近日有幸聆听了上海师范大学王国荣先生的报告，受益匪浅。经王先生同意把其报告提纲挂在我的博客，以让更多读者受益。

数学学习和研究方法拾零

 王国荣

(上海师范大学)

     今天很高兴到此与各位交流一下做数学研究的方法.大家知道，几何、代数与分析等类的学科构成了数学的本体和核心.随着数学本身的发展,以及科技与生产实践对数学的新要求,又产生了一些外围学科与边缘学科,如概率论,数理统计等随机类学科，优选学,规划论等运筹类学科，介于数学与工程之间的边缘学科控制论,研究工程乃至生物中复杂信息传递的边缘学科信息论.大量应用数学问题的解决，最终需要取得具有一定精确度的数据,需要研究各种具体的计算方法和理论促进了计算数学的发展及产生了边缘学科计算机科学.数学还与其他科学相互渗透出现了物理数学、生物数学与经济数学等交叉学科.数学科学发展到今天不得不分成许多分支,各个分支的数学家们做研究的方法不一,总的说来是“因题而异, 因人而异”.因此这里所谈只能是一孔之见,供各位参考.下面谈三个问题

一、我的数学生涯

 1956-1960          上海师院数学系本科学习.当年政治运动多,开会多,学习时间少.尽管努力学习,但专业底子薄.

 1960-1966         留校任教,分配建设新专业“计算数学”.

①到复旦大学数学系听课：“计算方法”,“程序设计”.边学边教.

②参加教师“线性代数计算方法”讨论班,学会读外文文献,独立报告,学做研究.

③参加全国函数论学术会议,喜获熊庆来先生题词

“锲而不舍,金石可镂”

④参加统筹方法推广,听华罗庚先生报告,树立学习数学为生产服务思想.知道华先生提倡的

“薄本变厚,厚本变薄”

的读书方法.

⑤第一篇论文写好,未发表.文革开始.

1967-1977          文革,开门办学(到飞机制造工厂、天文台、煤气公司搞项目),使用计算机解决实际问题.计算数学有用武之地,为创建硕士点打下基础.

1978-1998         创建硕士点,培养14名硕士生.

①在苏步青先生主持下,参加制定上海市数学发展规划.请教苏先生治学心得,搞数学就象

“打太极拳,熟能生巧”.

使自己明白了在数学研究中一定要经常温故知新,不断开拓创新的道理.

任高校计算数学学报编委,第一篇论文发表在该刊创刊号.为进一步开展科研拓展了新空间.

②在这期间结合研究生培养翻译出版了两本书：《矩阵计算引论》,《数值分析引论》(上海科技出版社,1980, 1985).

③确定了研究方向：“广义逆理论、应用及计算”.

两次获国家自然科学基金资助(1990,1993)及市教委基金(1996).

1986年第一篇论文发表在国外SCI刊物“Linear Algebra & Applications”上.

在此期间共在国内外发表论文40多篇.

出版专著《矩阵与算子广义逆》(科学出版社,1994, 1998).

④1988.10-1989.10任Iowa大学访问学者,回国后任MR评论员,进一步拓宽了信息空间.

1996.1-1996.7任North Carolina大学高级访问学者,与国外教授合作科研.

1999-2005         创建博士点,培养了5名博士生.11名硕士生.

①1999任上海大学兼职教授、博导, 招收1名博士生.

②2001上海师大申报计算数学博士点成功,以后每年招收1-2名博士生.

③2000第三次获国家自然基金资助,再赴美参加SIAM第七届应用线性代数会议

④2001开始发表国际合作科研成果.

          ⑤2004年出版英文版专著《Generalized Inverses:Theory and Computations》（科学出版社）。

迄今已发表论文100多篇，并获得：

国家教委科技进步三等奖（1994）

国务院特殊津贴（1997）

上海师范大学优秀教授（1997）

上海市优秀教育工作者（2004）

上海市科技进步三等奖（2005）

上海市级教学成果二等奖 （2005）

我除了1988年和1996年两次公派赴美国Iowa大学及North Carolina州立大学作访问和合作研究之外，45年来一直在教学第一线工作。前20年主要是本科教学，后25年主要是研究生教学工作。

25年来我已经培养了25名硕士研究生和5名博士生，这些学生获得硕士学位后大部分赴美国、英国、日本或者在国内深造获得博士学位，有的在国外工作，有的回国工作，如乔三正在美国Cornell大学获得博士学位后在加拿大McMaster大学任教授；李燮璋在美国Maryland大学获得博士学位后在Georgia Southern 大学任教授；项加祥在上海师大获得全国优秀教师称号,任教授,副校长；季均在Iowa大学获得博士学位后在美国Kennesaw大学任教授；陈旭洲在North Carolina州立大学获得博士学位后在美国Fitchburg州立学院任教授，系主任；缪建铭在美国Rutgers大学获得博士学位后在美国Lucent公司任研究员；田红炯在英国Manchester大学获得博士学位后回到上海师大任教授，博士生导师；仇璘在日本名古屋大学获得博士学位后回到国内在上海交通大学任教，她在上海师大学习期间曾获得上海市宝钢奖；魏益明在上海复旦大学获得博士学位后在复旦大学任教授、博士生导师。

我还指导过两位进修教师，其中陈果良现为华东师范大学教授、博士生导师，吴筑筑现在广东韶关学院任副教授。

这些已毕业的研究生分布在世界各地或国内大学工作，他们中许多人有的在学术界已崭露头角，在国内外同行中有较高的知名度。我的首位博士生郑兵现在兰州大学数学系任教授、博士生导师。已获博士学位的上海应用技术大学孙劼教授，上海海事大学徐兆亮教授，上海师范大学俞耀明副教授等都在国内外刊物上发表了许多广义逆的研究论文。

2005年退休以后，我本人或和我培养的几位博士合作完成三本译著：

       (1)《数值分析》（D. Kincard , W. Cheney 著，王国荣，俞耀明，徐兆亮译，机械工业出版社，2005）

(2)《应用数值线性代数》(J.W.Demmel著，王国荣译，邮电工业出版社，2007)

(3) 《数值分析导论》(K.E.Atkinson, Han Weimin 著，王国荣，徐兆亮，孙劼译，邮电工业出版社，2009)

二、数学学习和研究方法拾零

1.打好基础

①怎样读书(华罗庚语)

课本中学；（薄本变厚，厚本变薄）

课外自学；（论文中学，实践中学）

②怎样读论文(泛读与精读)

泛读（扩大知识，触类旁通）

精读（掌握核心，知难而进）

③怎样查资料(中国数学文摘与MR)

中外并举（由此及彼）

确定专题（由浅入深）

④怎样分类整理(近期与未来可能有用)

2.发现问题

开始做研究最困难的是不知道有什么问题可做.有的老师教学不错,书上的难题也会做不少,就是没有自己创新的东西.因此就没有什么论文可以发表.

    下面以我专著《矩阵与算子广义逆》中第三章Cramer法则的推广为例说明如何发现研究问题的几种途径.

①Cramer法则

非异线性方程组

Ax=b     (AÎC)

其中

x=A^-1b,

这里A(j®b)表示A的第j列被b代替后得到的矩阵.

Cramer法则的一个新证(Robinson

②不相容线性方程组    

Ax=b     (AÎC,bÏR(A))

求x满足

极小范数最小二乘解

x=A⁺b

这里A⁺称为A的Moore-Penrose广义逆,它是满足

(1) AXA=A       (2) XAX=X

      (3) (AX)*=AX         (4) (XA)*=XA

的唯一的矩阵X,记X=A⁺.

注：广义逆A⁺是正则逆A^－1的推广.当m=n=r时,

A^－1也满足上述公式.

当AÎR时,

A⁺=(A*A)^－1A*.

Ben-Israel, Verghese  1982,在LAA43:223和LAA  48:315上证明了

的非异性,其中UÎC的列是N(A*)基底,V*Î的列是N(A)基底可得

 途径一：平行推广

③不相容线性方程组

Ax=b     (AÎC,bÏR(A))

M和N分别为m和n阶正定矩阵,求x满足

极小N范数M最小二乘解

x=Ab

这里A称为A的加权M-P广义逆,它是满足

(1)AXA=A           (2) XAX=X

(3M) (MAX)*=MAX   (4N) (NXA)*=NXA

的唯一的矩阵X,记X= A.

我类似地证明了

的非异性, 可得

.

发表在1986,LAA  74：213     (第一篇在国外发表的文章).

 途径二：归纳提高

 以上成果有否可能进一步发展.如有可能,就要进一步归纳提高,可得系列性成果

④设AÎC,使rank A^k= rank A^k+1成立的最小的k,称为A的指标,记k= Ind(A).求xÎ R(A^k)满足一类奇异线性方程组

Ax=b     (AÎC,Ind(A)=k, bÎR(A^k)).

可以证明

x= A_db.

这里A_d称为A的Drazin逆,它是满足

   (1^k)A^kXA=A^k

(2)XAX=X

(5)AX=XA

的唯一的矩阵X,记X= A_d.

我类似地证明了

的非异性,其中U的列是N(A^k)基底,V*的列是N(A^k*)基底.可得,

.

发表在1989,LAA  116：27-34    

⑤一类约束线性方程组

Ax=b     (AÎC,bÎR(A),TÌC^m, xÎT)

当且仅当

bÎAT,  TN(A)={0}

时,上述方程组有唯一解

x=Ab.

这里A是A的具有值域T零空间S的{2}逆X,即满足

R(X)=T,    N(X)=S,       XAX=X

唯一的矩阵,这里ATÅS= C^m.

设B和C*列满秩且S=R(B),T=N(C),则可以证明

非异,

注:         A⁺=A

A=A     (A^#=N^－1A*M)

               A_d=A

⑥非奇异矩阵方程

AXH=K        (AÎC,HÎ C)

的解为

X= A^－1KH^－1.

奇异矩阵方程

AXH=K

的最佳逼近解X₀满足

可以证明AXH=K的最佳逼近解

X=A⁺KH⁺=(x_ij),

其中U,V*,P和Q*的列分别是是N(A*),N(A),N(H*)和N(H) 的基底.

⑦带约束的矩阵方程

AXB=D    R(X)ÌT,    N(X)ÉS

(AÎC, BÎ C, DÎC,TÌ C,SÌ C)

设E、F*为行满秩矩阵,T=N(E),    S=R(F),则唯一解是

X=(A*A+E*E)^－1A*DB*(BB*+FF*)^－1.

更一般情况见英文版，<<Generalized Inverses Theory and Computations >> 3.3.3

途径三：学科交叉—并行算法与广义逆

串行加法:      

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈              7步

并行加法:  

并行计算

(1)     ,     adjA=(A_ji), A_ji是a_ji的代数余子式,要计算n²个(n－1)阶行列式及1个n阶行列式.

(2)求A的特征多项式a(l)=det(A－lI)

(3)求行列式detA= a(0)

(4)求Ax=b的解

Csansky证明了上述问题并行算法的等价性,

I(n)=p(n)=D(n)=E(n)=O(f(n))

并行计算

(1) ,=,     Adj为adj左上角n×m子阵.

(2)求的特征多项式

(3)求行列式det

(4)求Ax=b的极小范数最小二乘解.

我证明了上述问题并行算法的等价性,

GI(m,n)=GP(m,n)=GD(m,n)=GE(m,n)=O(f(m,n,r)).

途径四：实际问题

①管道网络问题

非线性问题®线性化®线性方程组求解

②大飞机油箱体积

插值和数值积分计算

③电视机显示屏,船体放样

曲线拟合和样条函数

途径五：公开问题

 三、如何撰写论文

1.格式

引言(交代问题及本文解决问题)

准备知识(前人已做过的可直接引用,只列出结论不必证明)

主要结论

例题(手算或计算机计算结果,便于验证结论)

注(可进一步讨论的问题)

2.撰写过程

①干中学,学中干(补其它相关知识)

②讨论班(取长补短,集思广益)

③独立思考,夜以继日(日有所思,夜有所梦,梦中灵感,抓住不放)

 预祝大家在各自的数学研究中取得好成绩