在前边的一节中，我们展示了这样一个想法，就是量子力学的量子化，实际上是对称性和全同性的结果。这个结果让人惊奇，原来经典哈密顿量所谓的量子化，实际上就是恢复对称性。这样一来，聪明的学生可能就会提出问题，宏观世界的哈密顿量是对称的，但是实际的运动却不是的，这意味着什么呢？很显然，在宏观世界，对称性消失了。我们把这种现象叫做对称性自发破缺，这在后边会进一步解释。宏观世界为什么会出现，实际上，我们到现在依然不是非常清楚，也没有让人信服的理论，这是一个重要的研究方向。

    我们先简单的来看看这个事情。一个放在真空中的一维简谐振子，是无法区分左右的。所以简谐振子会同时出现在左侧和右侧，是一个定态，能量只能是确定的离散的结果。此时，这个简谐振振子会同时出现在许多可能的位置。

    如果把这个简谐振子放在一个现实的宏观世界中，和宏观世界有关系，那么这个简谐振子的运动，就会成为周期性的往复运动。如果我们整个周期的所有情况加在一起，似乎就重新恢复了左右对称性。这个结果非常深刻，也就是说，这种对称性，在宏观的世界是存在的，在哈密顿量里边就有，为了恢复这种对称性，变成了周期性的运动。这种周期性的运动是对称性恢复的体现。在这里的关键是，原来是定态的量子情况，变成了一种在一段时间内的运动。

    也就是说，时间是一种新出现的结果，是对称性被破坏了以后，为了恢复对称性，而出现的现象。（这里只是让学生有一点奇特的感受，我们不进一步展开，因为对于时间，即使是物理学研究者也无法理解太多）

    对称性自发破缺在核结构中是一个非常重要的现象，后边还会进一步讨论。对于这些美妙的想法，学生只需要了解一些就好。如果能启发某位天才的学生能够进一步思考这些问题，真是太美妙了。

    我们接下来继续讨论简谐振子，讨论二维的情况。二维的简谐振子可以分解为两个一维的简谐振子，一个在x方向，一个在y方向。

     此时的经典的哈密顿量为

我们看到这个哈密顿量，就知道二维的情况有着更多的对称性。x²+y²=r²，意味着这里有一个圆的对称性。只要满足r不变，我们可以重新设置x,y，这意味着重新做了分解。所以可以写成更加具有对称性的形式

也就是说方向是不可区分的。我们把这类势场称为中心势。此时的简谐振子如果转动的话，能量是一样的。也就是说，此时的简谐振子可以在任意的二维方向上振动。我们不可能说，转动一个角度，发现这个系统的能量变了。所以在这里角动量是一个守恒量。

     什么是守恒量？就是一个变化过程中不变的物理量。物理学中有一个非常深刻的定律，是一位女数学家提出来的，她叫诺特。她指出，如果一个连续的对称性，就意味着存在一个守恒量。这个结论的证明很复杂，但是结果很容易理解。

     我们来说一说。上边这个二维的情况，很显然，在转动下是不变的，所以角动量是守恒的。但是我们需要更细致的来理解这一点。

     我们给出这个哈密顿量的本征方程下的能量值

由于一个二维的简谐振子可以分解为两个一维的简谐振子，所以能量就是两个一维简谐振子的能量的和。这个是容易理解的。可是当我们从这结果理解的时候，会出现问题。比如n_x=2,n_y=0，这意味着x方向激发了两个量子，y方向没有激发量子。很显然这破坏了对称性。实际的情况不可能真的区分x方向和y方向，而是可以按照任何的两个垂直的方向进行分解。所以这个结果对于我们理解问题有价值，但是不是实际上的结果。经典的情况，可以沿着任意的方向振动，但是对称性被破坏了。在这里，我们会看到n_x+n_y=2, 也就是对于和为2的情况，还有两种情况，一个是n_x=0,n_y=2，一个是n_x=1,n_y=1。也就是说实际的情况，这三种情况都要有。

     我们看到，到了二维的简谐振子，问题一下子就变得复杂了。我们的确可以从分解为两个一维简谐振子振子来讨论，但是对称性被破坏了。

     当考虑对称性以后，也就是变为极坐标来讨论，这当然是可以的，计算的结果为

在极坐标下，变量是极轴的长度，和旋转的角度。我们看到极轴的长度方向上的激发，也就是向外激发的量子数n_r，也是量子化的。同时，转动，也就是角动量的量子数m，也是量子化的。

    这两种看到问题的方式，在核结构中都是非常重要的。但是我们要知道，一种方式破坏了对称性，一种方式没有破坏对称性。

    但是不破坏对称性，却有两种情况。

    我们对后边的这个结果再讨论一下。这里当n_r=1时，m=0，也就是说是不转动的。这意味着，任意方向的振动，变成了往所有方向的振动。当n_r=0时，m=2,也就是说此时这个二维简谐振子在转动。考虑到圆周运动，可以分解为两个垂直方向上的振动，我们就能明白这种情况。当考虑二维的时候，可以不是振动了，而是转动（考虑一个二维的简谐振子围绕中心转动），这一点非常重要。