基本结构有限元法是本人对有限元直接迭代算法的推进。

在有限元直接迭代算法（详见本人以前的博文http://blog.sciencenet.cn/blog-39148-280345.html）中，本人从里兹有限元出发，将一个边值问题的控制微分方程转变为变分问题，然后通过片状形函数插值和能量极小原理，进而将一个变分问题转变为片状基本结构上的线性方程组。在推导过程中，我发现片状单元可以直接组装为片状的基本结构，而该基本结构的有限元方程局限于基本结构内部，而与基本结构以外的区域无关，由此可以在基本结构上直接建立起类似于有限差分法的迭代格式，是为“有限元直接迭代”。

有限元直接迭代算法提出以后，本人用其在成功求解了了拉普拉斯方程的长水槽问题、大地电磁测深二维带地形正演问题（http://blog.sciencenet.cn/blog-39148-443241.html）、线源频率域二维带地形正演问题（http://blog.sciencenet.cn/blog-39148-460458.html），相关论文和源代码在本人以前的博客中可以找到。

众所周知，里兹有限元物理意义明确，但在数学处理上有缺点。也就是，在里兹有限元中，必须知道一个微分方程所对应的变分问题的泛函。但有些微分方程所对应的泛函可能是不知道的，那么里兹有限元就无法使用。最近读文献发现，为了解决这个问题，从伴随方程出发，也可以得到一个控制微分方程的泛函方程，从而解决了里兹法的普适性问题。

另一种得以广泛使用的有限元法是迦辽金有限元法。迦辽金有限元法亦即所谓加权余值算法，是从纯粹的数学理论出发，使用试探函数（由片状单元的形函数插值合成）代替真实函数，然后对其余值（残值）进行加权求和，并令其为0。加权余值法是一个比较大的有限元家族。迦辽金法的特点是令权函数与形函数（插值基函数）相等，最终获得迦辽金有限元方程组。

可以看出，迦辽金有限元纯粹是从数学理论出发，该方法对于微分方程一般都是可用的。

基本结构有限元法就是利用迦辽金法的原理来构建最终的基本结构迭代方程。之所以命名为“基本结构有限元”，因为在使用迦辽金法进行推导时，基本结构方程的形成是其中的核心过程，而后续的有限单元的离散不过是基本结构的一种可能的离散方式，理论上还存在其他的离散方法，如重叠单元的最小二乘离散、无网格离散等等，都可以获得不同的数值模拟结果。

由于当时缺乏配套的网格生成技术的支持，我只用基本结构有限元法实现了大地电磁一维连续介质正演。矩形网格的大地电磁二维正演由于与原有限元直接迭代算法的工作重复而没有再去做，而三维正演当时由于时间的限制，来不及去开发。

应一些朋友的要求，我把我自己开发的基本结构有限元法大地电磁一维连续介质正演程序上传。其中实现了一维连续介质条件下，一次至六次插值基函数的有限元模拟。代码中还包含我自己开发的线性方程组求解和高斯积分的一些程序。带点自豪的说，其中的高斯列主肖元法是我在本科阶段“计算方法”的大作业中设计完成并一直使用良好的线性方程组求解程序。

由于年代久远，且我现在已很少使用FORTRAN语言（电脑中连FORTRAN编译器都没有了），故数据格式及其说明一时没法给出，容本人有时间整理后给出，在此表示歉意！

另外说明

   ——有限元直接迭代算法和基本结构有限元法完成以后，由于网格剖分技术的缺乏，我对这两种方法的热情慢慢减淡了。此外，本学科的一些后起同行似乎并没有接受它们，继续沿着传统的存储、求解老大的刚度矩阵的有限元方程，也一定程度上让我忽视了其原创性意义。然而最近，我自己研发成功二维领域的任意形状模型的三角网格剖分方法，使得我对这些算法的推广应用又重新燃起了热情和希望。我在网格剖分过程中，好些方面借鉴了基本结构这个概念，从而完成了具有独创性的网格剖分算法。由这个网格剖分的数据可以直接形成基本结构迭代方程，从而可以很方便地使用点迭代法、共轭梯度法、多重网格法等技术快速求解有限元方程组。

（大地电磁一维连续介质正演源代码：http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=39148&do=blog&quickforward=1&id=855762）

相关论文：

基本结构有限元算法及大地电磁测深一维连续介质正演.pdf

本人研发的网格自动剖分生成的梯度式分布的三角网格