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数学和音乐，兼谈随机微分方程！
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从1850到1950年, 数学里的随机分析有了很长足的发展。 从历史的角度看, 这段历史就如同一场世界大战史。 法国和俄国实力最强, 他们每个国家都拥有一个兵团的数学家在这里攻城掠地。 然而日本这个后起之秀, 就象日俄战争时那样，出人意料的从俄国人那里夺到了那颗皇冠上的明珠。几乎可以说，日本人只有一个人参与了这个战斗。
这个日本人叫伊藤清。今天随机分析也经常被称为伊藤积分。要问伊藤积分有什么重要性， 我们可以这样说：自然界的现象或者是确定性的，或者是不确定性的。如果说牛顿积分是我们解释确定性现象的工具，那么伊藤积分就是我们解释不确定性现象的工具。当然我们先不考虑量子力学和爱因斯坦的理论，以及混沌学等等。
我觉得很多数学家之所以能埋头研究那些抽象的东西，是因为他们把那些东西看作是音乐。伊藤就是这样的一个人。他在1998年接受京都奖的时候说到：
“正如人们能够被美妙的音乐和气势恢弘的建筑所感动一样, 数学家能够被精确建立起来的数学结构里的美所震撼。 但这里有一个很大的不同: 莫扎特音乐的感染力和科隆大教堂的震撼力你即使不懂音乐理论或者基督教也能感受到。 而数学结构里的美如果你不懂那些传递逻辑信息的数学公式就不可能享受到。 只有数学家能够看得懂数学公式里的"乐谱", 只有他们能够在心里弹奏这些"乐章"。 所以我曾想, 如果没有这些数学公式, 我就不可能把我心中甜美的音乐和其他数学家一起分享。”
“随机微分方程, 有人称为"伊藤公式", 现在已经被用在很多领域里来描述随着时间波动的随机现象. 当我刚刚在文章里把这些公式写出来的时候, 没有多少人注意它们。 大约在十年之后, 其他数学家才开始读我的"乐谱", 并用他们的"乐器"来演奏我的"音乐"。 他们的研究进一步丰富了这种"伊藤音乐"。 近些年, 我发现我的"音乐"已经走出数学而在很多领域里出现, 这是我始料不及的. 这些回音不仅使一些实用的领域收益, 也使数学多了又一层抽象之美。 利用京都奖发奖仪式这个机会, 请让我衷心感谢我的前辈, 是他们不断的鼓励, 让我还在"未完成曲"的阶段, 能够听到那些细微的声音从而坚持下去。”
今天我们在现代金融理论里的主要工具，就是伊藤积分。
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