1.数学分析中的几个定理的探讨.doc

数学分析中的几个定理的探讨

摘要：本文对数学分析中的几个定理作了进一步的探讨，有的放宽了条件，有的通过类比某些定理得到了新的定理.

关键词：拓广、莱布尼兹判别法、狄义希莱判别法、阿贝尔判别法

数学分析也叫微积分学它是在17世纪中叶由牛顿和莱布尼茨创立,由麦克劳林、泰勒、达郎贝尔、拉格郎日等数名数学家,历经200多年的发展和完善直到19世纪末才形成现今我们说的数学分析主要内容.数学分析自从牛顿、莱布尼兹创立以来，在许多数学大师的努力之下日趋完善，建立起了完整的体系，并为其它学科的发展奠定了知识与方法论的基础.

伟大的思想家罗素说过：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美.”数学的美有多种表现形式——从数学内容看，有概念之美、公式之美和体系之美；从数学方法看，有简约之美、类比之美、抽象之美和无限之美；从纯粹的美学角度看，有对称之美、相似之美、和谐之美和奇异之美等.法国作家福楼拜说：“科学和艺术在山脚下分手，在山顶上汇合.”级数和广义积分是微积分学中的重要内容,微积分又是以极限为工具来研究数学内容的.广义积分与无穷级数在惟质及敛散性判别法方面极其类似，无穷积分的许多结论几乎是无穷级数相应部分的逐字逐句的“搬家”.通常所讲的广义积分主要包含两类：无穷区间上的广义积分(或称无穷积分)和无界函数的广义积分(或称瑕积分).广义积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化.

笔者通过学习发现通过类比级数和无穷积分的类比，可以把数学分析中的几个定理进一步改进.

一.非负函数无穷积分的收敛判别法

定理1.1（比较判别法）：设定义在上的两个非负函数和都在任何有限区上可积,且满足,,则当收敛时必收敛(或者,当发散时必发散）.

     推论1.1（比较判别法的极限形式）:若和都在任何有限区间上可积,当时,且,则有：

(i)当时,与同敛态；

（ii）当时,有收敛可推知也收敛；

(iii)当时,由发散可推知也发散.

      特别地,如果选用作为比较对象,则我们有如下两个推论（称为柯西判别法）.

     推论1.2（Cauchy判敛法）: 若定义于,且在任何有限区间上可积,则有：(i)当；

（ii）

    推论1.3（Cauchy判敛法的极限形式）: 若是定义于上的非负函数,在任何有限区间上可积,且,则有

（i）当(ii)当

例1讨论下列无穷积分的收敛性

解：,所以由推论3知收敛.

在原始的意义上，对称性是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性.人们对于数学美是早就有所认识的，古希腊时代数学家就把对称看承数学美的一种基本形式，亚里士多德曾指出：“美是和谐与成比例的.”“秩序和对称是美的重要因素，而这两点都能在数学中找到.”

二.正项级数的收敛判别法

给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数）,其中称为数项级数的通项或一般项.数项级数也常写作或简单写作.数项级数的前项之和,记为,称它为数项级数的第个部分和,也简称部分和.

若数项级数的部分和数列收敛于即（）,则称收敛,称为的和,记作或.

若是发散数列,则称数项级数发散.

定理2.1（正项级数的单调有界判别）正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界,即存在某正数M,对一切正整数有.

定理2.2（正项级数的比较原则）设级数和是两个正项级数,如果存在某正整数,对一切都有,则(i)若级数收敛,则级数也收敛；

(ii)若级数发散,则级数也发散.

推论2.1（正项级数比较判别法的极限形式）设级数和是两个正项级数.若则(i)当时,级数和同时收敛或同时发散；

(ii)当时且级数收敛时,级数也收敛；

(iii)当时且级数发散时,级数也发散.

例2判别级数敛散性；

解：因为，而正项级数发散，有比较判别法极限形式知发散.

判别级数根据比较原则,可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的.

定理2.3（达朗贝尔判别法,或称比式判别法）设为正项级数,且存在某正整数及常数(i)若对一切,成立不等式,则级数收敛.

(ii)若对一切,成立不等式,则级数发散.

例3判断的敛散性

解因为

所以正项级数发散.

推论2.2（比式判别法的极限形式)若为正项级数,且则（i）当时,级数收敛；（ii）当或时,级数发散.

定理2.4（柯西判别法,或称根式判别法）设为正项级数,且存在某正整数及正常数,(i)若对一切,成立不等式则级数收敛.

(ii)若对一切,成立不等式则级数发散.

例4判断判别法；

解：因为，所以由根式判别法知收敛.

推论2.3（根式判别法的极限形式）设为正项级数,且

则(i)当时,级数收敛；(ii)当时,则级数发散.

积分判别法时利用非负函数的单调性和积分性质,并以广义积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.

定理2.5(积分判别法)设为上非负减函数,那么正项级数与广义积分同时收敛或同时发散.

定理2.6(拉贝判别法)设为正项级数,且存在某正整数及常数,

(i)若对一切,成立不等式,则级数收敛；

(ii)若对一切,成立不等式则级数发散.

例5用拉贝判别法判别下列级数的敛散性

解：因为

所以由拉贝判别法知级数收敛.

推论2.4（拉贝判别法的极限形式）设为正项级数,且极限

存在,则(i)当时,级数收敛；(ii)当时,则级数发散.

三、一般无穷积分的收敛判别法

定理3.1（狄利克雷判别法）：若在区间上上有界,在上当时单调趋于0,则收敛.

    定理3.2（阿贝尔判别法）：若收敛,在上单调有界,则收敛.

例6讨论无穷积分为绝对收敛还是条件收敛.

例7讨论积分(a>0)的收敛性（p为实数）

解：当时,因=（），所以发散．

当1时，===I_p(b)

因为I_p(b)=

所以积分当p>1时收敛,值为；当p<1时发散

例8讨论积分(a>0)的收敛性．

解：因(，同理，所以收敛,且

四.一般项级数收敛性判别方法

关于一般数项级数的收敛性判别问题要比正项级数复杂,所以下面只讨论了某些特殊类型级数的收敛性问题.

（1）交错级数：（1）

定理4.1（莱布尼茨判别法）若交错级数（1）满足下述两个条件：

(i)数列单调递减；(ii)则级数（1）收敛.

（2）讨论级数（2）

收敛性判别方法.

定理4.2（阿贝尔判别法）若为单调有界数列,且级数收敛,则级数（3）收敛.

定理4.3（狄利克雷判别法）若数列单调递减,且,又级数的部分和数列有界,则级数（3）收敛.

例9应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别判断下列级数的收敛性；

（1）;

解：数列，但时有

同时，当时有，即严格递减且有界；

当时，原级数为，满足莱布尼茨条件，即收敛；

时，有，即严格递减且有界.

又由于是收敛的，故由阿贝尔判别法知原级数收敛.

例10应用阿贝尔判别法或狄利克雷判别判断下列级数的收敛性

;

解：数列，但时有

同时，当时有，即严格递减且有界；

当时，原级数为，满足莱布尼茨条件，即收敛；

时，有，即严格递减且有界.

又由于是收敛的，故由阿贝尔判别法知原级数收敛.

五、无穷级数与无穷积分的关系探讨

无穷积分和无穷级数的敛散性都是通过极限来定义的，只不过无穷积分是函数的极限，无穷级数是数列的极限，两者有着密切的联系.

定理5.1收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列（其中A₁=a）,数项级数收敛,且.（1）

证：必要性如果广义积分收敛,则

充分性已知对任意的趋于+∞的递增数列（其中A₁=a）,数项级数收敛,即它的部分和数列（或）收敛,由海涅定理知,广义积分收敛,且

由此得到讨论无穷积分的收敛问题可考虑转化为讨论无穷级数的收敛问题;

另一方面,每一数项级数,可以看作一个阶梯函数的无穷限广义积分,只要置,因而.

5.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较

二者常用的审敛法有比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.下面主要通过定理5.1,由无穷级数的判别法来推出无穷积分也具有相应的判别法.

例11由无穷级数的比较判别法可以推出无穷积分也具有比较判别法，反之同理.

证明：已知无穷级数的比较判别法．即：当时，若级数

收敛.则级教也比收敛.

由定理5.1可构造如下函数；，

其中是任意趋于的递增数列.由于，故，（2）

因为定理5.1和级数收敛，所以无穷积分收敛；

同理，因为定理5.1和级数收敛，所以无穷积分收敛；

又由于级数收敛，则必有也收敛.故无穷积分收敛时，则必有穷积分也收敛.

综上可知：(52)式成立时，无穷积分穷积分收敛，则必有收敛.反之同理.

           由无穷级数的柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等判别法也可以推出无穷积分也具有柯西柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法别法等判别法.反之同理.而证明方法和上述的证明方法相仿．因此略.

5.3无穷积分与无穷级数的差异

对于无穷级数收敛的必要条件是,但对于无穷积分,却未必有.

例如，条件收敛,而却不存在.究其原因,该例子中的是变号的.

进一步,当,,且连续,是否就有呢？回答是否定的.

例12无穷积分收敛.

被积函数.在时,且满足.这表明函数图像与第一项限的角平分线有无穷多个交点,交点的坐标是（）.但当时,函数值就急剧下降,当时函数图像已经与轴很难区分开来.这个例子说明无穷积分收敛,不仅有,而且可以有,即函数是无界的.

事实上,由定理我们可以看出式（4-1）中的,相当于无穷级数中的,而不是.那么加什么条件才能得到结果呢？

收敛时,互为充分条件

定理5.2收敛,且在上一致连续,则.

证明用反证法.假设,即,,,有.已知在一致连续,即,,,有..（4-2）

,.若,则有,矛盾.

若,则,由（2）式有从而.

若,则,由（2）式有

从而,

即.

于是,,,有.

根据Cauchy收敛准则逆否命题,发散,已知条件矛盾.于是,.

定理5.3若函数有连续导数,且无穷积分与都收敛,则.

证明已知无穷积分收敛,即

存在,也就是极限存在.设.

下面证明.用反证法.假设,不妨设,即.由连续函数的保号性,于是,有.从而,,有.

根据Cauchy收敛准则逆否命题,发散,已知条件矛盾.于是,.

无穷积分和无穷级数的敛散性都是由极限来定义的，只不过无穷积分是函数的极限，无穷级数是数列的极限，并且这两部分能相互转化，故它们的大多收敛问题都可归化为同一种问题解决.这也是无穷积分与无穷级数在性质和判别法上有这么多相似地方的本质原因.

虽然无穷积分与无穷级数有这么多相似的地方，它们仍有不同地方.比如无穷级数收敛的必要条件并不能推广成无穷积分收敛的必要条件.故最后为此讨论了无穷积分收敛时一定有的若干充分条件.

（一）  莱布尼兹判别法

莱布尼兹判别法：对于交错级数,若（1）对任意自然数n≥1,有u≥u;

(2)limu＝零,则交错级数u收敛.

n→∞

莱布尼兹判别法是判定交错级数收敛的一个重要的判定定理，而级数的收敛散性与前面的有限项无关，因此可以去掉前面的有限项，可改进如下：

莱布尼兹判别法：对于交错级数,若（1）存在自然数N时，当n≥N时，有u≥u.

（2）limu＝零.则交错级数收敛.

n→∞

显然当N=1时，便与前面的莱布尼兹判别法，这样便将条件放宽了，使用范围更广了，其证明非常简单，在此从略.

㈡函数项级数的M判别法

函数项级数与含参变量广义积分具有许多相似的性质，尤其是它们收敛性的判别法从某种意义上讲可以认为它们是相同的，但有一点略微存在差异，这就是它们的——M判别法，下面列出国内出版的数学分析教材的一般叙述：

函数项级数的维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数的一般项在某区域x上满足：|u(x)|≤M(x∈X,n=1,2,……),而收敛，则级数在X上绝对一致收敛.

含参变量广义积分的维尔斯特拉斯判别法：设对任意x∈X,y≥a,有|f(x,y)|≤g(x,y),而g(x,y)dy一致收敛，则g(x,y)dy对x∈X绝对一致收敛.

通过比较，可以看出上面的两个定理极其相似，只是有一点区别：前面通过判定收敛数项级数来判定函数项级数的一致收敛性，后者通过判定已知含参变量的广义积分的一致收敛性来判定所求的含参变量广义积分的已知收敛性；显然后者比前者更具有一般性，因为由  M的收敛性可以推出M(x)的一致收敛性，但由g(x,y)dy一致收敛得不到g(y)dy收敛.为了使函数项级数一致收敛的判别法更具有一般性以及将函数项级数、含参变量广义积分一致收敛的判别法统一起来，笔者建议做如下修改：

函数项级数的维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数的一般项在某区域x上满足：|u(x)|≤M(x)(x∈X,n=1,2,……),而在x上一致收敛，则在x上一致收敛.

证明：由于一致收敛，因此对于任意的ε＞0，存在N，对于任意x∈X,对任意的自然数p,成立＜ε.于是，当n＞N时，不等式|

）|≤≤＜ε,对任意自然数p及任意x∈X成立.

证毕

另外，由于级数的收敛性与前有限项无关，因此我们可以进一步改造如下：

函数项级数的维尔斯特拉斯判别法：设函数项级的一般项在某区域X上满足：存在N，当n＞N时，成立|u(x)|≤M(x),(x∈X,n=1,2,……)而一致收敛，则级数在x上一致收敛.

[注]该判别法也可推广至复函数项级数.

含参变量广义积分的维尔特拉斯判别法：设对任意x∈X,存在β≥α，当y≥β时，有|f(x,y)|≤g(x,y),且g(x,y)dy一致收敛，则g(x,y)dy对x∈X一致收敛.

㈢狄义希莱判别法

先讨论数值级数收敛的狄义希莱判别法：设级数部分和B=是有界的，即|B|≤M(n=1,2,……),又a是单调序列，lima=0,则收敛.

n→∞

狄义希莱判别法：设级数的部分和B=是有界的，即|B|≤M

(n=1,2,……),lima=0,则级数收敛，若满足下列条件之一：⑴a是单调

n→∞

序列⑵a、b均不变号.

证明：⑴当a是单调序列时，命题成立已知.

⑵若a、b均不变号，∵b不变号，|B|≤M，∴对于任意自然数

n→∞

n,|b|≤M.

又∵lima=0,∴对于任意ε＞0，任取自然数p,存在N，

n→∞

当n＞N时，对上述ε＞0与自然数p，当n＞N时，

||≤=M＜Mp×=ε

∴级数收敛.

因为数值级数与无穷积分非常类似，所以也可以得到无穷积分的狄义希莱判别法（证明略）：对于无穷积分g(x)dx,有A＞c,|g(x)dx|≤M,

limf(x)=0,则无穷积分g(x)dx收敛，若满足下列条件之一：

x→∞

⑴f(x)单调；

⑵f(x),g(x)均不变号.

再讨论函数项级数一致收敛的狄义希莱判别法：设在X上一致有界，其界为M，对每一x∈M是单调序列并一致趋向于零，则在X上一致收敛.

与数项级数的狄义希莱判别法相比，函数项级数只是加了一致性，即对任意x∈Z这一条件，因此也可作如下修改（证明类似，在此从略）.

狄义希莱判别法：设在Z上一致有界，其界为M，a(x)对每一x∈X一致趋向于零，则在X上一致收敛，若满足下列条件之一：

⑴对每一x∈X,a(x)是单调序列

⑵对每一x∈X，a(x)、b(x)均不变号.

类似于函数项既是也可以写出含参变量广义积分一致收敛的狄义希莱判别法：设⑴存在正常数M，对任意x∈X,A≥a,有|f(x,y)dy|≤M

⑵y→∞时，g(x,y)对x∈X一致趋于零，则积分g(x,y)dy对x∈X一致收敛

若满足下列条件之一：

⑴对任意固定的x∈X,g(x,y)是y的单调函数；

⑵对任意固定的x∈X,f(x,y)dy,g(x,y)dy均不变号.

㈣阿贝尔判别法

先讨论数值级数的阿贝尔判别法：设级数收敛，又a单调有界，|a|＜L(n=1,2,3,……),则级数收敛.

阿贝尔判别法是判定数值级数收敛的一种重要方法，不过它要求a单调，然而有时某些级数中a不单调，但级数绝对一致收敛，我们也可以证明级

数收敛，鉴于此可以将阿贝尔判别法作如下修正：

阿贝尔判别法：设a有界，即|a|＜L（n=1,2,3,……）,则级数收敛，若满足

通用数学分析教材所涉及的第一型曲面积分[即数量场曲面积分]和第二型曲面积分[即向量场曲面积分]的计算,多是采用投影法,其基本思路是将空间区域中的曲面积分,转化为某一坐标平面上的二重积分,以间接的方式达到目的. 投影法的缺陷是明显的:

第一,积分曲面在任一坐标平面的投影区域不能有重迭,这就决定了积分曲面只能是非常简单的函数曲面;在现实世界和工程领域更为普遍存在复杂参数曲面,投影法则无能为力;

第二,投影法通常要求积分曲面具有某种对称性,计算诸如"以三维坐标原点为中心的圆球体上侧.下侧.左侧.右侧曲面"类型的简单曲面积分,再乘以某一常数,得到整个曲面的积分值;在现实世界和工程领域更为普遍存在的不对称.不规则曲面,投影法计算非常繁琐,甚至不能计算;

第三,因不同积分曲面的差异,投影的方向,投影的次数千差万别[尤其是分面投影法].有100道题,就可能有100种投影方案.计算过程不可能标准化模块化,不利电子计算机编程;

第四,不论积分曲面复杂程度,投影法实际计算过程普遍繁琐;

第五,更为重要的是,在数学分析领域中至关重要的Ostrogradskii-Gauss公式,Stokes公式[在某种意义上也包括Green公式],投影法几乎没有直接计算例证[即使有,也是极个别的特例,没有代表性,如上例正方体外观的积分'曲面'].通用数学分析教材的写法是:先用符号逻辑推理的方法证明了这三大公式的存在,然后是如何应用这三大公式简化计算;非常遗憾的是,没有这三大公式的丰富多彩绚丽的直接计算例证.

在通用数学分析教材中,有球面坐标系向量场(或数量场)参数曲面积分,球体空间区域三重积分,极坐标系平面区域二重积分计算方法.