本不想在这里丢人现眼，可有几位网友要求我将《闲侃数学》发到网上，我若不发，显得我有点心虚，只好发了，很多观点在过去或多或少有所论述。准备PPT时计划讲两个小时，由于时间关系只用了一个小时，所以实际上只讲了一半，而且没有完全照着PPT讲。为方便大家雅正，特地把PPT转换成Word文件。只将报告的第一部分转换过来，关于数学教育问题的认识在过去的博文中曾零散地有所阐述，限于篇幅，就不转换了。

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数学离我们有多远？她与我们的生活有何关系？她是折磨我们大脑的魔鬼？还是给我们带来福音的天使？可能很多人都关心这些问题。那么，有多少人真正了解数学呢？也许，除了数学家和数学工作者之外，许多人都会觉得数学不过是进中学、考大学、读研究生的“敲门砖”，对我们日常生活并无多少用处。或许在普通人看来，数学不过是解决问题的一种工具，事实上，关于数学是什么的问题，古今中外始终有两种不同的观点，中国古代一直将数学当作一种技艺，在学科分类中，将她归类为技术范畴，西方则将数学看作一种理念，将之归类为哲学范畴。为了阐述我们的观点，且来看几个稍为高深一点的例子。

例1.在二次世界大战前，世界上没有一个飞行员敢做垂直于地面的圆周飞行，直到后来一位前苏联数学家从数学上证明了上述飞行的可行性，最终才由前苏联的飞行员完成了第一次飞行。

例2．柯郎与希尔伯特(Hilbert)合著的书《数学物理方法》（该书实际由柯朗所写，有中译本）在早期只有数学家们感兴趣，物理学家们不屑一顾。可是，当物理学家们对苦思苦想了很多年而不得其解的方程无可奈何，不得不求助于数学家时，发现这本书中的理论比他们所期望的解答还要好。

例3.1985年的诺贝尔化学奖获得者郝特曼 (Hauptman)其实不是个化学家。早在上个世纪初，化学家们就知道，当X-射线穿过晶体时，光线碰到晶体中的原子而发生散射或衍射。当他们把胶卷置于晶体的后面，X-射线会使随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑。化学家们为难的是，他们无法准确地确定晶体中原子的位置。原因在于X-射线也是波，它们有震幅和相位。这个衍射图只能探清X-射线的震幅，却不能探测相位。 四十多年后的1950年前后，郝特曼意识到，这件事可以转换为一个纯粹的数学问题。果然，他借助100多年前的付里叶(Fourier)分析，找出了决定相位的方法，并进一步确定了晶体的几何。结晶学家只见过物理现象的影子，郝特曼却利用古典数学从影子来再现实际的现象。也许有些人不知道，郝特曼一生只上过一门化学课，即大学一年级的化学，可他却因此项工作获得了诺贝尔化学奖。

这些例子告诉了我们什么呢？数学决不仅仅是一种方法，一门“技艺”，她更是一种思想、一种思维方式。自然科学也好，社会科学也罢，尽管其研究的对象、角度各不相同，但在方法论意义上，她们是相通的。诚然，对普通百姓而言，日常生活中不会用到太高深的数学，但是，对我们学生而言，情况有所不同，我们日后的成功与否取决于现在的学习， 从某种意义上说取决于我们的数学修养。假如我们按照对数学了解的程度将人进行分类的话，大概有三种人，一种是或多或少受过数学教育的公众，另一种是数学的应用者，第三种是职业数学家。你想做哪一种人呢？

公众通常接受一些什么样的数学教育呢？在小学常常要学习整数、分数以及四则运算，还要学习简单的代数方程。在初中要学习平面几何、代数。在高中要学习三角、立体几何、代数方程、函数以及解析几何。如今，大学也逐渐成为一种大众化教育，如果你上了大学，你还要学习微积分、线性代数、概率统计等数学课程。所有这些数学课程都属于大众化数学教育的范畴。

对于普通人而言，数学有如一个不苟言笑的老夫子，既枯燥又乏味，但对于有数学鉴赏力的人来说，数学是一个聪明、活泼、可爱的小姑娘。人们由于无法理解今天的数学，从而对数学产生了这样那样的误解，甚至认为数学并没有多少用处。那么，今天的数学到底在讲些什么？她和我们有关吗？

我先给大家讲一个故事：从前，有一位大财主，他很有钱，但为人十分吝啬，又非常凶残。他家有一个很漂亮的后花园，但这位大财主决不允许别人到那里玩，一旦有谁走了进去，他必定将闯入者弄死。不过，他有一个怪癖，如果谁进了他家的后花园，被他抓住，他在将你处死之前，一定会先问你几个问题，如果他觉得你讲的是真话，他就将你绞死，如果他觉得你讲的是假话，他就用刀将你砍死。这一天，有一个聪明人走进了他家的后花园，结果被他发现了，于是他命下人将这位聪明人绑了起来，并问他：“你到我的后花园干什么来了？”这位聪明人答了一句话，大财主想了又想，觉得绞死他不合适，用刀砍死他也不合适，最后没办法只好将这位聪明人放了。你能猜出这位聪明人讲了一句什么话吗？

这个故事虽然有趣，可其中所蕴涵的逻辑上的问题却曾经令数学家们惶惶不安。是什么样的问题让数学家们如此紧张呢？大家在中学会学到号称现代数学基础的一个重要概念—集合，他是由德国数学家Cantor在十八世纪七十年代创立的，集合论的创立，为人们研究数学乃至自然界提供了一种适用性十分广泛的框架，它很快成为人们建立各种科学理论的基础。不过，Cantor的集合论是以一种很随便的方式创立的，后人称之为朴素集合论，在Cantor创立集合论不久，人们逐渐发现了其中存在的一些问题。

有一天，英国的数学家与逻辑学家Russel给Cantor写了一封信，信中写道：“尊敬的Cantor先生，我有一个问题想向您请教：在一个村庄里住着一位理发师，这位理发师只给这个村庄里那些不给自己刮胡子的人刮胡子，请问，这位理发师给不给自己刮胡子呢？” Cantor看了这封信后大吃一惊，他立刻明白了Russel的用意，Russel实际上指出了他的集合论中存在的致命问题，这就是著名的理发师悖论。之后，人们陆续发现了更多的悖论。这些悖论的发现动摇了数学大厦的基础，刹那间，数学界引起了一片恐慌，其感觉有如天空开了个窟窿，地球裂了条缝。

这时候，一位重要人物出现了，他就是德国伟大的数学家Hilbert，在Hilbert的倡导下，世界上第一流的数学家们开始了填补窟窿和裂缝的艰巨工作，然而事与愿违，直到今天，数学的良好的基础并未能建立起来。怎么办呢？人们退而求其次，给集合论附加了一些公理，从而使得已经发现的矛盾得以避免，这就是今天的公理化集合论。尽管如此，集合论依然是现代一切数学以及相关科学理论的基础。

有人可能会说，其实集合论离我们还是挺远的，生活中未必能用上，那就让我们来看看与日常生活密切相关但又比较高深的一门学科—对策论。对策一词对于我们每个人都不陌生，生活中常常会碰到一些问题需要我们想出对策，例如，我想和某个人交朋友，怎样才能让对方也愿意和我交朋友呢？这就是个对策问题。又如市场上有很多商家卖同一种商品，我怎样才能使我的利润达到最大？这也是个对策问题。

数学上的对策论与这些问题有关，但有很大的不同。对策论产生于上个世纪四、五十年代，她是由犹太数学家Von Neumann创立的。有一次，Von Neumann的一位学生向Von Neumann请教对策论是什么，Von Neumann给他的学生讲了一则故事，并提了一个问题。故事是这样的：“有甲、乙、丙三人进行决斗，决斗的工具是手枪，但三人的枪法有差别，其中甲是神枪手，百发百中，乙次之，平均两枪中一枪，丙的枪法最差，平均三枪中一枪，为了显示决斗公平，决定由丙开第一枪，丙应该首先向谁开枪呢？” Von Neumann告诉他的学生，这就是对策论。

数学的分支学科很多，不下百种，从应用的角度看，她涉及到自然科学、社会科学乃至日常生活的方方面面，无论是其理论的深度还是广度都非普通老百姓所能想象。这往往让人们感到数学实在是高深莫测，不知其为何物。那么，数学到底是什么呢？中学数学教学大纲中有一个定义：数学是研究空间形式和数量关系的科学。也就是说，数学是刻画客观规律的科学。这是否可以看作关于“数学是什么”的一个完善的定义呢？其实，关于数学是什么的问题，讫今并没有一个统一和严格的定义，柯朗(Courant)曾说过：“‘数学是什么？’这个问题，不能通过哲学概括、语意学定义或者新闻工作者所特有的迂回说法来做出令人满意的回答。”

历史上东西方对数学的认识也有作重大差别，中国古代将数学看作一门技艺，在学科分类中将数学归类于技术范畴。西方则将数学看作一种理念，将之归类为哲学范畴。这种对数学的不同认识同时影响了各自的数学教育。数学是什么？在不同时期，人们对这一问题的回答各有不同，对于前辈们而言，“数学是人们为研究自然界而做出的最精致的发明。”数学始终与物理、天文、化学相伴，有时，人们甚至分不清某个科学家是数学家，还是物理学家或天文学家，那时，数学是真正的科学皇后。今天，大多数的数学逃离了现实世界，数学和自然科学的迅猛发展使得如今的科学家们“在两个领域中都得心应手变得十分困难。”于是，数学家们立足于纯数学，以使问题的研究更简单，这使得人们对今天的数学更加不可捉摸。

布尔巴基学派尽管是法国纯数学研究的代表，但他们也曾对现代数学提出了批评：

许多数学家在数学王国的一角占据了一席之地，并且不愿意离开。他们不仅差不多完全忽略了与他们的专业领域无关的东西，而且不能理解他们的同事在远离他们的另一个角落使用的语言和术语。即使是受过最广博的训练的人在浩瀚的数学王国的某些领域中也感到迷茫，像庞加莱和希尔伯特这样的人，几乎在每个领域都留下他们天才的印迹，甚至在最伟大的成功者中也是少而又少的极其伟大的例外。

在对数学的理解上从来就有两种相互对立的观点，一种观点崇尚追求数学自身的完美而发展起来的纯数学。另一种则相反，认为实用的数学才是好数学。也许探讨好数学与坏数学已经超出了我们的主题，不过上述两种观点反映了现代数学与现实世界之间有着难以逾越的鸿沟。当纯数学与自然科学的各个分支之间再一次建立起紧密的联系时，这种鸿沟或许会消失。然而，如果我们暂且不考虑这种鸿沟，而从哲学层面上来理解数学，则数学的理念、数学的思辩无疑对我们每个人（无论是数学家，还是自然科学家或社会科学家）都具有指导意义。特别地，她对于分析今天的数学教育目的、目标与数学教育内容具有重要意义。总之，数学的教育功能是毋庸置疑的。弄清数学教育的根本目的与目标对于每一个数学教育工作者来说都是头等大事，她将决定我们的教育理念与教育方法。

尽管数学有其抽象的特点，并且很多数学已经远离了自然与社会。但数学始终就像植根于土壤的参天大树，树梢虽远离土地，但始终从土壤中吸取养份，并反过来滋润土壤，为大地提供植被。认为数学特别是现代数学没有用的人恐怕有失主观臆断。柯朗与希尔伯特的书便是明证。泛函分析在量子力学中的应用也是有力的证据。最近，拓扑学家从数学的角度证明了生命科学家的一个重要猜测再次显示了现代数学的威力。

数学是什么？Proclus的回答最富有诗意：

所以说
数学就是这样一种东西:
她提醒你有无形的灵魂；
她赋予她所发现的真理以生命；
她唤起心神,澄净智慧；
她给我们的内心思想添辉；
她涤尽我们有生以来的蒙昧与无知