坦率地说，我不喜欢一板一眼的课，我也备课，而且只要第二天有课，哪怕是我讲了很多遍的课，通常头一天晚上干不了别的。但我不会一笔一划地写下备课笔记，也不会去背书，而是思考该怎么讲，很多时候也会在课堂上即兴发挥，有时甚至会在课堂上跟学生胡侃。

今天讲到了聚点原理与有限覆盖定理，这是对现代数学影响非常深远的定理，几乎在每一个数学分支里都能看到她的身影。我首先要学生回顾闭区间上连续函数的性质是怎么证明的，接着帮助学生分析，闭区间套定理、聚点原理及有限覆盖原理的本质到底是什么？她为什么具有如此大的威力？在阐述这些问题前，我先“东拉西扯”地胡侃了起来。

我们每个人与生俱来都有一些朴素的数学思想，例如小孩子追逐打架，他们虽然不知道三角形两边之和大于第三边，也不懂得两点之间最短距离是直线，但追人的小朋友多半知道沿直线斜着追过去更容易追到前面的人。我们学习数学的目的是什么？就是要把数学知识背后所反映的思想变成自己的“本能”。很多人都认为抽象数学对我们没用，的确，我们学习的大多数数学可能在今后的一生中都不会实际用到，如果你不做数学，你可能永远也不会用到区间套定理或有限覆盖定理之类的东西，但这些理论所反映的思想能不能为你所掌握也许决定了你的创造能力。就说区间套定理吧，我们生活中其实随处可见，当我们走到大马路上的时候，会发现每隔一段距离就会有一个井盖，你们知道那是干什么用的？那是为了检查地下管网用的。一旦照明、上下水等发生了故障，我们如何检查？是挨个把井盖揭开看吗？肯定不是，最快速的办法是先从中间开始，如果发现中间不正常，那故障一定发生在前一段，否则在后一段。下一步自然是如法炮制，用不了多久就可以找到故障所在的位置。那个故障点便是我们数学上说的极限点，从中间开始寻找的办法本质上与区间套定理是一样的。设计这个方案的人也许不懂区间套定理，但他却具备了基本的数学思维。而我们学了那么多的数学，却不知学来何用，只能说，你灌了一肚子墨水，却没能让墨水流进你的血液成为你身体的养分，这样的数学学来何用？的确不如不学。

接着，我又以微分方程为例阐述有限覆盖定理的作用。我们对常系数微分方程有一套完整的解决方案，但变系数就很复杂了。例如，假设

$a_{n}(t)x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+…+a_{0}(t)x(t)=0$

是n阶的变系数微分方程，不妨假设$a_{i}$都是连续的，这类方程没有一般的解法，甚至无法求出它的解析解。怎么办？有一个办法可以求它的近似解，由于$a_{i}$连续，所以在每个点的附近函数值变化不大，在允许的误差下，可以在$t_{0}$附近用$a_{i}(t_{0})$近似代替$a_{i}(t)$，这样就得到了一个常系数微分方程：

$a_{n}(t_{0})x^{(n)}+a_{n-1}(t_{0})x^{(n-1)}+…+a_{0}(t_{0})x(t)=0$

这个方程是可以求解的。问题是，我们只是在$t_{0}$的附近得到了一个近似解，如何得到整体解？这就需要将局部解“粘”成一个整体解，如果只有有限个$t_{0}$，是不难把这些局部解粘到一起的。遗憾的是，每个$t_{0}$都取了一个小邻域，这样的小邻域有无穷多个，你怎么把这些小邻域上的局部解“粘”起来？在区域紧致（有限闭）的情况下，有限覆盖定理就发挥作用了。

胡侃完这些闲话之后，我没有马上进入证明，而是问了学生两个问题：“如果向一个桶里放乒乓球，你能放多少个？可以放进去无穷多个吗？”学生的回答当然在意料之中。我接着问：“如果假想这些球的半径可以不同呢？可以放进去多少？能不能是无穷个？”学生虽然不能立刻回答，但稍加思考也能回答上来。由此我问学生：“有限覆盖原理的证明关键在哪里？找到没有？”

本打算把这个定理的证明讲完，可惜钟声响了，只好对学生说留待下回分解。