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实数集的完备性及其应用
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实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限、连续、微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是彼此等价的，并且是论证其他一些重要定理(如一致连续性定理等)的依据，它们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值，因此对实数完备性的研究产生了浓厚的兴趣.
实数理论的建立，给数学分析注入了严密性.实数理论是数学分析的理论基础，而实数完备性定理又是实数理论中的重要内容之一，其中不乏精彩、美妙之处.目前，实数完备性的研究主要集中在几个定理的循环证明以及定理的应用.这六个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们相互之间是等价的.
实数完备性基本定理的证明比较简单的是全部用区间套方法证明其他定理.1987年Botsko提出了一种统一处理这部分内容的新方法完全覆盖法，让大家对这方面的研究又燃起了新的斗志.定理的应用也是研究的主要方向之一，这些定理从不同角度刻划了实数系的完备性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数介值定理，一致连续性定理等.
实数基本定理以不同的方式反映了实数的一种特性，即实数的完备性（或实数的连续性）.下面介绍实数完备性定理的基本内容：
1.1确界原理：设 
为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必有下确界.
1.3区间套定理：若是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得，即.
1.3'区间套定理的推论：若是区间套所确定的点，则对任给的，存在，使得当时有.
1.4有限覆盖定理：设为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从中可选出有限个开区间来覆盖.
1.5聚点定理：实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.
1.5'致密性定理（聚点定理的推论）：有界数列必含有收敛子列.
1.6柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时有
二、 实数完备性定理的证明
2.1确界原理证明证：我们只证明关于上确界的结论，下确界的结论可类似的证明.
为叙述的方便起见，不妨设含有非负数.由于有上界，故可找到非负整数，使得
1）对于任何有；
2）存在，使.
对半开区间作10等分，分点为，则存在0，1，2，...，9中的一个数，使得：对于任何有；存在，使.
再对半开区间作10等分，则存在0，1，2，...，9中的一个数，使得：对于任何有；存在，使.
继续不断地10等分在前一步骤得到的半开区间，可知对任何，存在0，1，2，...，9中的一个数，使得
1）对于任何有； (3.1.1)
2）存在，使.
将上述步骤无限的进行下去，得到实数.以下证明.为此只需证明：
(i)对一切有；(ii)对任何，存在.
倘若结论(i)不成立，即存在使，则可找到的位不足近似值，使，从而得，
但这与不等式（5.1.1）相矛盾.于是(i)得证.
现设，则存在使的位不足近似，即.
根据数的构造，存在使，从而有，
即得到.这证明了（ii）成立.
证：不妨设为有上界的递增数列.由确界原理，数列有上界，记.下面证明就是的极限.事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得.又由的递增性，当时有
.
另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有.所以当时有，这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.
证：由，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有， (2.3.1)
同理递减有界数列也有极限，按区间套的条件有
，(2.3.2)
且 ， (2.3.3)
由（2.1.1）式和（2.3.3）式得 (2.3.4)
最后证明满足（2.3.4）的是唯一的.设数也满足
，(2.3.5)
则由（2.3.4）式有 ， (2.3.6)
由区间套的条件得， (2.3.7)
故有.
证：用反证法假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖.
将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为，则且.
再将等分为两个子区间，同样其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为，则且.
重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个区间列，它满足
，，
即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.
由区间套定理，存在唯一的一点.由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使.于是，由区间套定理的推论，当充分大时有.这表明只须用中一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖.
证：因为有界点集，故存在，使得，记.
现将等分为两个子区间.因为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则，且
.
再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且
.
将此等分区间的步骤无限的进行下去，得到一个区间列，它满足
，，
即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点.
由区间套定理，存在唯一的一点，于是由区间套定理的推论，对任给的从而内含有中无穷多个点，按定义(2.7聚点定理)，为的聚点.
证：[必要性]设.由数列极限的定义，对任给的，存在，当时有，
因而.
[充分性]按假设，对任给的，存在，使得对一切有，即在区间内含有中几乎所有的项（这里及以下，为叙述简单起见，我们用“中几乎所有的项”表示“中除有限项外的所有项”）.
据此，令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项.记这个区间为.
再令，则存在，在区间内含有中几乎所有的项.记，
它也含有中几乎所有的项，且满足.
继续依次令，照以上方法得一闭区间列，其中每一个区间都含有中几乎所有的项，且满足，
，
即是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数.
现在证明数就是数列的极限.事实上，由区间套定理的推论，对任给的存在，使得当时有.
因此在内含有中除有限项外的所有项，这就证得.
前面我们给出了实数完备性的六个定理，及各个定理的证明.事实上，在实数系中这六个定理是相互等价的，即其中任何一个命题都可推出其他命题.下面我们将给出这六个定理的等价证明.
三、实数集的完备性定理的等价性
为了简化证明过程，我们可采用下面的证明方法：
确界原理单调有界定理区间套定理有限覆盖定理
聚点定理柯西收敛准则确界原理.
这样便可证得六个定理的等价性.我们也可以做出六个定理之间的相互证明，这里不作详述.
3.1确界原理单调有界定理（同单调有界定理的证明）证：不妨设为有上界的递增数列.由确界原理，数列有上界，记.下面证明就是的极限.事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得.又由的递增性，当时有
.
另一方面，由于是的一个上界，故对一切都有.所以当时有，这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.
区间套定理（同区间套定理的证明）证：由，为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有，同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件有，且，得.
最后证明是唯一的.设数也满足，则由有 ，由区间套的条件得， 故有.
有限覆盖定理（同有限覆盖定理的证明）证：用反证法假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖.
将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为，则且.
再将等分为两个子区间，同样其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为，则且.
重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个区间列，它满足
，
，
即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.
由区间套定理，存在唯一的一点.由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使.于是，由区间套定理的推论，当充分大时有.
这表明只须用中一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖.
聚点定理证：设有界无穷点集，显然若含有聚点，必含于内，现假设内的每一点均不是的聚点，则任意，存在，使得为有限点集.记，
则为的一个开覆盖.由有限开覆盖定理，存在中有限个开区间，使得，
由于为有限点集，故由上式将导出为有限点集，与假设矛盾，所以在内至少含有的一个聚点.
柯西收敛准则证：充分性：若收敛，设收敛点为，则由极限定义，任给，存在正整数，当时，，于是，当时，
，
柯西条件成立.
必要性：设数列满足：任给，存在正整数，任意有，要证收敛.
取，存在正整数，任意有
，
由此易知有界（前面的有限项显然有界），由聚点定理的直接推论致密性定理，存在收敛子列，设其极限为，任意，存在正整数，任意有，即.
在上式中令，由极限的保不等式性有.这就证明了数列收敛.
确界原理证：设为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数，存在正整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得.
分别取则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，而不是的上界，故存在，使得 . （3.6.1）
又对正整数，是的上界，故有.结合（6）式得；同理有.从而得 . （3.6.2）
于是，对任给的，存在，使得当时有.（3.6.3）
由柯西收敛准则，数列收敛.记 . （3.6.4）
现在证明就是的上确界.首先，对任何和正整数有，由（3.6.4）式得，即是的一个上界.其次，对任何，由及（3.6.4）式，对充分大的n同时有.
又因不是的上界，故存在，使得.结合上式得
.
这说明是的一个上确界.同理可证：若为非空有下界数集，则必存在下确界.
四.实数集的完备性定理的应用
有界性定理若函数在闭区间上连续，则在上有界.
最大、最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上有最大值与最小值.
介值性定理设函数在闭区间上连续，且.若为介于与之间的任何实数，则至少存在一点，使得.
一致连续性定理若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.
下面我们将用不同的方法分别证明上述定理.
4.1有界性定理（应用有限覆盖定理）证：由连续函数的局部有界性，对每一点，都存在领域及正数，使得.
考虑开区间集，显然是的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在的一个有限子集
覆盖了，且存在正整数，使得对一切有.令，则对任何，x必属于某.这就证得在上有界.
证：由7.1证得在上有界，故由确界原理，的值域有上确界，记为.以下我们证明：存在，使.倘若不然，对一切都有.令，易见函数在上连续，故在上有界.设是的一个上界，则.
从而推得.
但这与为的上确界（最小上界）相矛盾.所以必存在，使，即在上有最大值.同理可证在上有最小值.
证：不妨设.令，则也是上的连续函数，且.于是定理的结论转化为：存在，使得.这个简化的情形称为根的存在性定理.
记.显然为非空有界数集（），故由确界原理，有下确界，记.因，由连续函数的局部保号性，存在，使得在内，在内.由此易见，即.
下证.倘若，不妨设，则又由局部保号性，存在，使在其内，特别有.但这与相矛盾，故必有.
证：由在上的连续性，任给对每一点，都存在，使得当时有 .考虑开区间集合，显然是的一个开覆盖.由有限覆盖定理，存在一个有限子集覆盖了.记.
对任何，必属于中某开区间，设即.此时有，
故同时有.由此得.所以在上一致连续.
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