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杨辉三角展开的JavaScript程序

已有 11410 次阅读 2012-1-25 13:11 |个人分类:谈数学|系统分类:教学心得| 程序, 杨辉三角

作者:蒋迅

上面是一位美国学生的作业。这个学生按照字面的意思“展开”(expand) 代数式(a + b)n,真的有才。其实老师的意思是要学生得出象 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 这样的等式。但是题目过於抽象,学生不知所措。其实应该先从具体的自然数 n = 2, 3, ... 开始。


Source: Dauger Research

这个数学公式在中国被称作“杨辉三角”。之所以称为杨辉三角是因为宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表,并说明此表引自贾宪的《释锁算术》。英文的名字是“Pascal Triangle”,取自法国数学家布莱士·帕斯卡(Blaise Pascal) 的名子。实际上,这个三角形的发现比杨辉和帕斯卡都要早。我以前写过一个Javascript程序帮助学生做杨辉三角的展开。现在贡献出来,给老师们参考。不过,这里不让运行自己的Javascript程序,所以我只能给出原程序,请读者自己下载试用。

<SCRIPT type="text/javascript">
<!--
var my_n;
var noIFrame = false;

function reLoadFrame(StrPoly,StrTable){
  with(winTrig.document) {
    close();
    open();
    write('<html>n');
    write('<head>n');
    write('<title>Expansion of Perfect nth Power and Pascal's Triangle</title>n');
    write('</head>n');
    write('<body>n');
    write(StrPoly + 'n');
    write('<p>n');
    write(StrTable + 'n');
    write('</body>n');
    write('</html>n');
    close();
  }
}

function InitFrame() {
  with(winTrig.document) {
    close();
    open();
    writeln('<html>');
    writeln('<head>');
    writeln('<title>Expansion of Perfect nth Power and Pascal's Triangle</title>');
    writeln('</head>');
    writeln('<body>');
    writeln("Please input a positive integer.");
    writeln('</body>');
    writeln('</html>');
    close();
  }
}

function doOnLoad() {
  if(noIFrame) {
    if(top.location == self.location || self.location != parent.frames[0].location) {
      with(top.document) {
        close();
        open();
        writeln('<html>');
        writeln('<head>');
        writeln('<title>Expansion of Perfect nth Power and Pascal's Triangle</title>');
        writeln('</head>');
        writeln('<frameset rows="350,*">');
        writeln('<frame name="pmain" src="'+ self.location + '" scrolling="no">');
        writeln('<frame name="graph" src="about:blank">');
        writeln('</frameset>');
        writeln('</html>');
        close();
      }
      return;
    }
    winTrig = parent.frames[1];
  }
  else
    winTrig = window["EmbdFrame"];
  InitFrame();
  document.forms[0].reset();
  document.forms[0].btnStart.disabled = true;
  document.forms[0].expd.disabled = false;
}

function expandit() {
  my_n = document.forms[0].user_power.value;
  if (isNumber(my_n)) {
    // coefficients of polynomial expansion.
    c = new Array(my_n+1);
    c[0] = new Array(1);
    c[0][0] = 1;
    for (i=1; i<= my_n; i++) {
      c[i] = new Array(i+1);
      c[i][0] = 1;
      c[i][i] = 1;
      for (j=1; j<i; j++) {
        c[i][j] = c[i-1][j-1] + c[i-1][j];
      }
    }

    // construct the polynomial expansion.
    var txtPoly = "(x + y)" + my_n + " = n";
    if (my_n == 1) { txtPoly += "x + y."}
    else {
      if (my_n == 2) { txtPoly += "x2 + 2xy + y2."}
      else {
        txtPoly += 'x' + my_n + 'n';
        for(i=1; i<my_n; i++){
          j = my_n - i;
          coef = c[my_n][i];
          // x^j*y^i
          txtPoly += ' + ' + coef + 'x' + j + 'y' + i + 'n';
          if (i%5 == 0) txtPoly += '
             ';
        }
        txtPoly += ' + y' + my_n + '.n';
        // filter out power 1.
        txtPoly = txtPoly.replace(/<sup>1</sup>/g,'');
      }
    }

    var txtTable = "The corresponding Pascal's Triangle:n<p>";
    txtTable += "<table border=0>";
    for (i = 0; i <= my_n; i++) {
      txtTable += "<tr>";
      for (j = 0; j < my_n - i; j++) {
        txtTable += "<td>";
        txtTable += "   "
        txtTable += "</td>n";
      }
      for (j = my_n - i; j < 2*my_n + 1; j++) {
        k = j - my_n + i;
        txtTable += "<td align='center'>";
        if (k%2 == 0 && k <= 2*i) {
          txtTable += c[i][k/2];
        }
        else {
          txtTable += "   "
        }
        txtTable += "</td>n";
      }
      txtTable += "</tr>n";
    }
    txtTable += "</table>";
    reLoadFrame(txtPoly,txtTable);
  }
}

// data validation. Could be replaced by regular expression.
function isNumber(inputVal) {
  inputStr = "" + inputVal;
  for (var i = 0; i < inputStr.length; i++) {
    var oneChar = inputStr.charAt(i);
    if (oneChar < "0" || oneChar > "9") {
      return false;
    }
    return true;
  }
}

function myReload() {
  document.forms[0].user_power.value = 3;
  doOnLoad();
  javascript:location.reload();
}
// -->
</SCRIPT>
<FORM>
<h2 align="center">Expansion of Perfect nth Power and Pascal's Triangle</h2>

This script will generate the expansion of the perfect nth power (x + y)n.

<p>
<form name="formular">
请选择一个正整数: <input name="user_power" size=4 maxlength=2 value=3>



<input type=button name="btnStart" value="开始" onClick="doOnLoad()">
 
<input type=button name="expd" value="展开" onClick="expandit()" DISABLED="true">
 
<!-- <input type=reset value="重来" onClick="myReload()"> -->
</form>

<P> </P>

<IFRAME ID="IFrameExpd" Name="EmbdFrame" FRAMEBORDER=0 SRC="" WIDTH="100%" height="500">
<SCRIPT type="text/javascript">
<!--
  noIFrame = true;
// -->
</SCRIPT>
</IFRAME>

笔者在这个程序里有一件事情没有做:假如有人输入一个任意的“n”,我们应该得到一个一般性的展开式。做到这点不难,有兴趣的读者不妨自己补上。

下面再给几个相关图形:


Source: Radoslav Jovanovic


Source: TeXample.net


Source: Marianne Parsons


Source: Dirk Laureyssens



https://blog.sciencenet.cn/blog-420554-531567.html

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