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如何用万有引力计算不同地点不同时刻的潮汐高度

已有 376 次阅读 2026-5-21 11:55 |系统分类:科研笔记

$已知地球质量{m}_{e}=5.97.times {10}^{24}千克，地球半径{r}_{e}=6400千米，月球质量{m}_{n}=7.35.times {10}^{22}千克$

$月地距离d=384000千米，太阳质量{m}_{s}=1.989.times {10}^{30}千克，日地距离L=1.496.times {10}^{8}千米$

D 代表地心，C 是月球与地球共同质心，B代表月球，DB为X轴，DR为 Y 轴，Z 轴垂直于纸面没画出，地球月球绕共同的质心 C 旋转，地球的加速度为

${a}_{1}=.frac {G{m}_{n}} {{d}^{2}}$

以地球为参考系，这个加速度等效于在地球上叠加一个匀强引力场，方向与BD始终平行。考虑太阳的作用，设太阳处于DBR平面内的N点(没画出），地球相对于太阳的加速度为

${a}_{2}=.frac {G{m}_{s}} {{L}^{2}}$

以地球为参考系，这个加速度等效于在地球上又叠加一个匀强引力场，方向与ND始终平行。因此地球内的一点共受五种引力势的作用，在柱坐标系讨论，地心D为原点，这五种势为

$地球内的一点（r,.theta ,z)., 受地球自身的引力势为-.frac {3G{m}_{e}} {2{r}_{e}}+.frac {G{m}_{e}} {2{r}^{3}_{e}}{(r}^{2}+{z}^{2})., ,., 地球绕C运动等效引力$

$或称惯性势为., .frac {G{m}_{n}} {{d}^{2}}rcos.theta ,., ., 月球的引力势为-G{m}_{n}{({d}^{2}+{r}^{2}+{z}^{2}-2rdcos.theta )}^{-1/2}=-.frac {G{m}_{n}} {d}.times$

$（1-.frac {{r}^{2}+{z}^{2}} {{2d}^{2}}+.frac {r} {d}cos.theta +.frac {3{r}^{2}} {2{d}^{2}}{cos}^{2}.theta ),., ., ., ., 太阳引力势为-G{m}_{s}{[{r}^{2}{+L}^{2}+{z}^{2}+2rLcos(.theta -.beta )]}^{-1/2}=$

$-.frac {G{m}_{s}} {L}[1-.frac {{r}^{2}+{z}^{2}} {2{L}^{2}}+.frac {r} {L}cos(.theta -.beta )+.frac {3{r}^{2}} {2{L}^{2}}{cos}^{2}(.theta -.beta )]., ., ,., ., ., .beta ., 是DN与X轴即DB的夹角,., ., 地球绕太阳$

$的等效引力势为., .frac {G{m}_{s}} {{L}^{2}}rcos(.theta -.beta )., ,., 这五种势在水面处之和应为常数，因为沿水面的切向重力$

$不做功，水面为等势面，因此我们得到水面方程$

$(.frac {{m}_{e}} {{r}^{3}_{e}}+.frac {{m}_{n}} {{d}^{3}}+.frac {{m}_{s}} {{L}^{3}})({r}^{2}+{z}^{2})-3{r}^{2}[.frac {{m}_{n}} {{d}^{3}}{cos}^{2}.theta +.frac {{m}_{s}} {{L}^{3}}{cos}^{2}(.theta -.beta )]=C., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., (1)$

$由于.beta =.sqrt {.frac {G{m}_{s}} {{L}^{3}}}t., ., 是时间的函数，所以这是一变化的椭球面，令.beta =0得椭球$

$（.frac {{m}_{e}} {{r}^{3}_{e}}-.frac {{2m}_{s}} {{L}^{3}}-.frac {2{m}_{n}} {{d}^{3}}){x}^{2}+(.frac {{m}_{e}} {{r}^{3}_{e}}+.frac {{m}_{n}} {{d}^{3}}+.frac {{m}_{s}} {{L}^{3}})({y}^{2}+{z}^{2})=C,., ., ., 它的体积应等于球体积., .frac {4.pi {r}^{3}_{e}} {3},., .,$

$利用椭球体积V=.frac {4} {3}.pi abc,., 令二者相等，不难得出常数., ., C=.frac {{m}_{e}} {{r}_{e}}., ,., 代回上式得三个半轴$

$a={r}_{e}(1+.frac {{r}^{3}_{e}{m}_{n}} {{m}_{e}{d}^{3}}+.frac {{r}^{3}_{e}{m}_{s}} {{{L}^{3}m}_{e}})={r}_{e}+0.54米$

$b=c., ={r}_{e}(1-.frac {{{m}_{n}r}^{3}_{e}} {2{m}_{e}{d}^{3}}-.frac {{{m}_{s}r}^{3}_{e}} {2{L}^{3}{m}_{e}})={r}_{e}-0.26., 米，由此可知大潮高为0.26米+0.54米=0.8米$

$三者在一条线上时为大潮，当太阳月亮地球三者成直角时为小潮，令..beta =.pi /2，$

$也得一椭球，它的三个半轴长分别为., a={r}_{e}(1+.frac {{{m}_{n}r}^{3}_{e}} {{{m}_{e}d}^{3}}-.frac {{{m}_{s}r}^{3}_{e}} {2{{m}_{e}L}^{3}})={r}_{e}+0.28米$

$b={r}_{e},., ., 因此Y轴上水位不升也不降，., ., c={r}_{e}(1-.frac {{{r}^{3}_{e}m}_{n}} {2{{d}^{3}m}_{e}}-.frac {{{r}^{3}_{e}m}_{s}} {2{{L}^{3}m}_{e}})={r}_{e}-0.26., 米$

$这意味着小潮高度在Z轴上看0.54米，在Y轴看0.28米，在不同方向看上去有所不同，$

$利用（1）可以求解全球不同地点不同时刻的潮汐高度，水位的升高或下降都可得到反映$

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