不熟悉实变函数的人可以忽略与实变有关的细节。

讲实变函数怎么扯上了文化？稍安勿躁，且听我细说分明。

由于我的课程进度比别的教师稍微快了一点，所以今天做了一次教学实验，想看看“研究型“教学到底是否可行，效果如何。

“研究型”教学似乎是个比较新鲜的词，网上搜索了一下，是这样解释的：“研究型教学模式是相对于以单向性知识传授为主的教学型教学模式提出的，是指融合学习与研究为一体的教学体系。研究型教学模式应含有两个基本的内容：其一是以研究为本的学习模式为基础的教学过程；其二是学习过程与研究实践相结合的课程体系。”本质上讲，“研究型”教学与探究式教学并无多大差别，所谓探究式教学是这样解释的：“探究式教学，又称发现法、研究法，是指学生在学习概念和原理时，教师只是给他们一些事例和问题，让学生自己通过阅读、观察、实验、思考、讨论、听讲等途径去独立探究，自行发现并掌握相应的原理和结论的一种方法。它的指导思想是在教师的指导下，以学生为主体，让学生自觉地、主动地探索，掌握认识和解决问题的方法和步骤，研究客观事物的属性，发现事物发展的起因和事物内部的联系，从中找出规律，形成自己的概念。”令人费解的是，为什么在探究式教学之外又提出一个研究型教学！虽然在释义上两者有所不同，但实在看不出其本质差异在哪里。

言归正传，昨天刚刚讲授完Lebesgue控制收敛定理，今天上课伊始，我要求学生将教材合上，不得翻书，一是想借此了解一下学生课外到底有没有预习，二是检验一下学生的探究能力到底如何，所谓的研究型或探究式教学是否可行。

我让大家拿出一张纸、一支笔，然后告诉大家：“请大家回顾一下控制收敛定理的证明，分析一下控制函数在证明中发挥了什么作用？这个控制函数是不是必须的？”

时间在悄无声息中流淌了二十分钟，总算有个同学自告奋勇上来给出了证明。当我要求同学们针对这个证明进行分析从而寻找控制函数在证明中发挥了什么作用时，全堂茫然。于是我进一步引导学生分析整个的证明思路，控制收敛定理证明的基本思路是将积分域（集合）分解成两个部分，在测度较大的集合上，函数序列一致收敛（叶果洛夫定理保证），在这个子集上，积分与极限自然可以交换顺序。在测度充分小的集合上，函数序列的积分被控制函数的积分所控制，此时，函数序列的积分值会不会随着n的变化产生大的变化？这个时候学生才知道，由控制函数积分的绝对连续性可以看出函数序列积分的绝对连续性具有一致性，终于明白只要函数序列积分的绝对连续性是一致的，不一定需要一个可积的控制函数，于是发现了一个新的概念：“积分等度绝对连续函数簇”。在这个分析过程中只有几个学生勉强能参与，大多数学生仍然一头雾水。从这个实验可以看出，学生没有养成课前预习、课后复习的习惯，将学习几乎全部寄托在课堂上，课后满足于完成作业。

接着，将控制函数用函数序列积分的等度绝对连续性取而代之，但暂且加上极限函数的可积性从而分解难度。由于有Lenbegue控制收敛定理的证明在先，完成这个证明并不困难。

从温习控制收敛定理的证明到建立积分等度绝对连续函数簇的概念直至假定极限函数可积的前提下完成积分与极限交换顺序定理的证明整整花费了两节课的时间。这还仅仅完成了Vitali定理的部分证明，真正困难的是放弃极限函数可积性假定，当函数序列具有积分等度绝对连续性时如何证明极限函数的可积性。学生在没有预习的情况下完全靠自主探究是很难搞清楚的，恐怕再有两节课也解决不了这个问题。

这个实验说明了什么？它证明了两点：1、研究型教学带来的效果是讲授型课堂教学所无法相比的，事实上，由于整个过程都需要学生独立思考，学生的注意力高度集中，对概念与理论的理解自然比讲授为主的教学深刻得多，而且一些概念的建立、定理的发现与证明都是学生独立思考发现的。2、“研究型”学习虽然是个行之有效的教学方法，但注定是个不具备可操作性的理念，以Vitali定理为例，如果是老师启发式引导为主，最多一节课就可以完成概念的建立与所有的证明，按照上述方式展开教学，根本无法完成既定的教学内容。即使是在中学，也不适合全程采取这样的教学方式。

假定学生具有很高的学习积极性与主观能动性，学生在课前已经做了充分准备，甚至把书上的概念与定理都搞清楚了，研究型学习是否可行？这就给教师提出了一个高难度问题：“课堂上该设计什么样的问题？”依然以Vitali定理为例，假设学生课前已经清楚了积分等度绝对连续函数簇的概念，也把Vitali定理及其证明搞清楚了，课堂上教师还能干什么？这时我也许会设计下面的问题：

1、在Lebegue控制收敛定理中，为什么需要那个控制函数？它在定理的证明过程中充当了什么角色？

2、控制函数是不是必要的？如果去掉控制性条件，结论还能不能成立？如何保证结论仍然成立？

3、为什么要寻找控制函数的替代物？你能比较控制收敛定理与Vitali定理孰优孰劣吗？

如果学生对控制收敛定理与Vitali定理融会贯通了，第一与第二个问题的回答并不困难，但未必能判定第三个问题，因为这涉及到对数学结果的评判与审美。

什么样的结果是一个好的结果？学生很少具备这样的判断能力，教师有没有这样的能力？恐怕因人而异。例如，微积分中有一个关于函数黎曼可积的判别条件：“假设f是区间[a,b]上的函数，则f在[a,b]上黎曼可积的充要条件是当δ（Δ）→0时，S^{bar}（Δ）-S_{bar}(Δ)→0，其中S^{bar}（Δ），S_{bar}(Δ)分别是对应于分割Δ的大和与小和”。这个结果好不好？如果好，好在哪里？如果不好？不好在哪里？有多少人能做出判断？事实上，可积性问题直到在实变函数中才能彻底得到解决。在控制收敛定理之后紧接着研究的一个问题就是函数的黎曼可积性，这时又有一个充要性判别条件：“区间[a,b]上的函数f黎曼可积的充要条件是这个函数的间断点集是个零测集。”比较一下两个充要条件，哪个更美？有经验的教师一定清楚，微积分教材中的判别条件将函数内在的特征掩盖住了，而实分析中的判别条件反映的恰恰是函数自身的内在特征。

文化是目前教育研究中炙手可热的词汇，什么叫文化？它与课堂教学是什么关系？具体到数学文化，它的内涵是什么？也许迄今为止我们尚未真正搞清楚。

知识与文化有关，但两者有本质不同，知识是死的，文化则是活的，换言之，知识只有与人相结合才能产生文化。具体到课堂教学，如果教师的课堂教学仅仅停留在就知识论知识，没有对知识的独立见解，也没有对知识的主客观评判，那么，他的教学就仅仅停留在传授知识的层面上。如果教师的课堂教学具有对概念、原理的深入剖析，而且这种剖析蕴含着自己对知识的独到见解，这种见解也许基于对历史的了解，也许基于自身的研究积累，那么他的教学就有了文化内涵。这就是课堂教学中知识与文化的差别。那种把文化教育定义成开设一些文化素质课实在是对文化狭义的理解。知识与文化是什么关系？简而言之，知识是人类智慧与文化的结晶，但知识不等于文化，同样的知识在不同的人眼里显示的是不同的影像，这种不同正是由文化决定的，也可以说是由素养决定的。

回到“研究型”教学，我们应该认真思考一个问题，“研究型”教学成功的基础是什么？有三个要素缺一不可：1、学生的主观能动性；2、教师对问题的掌控能力；3、足够的时间。我们的教育现状满足这样的要素吗？“问题”是课堂的核心是每个人都常常挂在嘴边的，很多课堂包括教材也貌似在不断提出问题，然而，当我们仔细推敲这些问题的时候，会发现很多问题其实都是些伪问题或无效问题，与概念、定理的建立与发现毫不相干，相关的例子不胜枚举。

假定教师具有足够驾驭课堂的能力，学生也具有足够的主观能动性，时间允许吗？没有深入一线进行实际操练，凭空想象的招式是经不住实践检验的。我始终认为，所谓师生之间的互动并非形式上的互动，更重要的是思想的互动，学生的思路能紧紧跟着教师的思路，这无疑也是互动的一种形式，启发式、探究式教学的内涵恐怕并不仅仅体现在学生形式上的参与。教师的课堂教学可以多种形式并举，例如，某些环节、某些章节可以采用所谓的“研究型”教学，但这种形式不宜过多，否则难以完成既定的教学目标。通过“研究型”教学让学生懂得如何发现问题、分析问题及解决问题就可以了，教学的大部分时间应该着眼于对知识的理解与融会贯通。