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数学中离散与连续问题

离散数学是数学的几个分支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散性的特点，内容包含：数理逻辑、集合论、代数结构、图论、组合学、数论等.量子力学是20世纪自然科学最伟大的成就之一，它是描述微观物体运动的规律的理论体系.它的许多观念同人们的日常生活经验以及经典物理学的概念有根本的不同.在历史上爱因斯坦和玻尔就量子力学进行了一场长时间的争论，在当时的实验条件下，这些争论更像是哲学家之间的争论.而随着科学技术的发展，这些争论可以通过实验来检验.目前已有的实验结果都支持量子力学的理论预言.而这些实验不但检验了理论，而且被应用于现代科学技术中.量子力学与信息科学的结合产生了量子信息学.量子密码通信就是量子信息学的一个部分.

用一个通俗的比喻来说明传统的测度论.假设将整个标准实数轴看作是一维的地皮，向许多房地产商出售，当然由于位置不同有可能地价不同.房地产商购买一些地皮也就是购买一些实数集合.对于有一些实数集合，如开区间或者闭区间，或者半开半闭区间，只要能够计算区间的长度，也就能够给出价格.而一些复杂的集合，也可以存在着测度或者说长度，当然也可以开出价格.但传统实数理论的麻烦在于，存在着不可测集.也就是说，如果购买者专门要某一些集合，则出售者无法计算出此集合对应的长度，当然也就无法给出价格.

不可测集给标准实数理论带来的麻烦相当大，因为它的存在，以至于数学家要给出一系列相当深奥的定理.而现代的积分理论要求被积函数最起码是可测函数，如果函数不可测，当然也就不可积.这么一来为证明哪些函数可积，哪些函数不可积又投入了大量的人力来证明各种定理.

概率论也是建立在测度论的基础上.因此不可测集给概率论带来的麻烦也是相当大的.本来概率论的公理化描述者希望能够这么描述概率测度：“首先有一个集合叫做样本空间Ω，其所有子集构成事件集F=2^Ω，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F→R，使得每给一个集合A∈F，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质.”这对于其它学科的要应用概率论的研究者使用起来是方便的.如果样本空间就是整个实数轴，那也就是说，从观念上讲，非数学专业的人希望或者认为对于实数轴上的任何集合A，都能够有一个确定的概率与之对应，通过反复试验，按大数定律的原则，可以统计实验结果落在A上的概率.

但令工科学者们吃惊的是，数学家宣布不是所有的集合都可测，也就是说，存在着这样的集合，即使反复试验，也无法统计出落在这样的集合上的概率.这就逼得概率论的公理化体系描写成这样：“对于样本空间，有一个事件集F=P(Ω)，满足在其上的对可数个并交补运算封闭，在此事件集上定义映射或者集函数P(A):F→R，使得每给一个集合A∈F，有一个唯一的非负实数P(A)与之对应，满足可列可加性、P(Ω)=1的性质.”这在概率论的教学中是最经常令学生们困惑的了.没有学过实变函数理论的学生搞不懂为什么不能够对所有的子集定义概率.

在各个实变函数教材中这不可测集是这样定义的，首先将[0,1]区间中的所有实数进行分类，凡是两个实数相差一个有理数，就是一类，这样的类集有无限多个，而且相互之间并不重合，且覆盖了[0,1]区间所有的数.根据选择公理，每一个这样的非空集必然可以取出一个元素作为这个集合的代表，所有的代表都来参加一个代表大会，这个代表大会组成的集合，就是我们将要证明其为不可测的集合，称其为F.为证明这一点，先将区间[-1，1]中的所有有理数排成一列为{r₁,r₂,r₃,…}，因为有理数是可数集，这总是可以做到的，而如果将代表大会F中的所有元素统统加上r₁后构成一个新的集合F₁，也就是将原来代表各个类的所有代表统统开除后用比各个代表多r₁的数，即新的代表来代替，当然这新的代表有可能超出1或者小于0，但决无可能超过2或小于-1，当超出1或者小于0时，也还是可以做为被它平移的原来的类的代表.这F₁当然和F不相交，用同样的办法针对每一个有理数r_i构造相应的集合F_i，则所有这些集列F₁,F₂,…相互之间不相交，它们的并将覆盖[0,1]区间，但被[-1,2]区间所包含，因此，它们的并如果有测度，其测度一定是不小于1且不大于3的值，这些集合都由同样的集合平移后构成，其测度也就都一样，而无穷个同样的数相加之后既不是无穷大也不是0在标准分析看来是不可能的，因此只能得出结论，F不可测.

数学分析是一个研究变量的学科,既有连续变量,又有离散变量.级数和积分是数学分析中的两个重要概念,它们之间有着密切的联系,体现了离散与连续这一基本矛盾的对立与统一.

因为非标准分析已经扩大了标准实数域到超实数域，即承认有小于任何正的标准实数但大于0的数以及大于任何正的标准实数的数存在，在文献[1]到[3]定义了整个实数轴的测度为δ，而所有自然数的个数为实数轴长度的一半δ/2，这是因为，大于零的实数轴的长度为整个实数轴的长度的一半，当然就是δ/2，而将正实数轴划分成(0,1],(1,2],(2,3],…，将其称为第一区间，第二区间，等等，这样总共的区间数就是自然数的个数，这些区间的长度都是1，因此总长度也就是自然数的个数，即自然数的个数为δ/2.本文令Δ=δ/2，则Δ为全体自然数的个数.因此，非标准分析并不用“可数个”或者“不可数个”来简单地规定无限集的势.所谓集合的势即为集合的个数，那么，既然自然数的个数为Δ，整数的个数为2Δ,正偶数的个数和正奇数的个数均为Δ/2，所有5的倍数的全体的个数为Δ/5，等等.

还有，自然数对的个数为Δ²，而正有理数的个数要比自然数对的个数少一些，因为要去掉能通约的数对，则为Δ²-g，g是比Δ低阶的正无穷大数.

现在来看标准实数的个数.首先来看[0,1]区间中有限位小数的个数.先统一将小数表示为二进制，则[0,1]区间的n位小数的个数就是2的n次方个.而从非标准分析的观点看，[0,1]区间的实数是Δ位的小数，则共有2的Δ次方个即2^Δ个，而整个实数轴共有2Δ=δ个单位区间，因此共有2Δ×2^Δ个标准实数.正如[0,1]区间中的n位小数无法和整个实数轴上的n位小数一一对应一样，[0,1]区间中的标准实数也无法和整个实数轴上的标准实数一一对应，即将n位小数的性质延拓到整个标准实数轴.这一点和原来的实变函数理论并不一样.当然，既然已经规定实数的小数位用二进制表示总共有Δ位，那么用十进制表示就有Δlog₁₀2位，整个实数轴上的标准实数个数仍保持不变，就是说，标准实数的个数是一硬性规定.

现在来解决测度问题就简单了，因为单个的标准实数也有测度，而我们知道[0,1]区间的测度为1，其中包括的实数的个数为2^Δ个，因此每个标准实数的测度也就是1/2^Δ.这和原来标准分析中的结论也不一样，在标准分析中单个点的测度为0，而在非标准分析中则认为是一个大于0的无穷小数，我们用θ来代表这个数，因此θ=1/2^Δ.

这么一来，所有的标准实数集都是可测集，在标准实数轴上的任何地皮买卖都可以正常进行，随便买者要求什么样的标准实数集合，都可以给出相应的测度，满足任何可加性，不仅可数可加性，甚至不可数可加性.无穷个同样测度的不相交的集合相并之后的测度完全可以是一个通常的即非0又非无穷大的正实数，无非是每个集合的测度是无穷小而已.

当然，如果将非标准数都算在内，我也不能够保证其可测性.这是因为，如果将被测集合记为A，测量数集合记为B，则通常B的个数应当大于A的个数，否则测度就可能难以进行.拿有限集合为例，考虑集合{0,1,2,3,4}，总共有5个元素，如果每个元素的测度是1，则总测度为5，而，而以往的传统实数理论之所以会遇到不可测集，也是因为试图用标准实数来测标准实数.而非标准分析则用非标准实数来测标准实数，当然就不存在不可测集问题了.

那么采用非标准分析的好处就是将有限的性质延拓到了无限.比如说，对有限位小数的映射，[0,1]区间的所有n位小数无法和整个实数轴中的所有n位小数一一对应，我们就规定这个性质在无穷位数的标准实数时仍然成立，这样在分析的最后结果总是要用有限位小数的计算机实现时，所有性质依然保存.

单点的测度不为0而为无穷小数θ对于许多事情的解释也非常简洁.从非标准分析的观点，在概率论中，如果一个事件概率为0，就是不可能事件，概率为1的事件为必然事件.这在概率的设计初衷就是这样，希望概率为0代表概率最低，即不可能.而现在流行的概率论的麻烦也就是原来标准实数的麻烦，即认为在连续型随机变量中，概率为0的事件为可能事件，这在概率论的教学中一直是非常容易使学生们困惑的难点.而新体系则认为对于连续型随机变量X，假设其概率密度函数为f(x)，则概率P(X=x₀)=f(x₀)θ，是一个不为0的无穷小正数，因此取单点的事件并非不可能事件，其发生概率同概率密度在此点的值成正比，这也是合乎道理的.以往的概率论对不可数可加性根本就不敢讨论，因为连续型随机变量被认为取一个区间中每一个单点的概率为0，而落在整个区间的概率却不为0.而新体系则说明整个区间的概率是由许多无穷小的概率积累而形成，并非由一系列0积累形成.

概率论的公理化体系也将变得简单，因为只要认为样本空间的所有子集都有概率，这些概率都满足可加性，不仅可数可加性，甚至不可数可加性，学生也就不必费那么大劲在一大堆莫名其妙的可测集中钻来钻去一头雾水了.

实数集在标准分析中是连续的，但是实数集可以与数轴上的点建立一一对应关系，而数轴由可数个离散的区间组成的.由于数学归纳法适用于离散集，因此也可以适用于实数集与复数集.【1】非标准分析由美国数学家鲁滨逊1960年推出；非标准分析虽是一种“点内数学”；它的点内观念正如天外有天，认为点内也有世界，但据国内非标准分析专家、四川省社会科学院学术委员会副主任查有梁教授的研究，点内非标准分析涉及最多的还仅仅是平面和球面解析，缺少环面解析；而这恰恰属于不确定性解析范畴.在非标准分析中是离散的，每一个点由可数个点构成，由非标准分析可以知道实数集是离散、连续的对立统一.集合论的创始人Cator把无穷基数分为无穷个等级，一个比一个大，并证明了“任何集S的超限数基数比集S超限数还大”.在这里“整体大于部分”成了谬误，而“部分大于整体”成为真理.数轴可以认为由可数个离散的区间组成的，只需要两种颜色就可以把数轴上的区间分开.复数可以与复平面上的点建立一一对应关系，而复平面可以认为由可数个矩形区域组成的，根据四色定理只需要四种颜色就可以把平面上的区域分开.类似地，只需要2ⁿ种颜色就可以把n维空间中区域分开，现代数学认为多于7种颜色才能把环面上的区域分开，笔者认为只需要8种颜色即可.爱因斯坦说:“宇宙最难理解的是,它是可以理解的”.这是爱因斯坦坚信的事实,也是所有物理人努力到达的“目的地”.

根据离散与连续的相对性与绝对性可以得知，离散与连续具有统一性的一面，因此函数与数列、级数与积分便统一在一起，函数极限的四则运算法则与数列极限的四则运算法则、函数极限的性质与数列极限的性质、函数极限的判定与数列极限的判定其实是同一个问题，也不难理解Heine定理；离散型随机变量与连续型随机变量也是相对性与绝对性的统一.

参考文献：

【1】李学生.数学归纳法的拓广.《济南教育学院学报》，2002年第4期：134～136.