“方程”。该卷一开始就给出了一道三元一次方程组的算题，翻译成白话文如下：

今有上等黍3捆、中等黍2捆、下等黍1捆，打出的黍子共39斗；上等黍2捆、中等黍3捆、下等黍1捆，打出的黍子有34斗；而上等黍1捆、中等黍2捆、下等黍3捆，打出的黍子则有26斗。问每一捆上等黍、中等黍和下等黍分别能打出多少斗黍子？

显然，任何没有把初中代数全部忘记的人，都很容易写出如下的三元一次方程组

3x + 2y + z = 39

2x + 3y + z = 34

x +  2y + 3z = 26

在《九章算术》中，自然不会有xyz这些变量名，它们实际上也没有什么用处，只要人们记住它们的相对位置即可，如我们可以这样写

3   2   1    39

2   3   1    34

1   2   3    26

当然，《九章算术》中也不会有阿拉伯数字，而且根据中国人写文章的传统习惯，字是竖着排列的，列序是从右到左，这样就给出了下面这样的“方程”。上面阿拉伯数字阵列的第一行相当于最右边的一列，第二行为中间的一列等等

接着《九章算术》就给出了求解这个方程组的方法即所谓“方程术”，实际上就是现在初中所学习的“加减消元法”。只是更接近现在我们用计算机程序来计算的过程，虽然显得有些“笨拙”，但是却像现在我们使用的各种“傻瓜机”一样，即使使用者能力差一些也没有关系，只要照着“方程术”按部就班去做，类似的问题都一样解决。实际上，我们用以计算的计算机也就很“傻瓜”，并不会变通，只会照着编好的程序和输入的数据，老老实实地去照做，麻烦一点倒没有关系。

方程在中国古代就是指这样一类线性方程组。

我们现在把“含有未知数的等式”称为方程，是因为1859年清代数学家李善兰把equation 翻译成“方程”。李善兰当然知道“方程”一词的本来含义，他这样做，实际上已经把“方程”这个词的定义进行了扩张。

随着时代的发展，人类知识的增加，绝大多数名词的定义都在变化，其中很多是在扩张。例如，数，最初只是指自然数，后来扩张到分数，又扩张到负数和〇，这就成了有理数；再扩张到无理数，就成了实数；又扩张到虚数，成了复数；以后又有了多重复数。

方程或方程式这个术语也是如此，也在不断扩充它的“定义域”。

一开始，方程（组）只是指线性方程（组），后来就有了二次或更高次的方程，再有了分式方程和分数次方即开方运算的方程，也就是在代数式里带有未知数的等式，或者称代数方程。

以后，又有了带有三角函数、指数或对数函数的所谓超越方程。

在科学和工程上非常有用的是微分方程。只有一个变量的是常微分方程，有多个变量的称偏微分方程。微分方程的一般解是一个或多个函数，甚至是“函数的函数”，而不仅仅是一个或几个数值。

由于某个方程（组）的解，或者说适合于某个方程（组）的函数，具有某种特定的性质。许多物理问题就可以写为某个方程的解，也就是说，很多物理定律就可以用方程来表示。

像人人皆知的牛顿第二定律就被写为 F（r,t） = m*a（r,t）。其中m是质点的质量，r为质点的坐标，t为时间，力F和加速度a都是坐标和时间的函数。这样的方程实际上已经成为一个物理定律的表达式，或者称为公式。这样，方程式和公式（equation和 formula）在很多情况下成了近义词或者可以混用的词汇。

在更一般的情况下，许多物理定律都被表达为微分方程。像经典力学即牛顿力学的规律被总结成的哈密顿方程，经典电磁学的规律被表达为麦克斯韦方程组，量子力学的运动规律是薛定谔方程，如此等等。

在很多情况下，如果客观世界的某一种规律尚不能用方程式表示，人们往往会不认为我们对此规律有了充分的了解。

由于实际问题的复杂性，很多微分方程实际上是无法得到它的解析解或者说严格解的，只能求得其数值解，当然现在这项工作总是由计算机完成的。有趣的是，在求解的过程中，许多情况下，可以把偏微分方程转化为线性方程组，这样又回归到了原始的“方程”。

例如，对于原子-分子体系，由于一般都是多体问题（原子-分子一般总是有许多个原子核和电子组成），其薛定谔方程就无法得到解析解，也就是说，薛定谔方程的解即体系的波函数不能写出它的准确表达式。但是，当人们把构成方程解的函数写为一系列已知函数的线性组合后，薛定谔方程这个二阶偏微分方程就可以还原成了线性方程组，也就是类似于《九章算术》中的真正的“方程”了。

当然，对于一个有十来个到几十个原子组成的体系，其方程组的系数行列式可能会有成百上千阶，不过这对于现在的电子计算机来说还是基本上能够胜任的。

从原子-分子的角度看，化学反应过程中的不同状态，就是薛定谔方程在不同参数下的解，因而，照着现在这样的方法，我们的化学世界，林林总总的化学反应，也不过是不同参数的“方程”而已。

不过，我们从中学化学中就开始接触到的化学反应方程式的含义，却与上面所说的数学方程不是一回事情了。它只是表示表示化学反应中的物质变化过程。例如，碳酸氢钠（小苏打）分子的分解反应，就把反应物和产物分列在等号或箭头的两边即可。

当然，我们需要使得等式两边保持“物质不灭”，即等式两边各个化学元素的原子数相等，也就是将方程式“配平”，以保证这仍然是一个“等式”。

但是，在许多情况下，我们只需要说明由这些物质变为那些物质，一个示意而已，画一个箭头，也不必配平。我们也把它称为方程或方程式。这只是一个式子，这样的“方程式”与原始意义上的方程已经不是一回事情了。

至于在竞技赛车中的“方程式”，则只是根据赛车的大小、重量、功率等所划分的等级，如一级方程式赛车的功率最大。之所以有这样的说法，大概是由于当年的“体育老师”偷懒，不肯把formula另外再翻译一个名词，就硬傍着“数学老师”的“方程式”了。