在科学界欢呼高斯非欧几何建立的同时，人们很容易的接受对应的科普概念。但是，与此同时，人们很难理解的是他的曲面上的主曲率概念。也就是内在坐标的概念。

       概念上，高斯定义：弯曲矢量=直矢量+转动角。形式上，也就是：A=B+XQ。从而，约定：A²=B²+2XBQ+X²Q²=0。在曲面上，只有在两个正交方向上有解：分别写为X₁和X₂。对应于两个正交曲线方向。

       从而有：(B+X₁Q)(B+X₂Q)=0。也就是：B₁=-X₁Q和B₂=-X₂Q。由此，在主曲率方向上，转动角增量坐标Q与曲率半径X相乘后就是弯曲矢量的长度。从而，定义了主曲率，也就定义了对应的角度坐标。它于普通长度坐标是等价的。

       从古代的圆周率概念起，就有：弧长度=半径X转角。

       因此，在这个意义上，是把一维的曲线，推广到2维的曲面。但是，科普高斯概念时，被忘却的是：高斯曲率的面积分+主曲率的边界积分=常数。

       黎曼几何取：长度矢量=（单位坐标对应的长度矢量）X增量坐标。他抛弃了简洁的曲率概念，而代之于复杂的黎曼曲率概念。在此后的100年里，抽象理论的研究就是恢复曲率概念。最终的结果是超级的！

       我们为何很容易的接受黎曼几何呢？对于平直空间，X为无限大！结果是：A= XQ。换句话说，必须把直线长度理解为曲率！这显然是违反常识的！

       违反吗？爱因斯坦的相对论，空间是弯曲的！这个弯曲的出现是因为在特定时间内，能影响某点质点运动的物质是分布在以该质点为中心的球面内的。写成为世界时不变量。但是，对时间的尺度作虚数解释。

       从几何上看，虚数代表的是转动。从而，在黎曼几何意义下，以负规范量间接的引出了曲率概念（当然，这是现代科学文献的马后炮解释）。

在高斯几何创立100年后，我国微分几何学家陈省身的贡献在于：把这个概念推广到高维曲面（陈示性数）。而现代数学则把它推广到任意几何体。

       现代数学家力图证明的是，在直观上给定的单位球体内，内部的质点运动轨道是分布在N个曲面上的，从而，在遍历性时间概念上，物理量生存于其中的曲面的维数为2N（哈密顿力学理论）。这样的流形空间才是最为一般的物理运动表达空间。从而，也就可以定义N维空间的曲率。这类研究的开花结果表现为2016年的诺贝尔物理学奖。

       总而言之，黎曼几何以长度为基本不变量。外积几何以转动角为基本不变量。而现代几何则合并了这两个不变量（要求同时得到满足）。真的是现代几何吗？很不幸，150年前的Clifford 几何的再发现！但是，认识深度变了！

       科学史给出的事实是，对抽象科学理论的科普式解读，在很大程度上会引导整个学界的研究向错误的方向发展。而没有此类科普式解读，我们也无从理解抽象科学理论的真实含义。因而，科学研究的进程实质上是：力图正确的解释抽象理论（依然是抽象的解读），并用实际的物理事实来论证这类解读是正确的。

       从而，违背物理事实的解读就是向错误方向发展的解读。

       我们也看到一个事实，即便是理论创立者本人，在为了科普其概念（使得被科学界所理解和接受）时，总是会片面的强调某个方面而忽略别的方面，从而也不是完整的科普。换句话说，理论的浅层含义是可以科普的，但是其本质意义是无法科普的，而是待开拓的。由此推论，就是理论研究就是，在物理事实约束下，对抽象理论的再抽象。

       由此就可以定义应用研究：应用研究（工程化研究）就是把抽象理论物理现象化（抽象理论的唯象化）。

       再推论就是，用唯象化来解读抽象理论（科普）是危险的！然而，不幸的是，这是所有教科书的特色。优点在于，理论容易被接受。缺点在于，用主观理解取代理论本质。

       推论的再推论就是：在教科书层次上的科研，和以科普解读为基础的科研，在本质上既不属于基础理论研究，也不属于理论应用研究，而是属于：以某类主观意志为转移的自主研究（既不受抽象理论约束，也不受物理事实约束）。从而，此类研究所能达成的正确性也就限定为该类主观意志的正确性。

       这实质上就是科学进展缓慢的基本原因（人海战术无效，持续连续研究有效）。