博文
数学之“芯”—不变量
精选
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新年的第一篇博文还是谈我的老本行—数学。
如果你读懂了此文，那至少说明了两个问题：一是俺的科普水平高，二是你的悟性高。如果你读不懂，那只能说明一个问题：你的悟性太差。哈哈，别介意，其实还是俺的科普水平太差。
很多人都说喜欢数学，可你是否真的了解数学？可知道数学的核心是什么？或者说数学的主旋律是什么？不知道吧？我告诉你吧，是“分类”。分类也是一些自然科学的主旋律，例如动物有多少种类？人分多少种？俗话说：“人以群分，物以类聚”讲的就是这个东东。问题是，怎样分类？数学是如此的复杂，即便对一些简单的数学对象要完成其分类也是异常的困难，能做到有限单群的分类那样精彩者数学上可谓凤毛麟角。要进行分类，首先要确定分类的标准，举个通俗的例子，如果我们要把人分成“好人”与“坏人”，那我们就要给出一些指标来，满足这些指标的就是“好人”，满足另外一些指标的就是“坏人”，因此，关键在于指标的确定，指标取得科学，分类就科学。男人与女人是最简单的分类，但雌与雄却未能尽分天下之人，如太监是男人还是女人就说不清楚。
对数学对象进行分类有很多种指标，但我们应该清楚，空间中除了图形，常常还伴有变换，例如旋转、平移、升缩等，图形的某种特性在这些变换下会不会发生变化？一旦发生变化，变换后的图形就不是原来的图形了。不同的数学领域变换也很不相同，例如，代数里常用的是相似、正交等变换，拓扑里常用的是连续变换，微分几何里常用的是可微变换。要对某些数学对象实施分类，就要寻找在相应的变换下保持不变的指标，这个指标称为不变量（即在某种变换下保持不变的量）。
也许很多人对不变量这个词很陌生，但我敢说只要你读过高中，学过立体几何，你至少见过一个不变量，这就是欧拉数2。如果你上过大学，学过线性代数、解析几何，你至少还见过一些不变量，只是老师可能没告诉你那是不变量，嘿嘿，没准老师自己都没意识到那是一种不变量。我们先来看看解析几何，解析几何主要研究二次曲线或二次曲面，除了退化的情形，二次曲面（曲线）分椭球面、抛物面、双曲面等，如何根据曲面方程判断它是什么样的曲面呢？相信大家都知道，根据二次项系数的符号来判断。我们还知道，二次曲面在旋转变换下的形状不会发生变化，换句话说，方程二次项系数的符号在坐标旋转变换下不会发生变化，瞧，不变量出来了。你知道二次项系数的符号叫什么吗？这就看你是不是熟悉线性代数了，如果你学过线性代数，你应该还记得线性代数中有个重要的东东—二次型，每个二次型都可以经过正交变换化成标准形，即只含平方项的二次型。二次型其实就是高维空间中的二次曲面，只是我们没法画出它们的图像，然而，通过它的标准形可以判断它是个什么样的“图形”。现在想起来了吗？是什么决定了它们的形状？是惯性指标（也叫惯性指数）！平方项中系数为正的个数称为正惯性指标，系数为负的个数称为负惯性指标，正惯性指标与负惯性指标之差称为惯性指标，可以证明惯性指标在正交变换下保持不变。如果你能用矩阵的方式写出三维空间中的坐标旋转公式，那你就不难发现，所谓坐标旋转实际上就是正交变换，由此可见，线性代数不过是N维空间中的几何。矩阵的若当标准型也是一种不变量，想想看，它在什么变换下保持不变？
声称不变量是现代数学的主旋律并不为过，现代数学的几乎每个领域都有着自己的不变量，其理论之丰富与艰深，不是一般人可以想象的。神奇的是不同学科中所发现的不变量相互间有着不可思议的关系！我们来看一个最简单的例子（此处只是个直观的描述，叙述并不严密，例如解析函数的范围并没有加以限定，事实上，通常人们限定在某种度量下的解析函数构成的空间，如Hardy 空间、Bergman空间等）：
（阅读此段感到困难者可跳过）记T为复平面C内的单位圆周，即
T={z∈C||z|=1}，f（z）=zn，z∈T，n是某个整数，
如果用指数形式来表示，则z=eiθ，θ是幅角。假设n是正整数，想象一下，当θ从0变到2π时，zn绕圆周T走了几圈？它刚好沿逆时针方向走了n圈（如果n是负整数，则刚好沿顺时针方向走了-n圈，按照惯例，逆时针方向称为正向，顺时针方向称为负向）。我们把n称为函数f（z）绕原点的绕数（winding number），记作w（f，0），这是个拓扑指标，它决定了方程f（z）=c的解的个数。现在我们稍微走得远一点，假设g（z）是解析函数（后面再解释为什么用解析函数以及什么区域上的解析函数），用f（z）去乘g（z）意味着什么？实际上是对g（z）做了一次变换，由于函数的四则运算是逐点定义的，所以
Tf（z）g（z）=f（z）g（z）
是一个线性变换，取定一个解析函数h（z），方程
Tf（z）g（z）=h（z）
是否有解？相信学过复变函数的人一定知道该方程未必有解，原因是Tf未必是个满射，上述方程有解当且仅当h（z）在Tf的像空间中。那么，Tf的核有多大？像空间有多大？记
KerTf={g|Tfg=0}，R（Tf）={Tfg|g是解析函数}，
KerTf={0}意味着方程的解是唯一的，Tf是满射意味着对一切的h，方程
Tfg=h有解。这里的KerTf的确等于零，但Tf却不是个满射，这就是说，对某些h，方程
Tf（z）g（z）=h（z）
是无解的，这种h有多少？能否确定它的维数？一般情况下，使得方程
Tf（z）g（z）=h（z）
无解的h可能形成一个无限维的空间，但对这里的f，可以验证，这样的h只形成一个有限维空间（事实上，它是n维的），我们把无解的h形成的空间称为Tf的余核，记作
CokerTf，KerTf的维数与CokerTf的维数之差称为Tf的Fredholm指标，记作IndexTf，这是线性变换（算子）理论中的一个重要不变量，它有着许多重要性质，此处就不能讨论了，对
f（z）=zn，IndexTf=-n。
我们发现
IndexTf=-w（f，0），
这个关系是偶然的吗？对更一般的f类似结论是否仍然成立？奇妙的是，这个关系式具有一般意义！这就是著名的指标公式，它是Atiyha-Singer指标理论的雏形，反应了符号映射的拓扑特征与线性变换的分析特征的内在联系。
晕了吧？还有个问题没回答呢，为什么要用解析函数？它的一个重要工程背景是“黑箱”的描述，Laplace变换将时间域上的微分方程转变成了频率域上的代数方程（即上面讨论的乘法变换），系统的一种重要情形是稳定箱（stable box），它对应的传输函数就是右半平面内没有极点的解析函数(可能你会奇怪，上面讨论的圆周，这里却是右半平面，好办，做一下共形变换就行了）。
数学中的不变量很多，每一个都堪称“绝色佳人”，美丽无比，代（数）、分（析）、微（分几何）、拓（扑）几大家族的美女们各有千秋，但遗憾的是，谁都不是完美无暇，指望任何一个完成分类都是徒劳的。于是各路豪杰仍在不断的创造，期望有朝一日造出个空前绝后、美艳不可方物的尤物来完成历史使命。知道杂交能出优良品种的不只有袁隆平，数学家们也知道，数学各个分支的相互渗透已是司空见惯的事情，事实上，有时候你已经很难分清某个数学家是搞几何的还是搞分析的。
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