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狭义相对论中质量守恒、动量守恒与能量守恒之间的关系

1.洛仑兹变换

如图1所示，使惯性系和的各轴之间完全相互平行，惯性系相对于以恒定速度沿方向运动.当时间时，使两个原点和完全重合，和的各个坐标轴也完全重合.设在时刻，有一个从原点出发的光信号，并向四周传播.通过爱因斯坦的光速不变性原理可知，光信号以速率为在和中传播.当这个光信号到达空间某一点P时，该点位置坐标在系中用表示，在系中用表示.则和                                                                (1)

其中，

为了说明问题简单，假设惯性系只是沿着轴的方向运动，则，.故只有参数及影响这个光信号的传播状态，即                     (2)

(若取，则为伽利略变换)

当观察者处于在系中观察系时，就会发现系以-的速度运动，则                                                         (3)

对光信号而言：                                                 (4)

或                                                       (5)

由上两式得                                            (6)

                                                              (7)

由(6)／(7)得                                              (8)

将(4)、(8)代入(2)得                                            (9)

根据上述结论可得出，在两个不同惯性系中的同一物体的时空坐标的洛伦兹变换可表述为：                                              (10)

式(10)是在和的坐标关系选取最简单的条件下推导出的特殊情况，但它并不影响物理结果的普遍性.如果和的坐标关系选取较为普遍时，那么它们之间的相对速度为，这时洛仑兹变换形式也将变得比较复杂.

从式（10）中我们可以得出：在高速情况下，时间和空间坐标之间不再像伽利略变换式中的那样相互独立存在，而是有着密切的联系；洛伦兹变换公式在物质的速度以远小于光速的情况运动下，可以近似的认为是伽利略变换公式；在经典物理学中，认为只要外力持续的作用于物体时，就可以得到连续的加速，它的速度也将不受限制，可以无限的大.但从上述关系式可知，物体的速度远小于光速.

2.速度的合成及其变换

如图2所示，在三个参考系中的各个坐标轴之间相互平行，在系系的运动速度是，在系系的速度是.现讨论系相对于系的速度.为说明问题简单，在此不考虑和方向，只考虑方向和时间的变换.

可得出：                                        (11)

                                                    (12)

由系测得系的速度有                            (13)

将(11)代入(12)并于(13)比较得                      (14)

                                                  (15)

由(14)／(15)得                                              (16)

这就是速度合成公式.它的表明：从中直接观察的速度，并不是简单的，而是在仅当的情况下才成立，即在低速宏观条件下才符合.

物体相对于止惯性系，以速度运动.运动坐标轴以速度，相对于静止惯性系运动.现讨论观察者在系中的测得运动物体的速度为(不讨论y和z方向).对洛伦兹变换得                                        (17)

将上式中的两个分式之间相除，可得：           (18)

若是系上测得物体的运动速度(分量)，是系上测得物体的运动速度，则                                                 (19)

这是高速情况下的速度变换式.在低速情况下，时有，则(20)

洛伦兹变换和爱因斯坦速度相加规建立在平直时空惯性参考系基础上，而现实世界中纯粹的惯性参考系是不存在的，在这种意义上狭义相对论应当被看成一种理想状态的理论.一般而言在有引力场存在的情况下，爱因斯坦速度相加规则仅是一个近似公式.但我们也知道，现有的关于光速不变的实验和观察都是在地球、太阳系和银河系的弱引力场空间范围内进行的.例如在地球绕太阳转动的轨道上完成的迈克耳逊-雷默干涉实验，对自转的太阳两边缘发出的光的观察^【3】，对银河系内双星系统的光速的观察^【4】，以及银河系内恒星和河外星系光行差现象的观察等等^【5】.所有这些实验和观察都证明，即使在弱引力场和弱非惯性运动情况下，光的速度仍然与光源的运动状态无关，近似地满足爱因斯坦速度相加规则.

假设我们的旧相识，火车车厢，在铁轨上以恒定速度v行驶；并假设有一个人在车厢里沿着车厢行驶的方向以速度w从车厢一头走到另一头.那么在这个过程中，对于路基而言，这个人向前走得有多快呢？换句话说，这个人前进的速度W有多大呢？唯一可能的解答似乎可以根据下列考虑而得：如果这个人站住不动一秒钟，在这一秒钟里他就相对于路基前进了一段距离v，在数值上与车厢的速度相等.但是，由于他在车厢中向前走动，在这一秒钟里他相对于车厢向前走了一段距离儿也就是相对于路基又多走了一段距离w，这段距离在数值上等于这个人在车厢里走动的速度.这样，在所考虑的这一秒钟里他总共相对于路基走了距离W=v+w.我们以后将会看到，表述了经典力学的速度相加定理的这一结果，是不能加以支持的;换句话说，我们刚才写下的定律实质上是不成立的.但目前我们暂时假定这个定理是正确的.（摘自《浅说》第6节、经典力学中所用的速度相加定理的全文）

相对论中速度合成公式V=(V₁±V₂)÷（1±V₁V₂/C²），仅适用于同一直线上两个速度的合成.当物体的两个速度不在同一直线时，其合成公式又是怎样的呢？下面探讨一下当两个速度垂直时速度的合成，由于互相垂直的两个速度互不影响，因此可从引力质量角度利用洛伦兹变换推导出来.

设物体的引力静止质量为m₀，水平速度为v₁，垂直速度为v₂，合速度为v，不妨设先有水平速度v₁，此时引力质量为m₁，由洛伦兹变换得m₁=m₀÷（1－v₁²÷c²）^0.5，m₂=m₁÷（1－v₂²÷c²）^0.5=m₀÷（1－v₁²÷c²－v₂²÷c²+v₁²v₂²÷c⁴)^0.5=m₀÷（1－v₂÷c²）^0.5.∴V₂=v₁²+v₂²－v₁²v₂²÷c²，当v₁＜＜c，v₂＜＜c时，v₁²v₂²÷c²→0，此时V²=v₁²+v₂²，这就是经典力学中正交速度合成公式.

在经典力学中速度合成公式为v=(v₁²+v₂²-2v₁v₂cosθ)^0.5，在相对论中v₁²+v₂²变为v₁²+v₂²－v₁²v₂²÷c²，可设其合速度公式为v=(v₁²+v₂²－v₁²v₂²÷c²+Xcosθ)^0.5，令θ=0，解得X，代入上式得到合速度的计算公式.当v₁＜＜c，v₂＜＜c时，v₁²v₂²÷c²→0，也可以回到经典力学中的速度合成公式，在此从略.这也符合对应原理的要求.

早在二十世纪初，人们就已经对爱因斯坦相对论力学和Newton力学的数学结构做了最透彻的研究.其研究后果之一就是把Newton力学与Galileo抛物几何空间^【1】相对应；把爱因斯坦相对论力学与Minkowski双曲几何空间^【2】相对应；直言之，Galileo惯性运动变换群确定了Newton力学空间为非Euclid性质的Galileo抛物空间；而Lorentz惯性运动变换群确定了爱因斯坦相对论力学空间为非Euclid性质的Minkowski双曲空间.古新妙先生认为：因为牛顿力学意义下的速度与相对论力学意义下的速度并不相同，各自满足不同的加法公式，牛顿速度满足的加法公式是：，而相对论速度满足的加法公式是：

从牛顿速度到相对论速度之间存在如下的映射关系：，，，这里的映射关系由双曲正切函数来实现.双曲函数的定义如下：

双曲正弦：，双曲余弦：，双曲正切：.

双曲正切具有下列性质：.从牛顿速度加法公式转换到相对论速度加法公式，是双曲正切的功劳，是相对论的奥秘.

3.质量及其变换

在经典力学中，物体的质量通过力和的关系可表述为：.物体的惯性质量是由这个比值所决定，是该物体的惯性的量度，大小取决于物质的性质.

通过洛伦兹变换，质量定义为：                        (21)

其中称为静止质量，是个不变量.

在经典力学中，物质的性质决定着物体的质量；在相对论力学中，由式(21)可知，物体的质量由速度的大小所决定；而当时，(21)式是不可取的.运动中的粒子质量由两部分组成，即静止能量和相对运动质量，即           (22)

其中，是运动过程中吸收的能量.

由(21)可知，质量与速度有关，因为同一粒子在不同惯性系中测得的质量是不同的.设在系粒子的质量为，速度为；在系中粒子的质量为，速度为，则                                                         (23)

由速度变换关系得                                  (24)

4.力及其变换

力的定义在经典力学中有两种不同的表述方式：                (25)

              (26)

这两种等价形式在经典力学中都成立，且相互等价.但是，在狭义相对论力学中由于，即物体的质量与其运动的时间之间存在着联系.因此力的定义形式只能取式(26)式，并同时对其进行修改，写成分量的形式：(27)

为了简单说明这个问题，假设：                             (28)

力的洛伦兹变换                                    (29)

由于                                                 (30)

代入(29)得                                   (31)

同理可得：                              (32)

这就是力的变换关系式

参考文献：

【1】Galileo几何H.Beek最小曲面的几何学，Sitzungsber.LeipzigerBerlinerMath.Gee.12:14-30，1913L.Silberstein，Galileo时空中的射影几何，Philos.Mag.10:1925Makarova，N，M，Tow-dimensionalNoneuclideanGeometrywithParabolicAngleandDissertation，Leningrad，1962.

【2】Minkowski几何A.爱因斯坦关于相对性原理和有此得出的结论爱因斯坦文集第二卷商务印书馆出版，1977J.D.Jackson，ClassicalElectrodynamics.JohnWiley&SonsBooksLnc.1975Shervatov，V.G..，HyperbolicFunctions.Heath，Boston，1963

【3】狭义相对论入门，叶壬葵，厦门大学出版社，317，(1988).

【4】.P.deBernardisatal，Nature，404，955(2000).MermenttC.L.，etal，Astrophys，J.Suppl.148，1(2003).

【5】S.温伯格，引力论和宇宙学，科学出版社，478(1984).