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实数集的基本性质

实数作为数学分析中重要的一部分，它具有如下一些主要性质：

1.1实数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数.

1.2实数集是有序的，即任意两实数必满足下述三个关系之一：.

1.3实数的大小关系具有传递性，即.

1.4实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何，若,则存在正整数,使得.

1.5实数集具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且即有有理数，也有无理数.

1.6如果在一直线（通常画成水平直线）上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向（通常把指向右方的方向规定为正向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集与数轴上的点有着一一对应关系.

函数理论的算术化——实数集合.数学的发展都是在数的引导下发生的：据希尔伯特说，戴德金和魏尔斯特拉斯对算术基本概念的定义和康托尔的作品导致了一次“函数理论的算术化”，与此同时，关于非欧几何的现代研究，连同它们对严谨逻辑的发展和数的概念的清晰引入的关注，导致了“几何学的算术化”.一个元素集S，如果它的一个真子集S'中的元素可以跟S中的元素建立起一一对应的关系，则我们说S是无穷集.

戴德金早在1858年就开始关注无理数问题，当时他正在讲授微积分.他得出结论，极限概念，如果想让它严谨的话，就应该仅仅通过算术来发展，无需来自几何的引导.戴德金没有简单地寻找一条走出柯西的恶性循环的途径，而是问自己，在连续的几何量中，究竟有什么东西把它跟有理数区别开来.在思考这个问题的时候，戴德金得出结论：一条线段的连续性，其本质并非由于一种含糊不清的紧密相连，而是要归因于一种截然相反的属性：线段上的一点把线段分为两部分的那种特性.把线段上的点分为两类，使得每一点属于且只属于其中一类，且一类中的每一点都在另一类中的每一点的左边，在任何这样的分割中，都有且只有一点导致这种分割.

实数的定义，正如汉克尔曾经提及的那样，是建立在有理数基础上的智性结构，而不是从外部强加给数学的某种东西，一个最流行的定义是戴德金的定义.戴德金定义了戴德金分割，是将一切有理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和B，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素.集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'.戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割.因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在.从更广泛、更严格的意义上说，戴德金分割是建立在有理数意义基础上定义的无理数.即是说戴德金分割是建立在有理数（超限数n的基础上得到了（并且只能得到）数值上的无理数）.简单的说，先是在一切有理数的集合（超限数n）这个基础上得到了1/n，这个数值写出来表达为1/2n，这是第一个真正意义上的数值无穷.

由于每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在，因此我们可以在更广泛的超限数2n的基础上，将一切无理数的集合划分为两个非空且不相交的子集A和B，使得集合A中的每一个元素小于集合A'中的每一个元素.集合A称为划分的下组，集合A'称为划分的上组，并将这种划分记成A|A'.我们可以把这个划分定义为无理数的一个分割.

戴德金原理(Dedekindprinciple)亦称戴德金分割，是保证直线连续性的基础，其内容为：如果把直线的所有点分成两类，使得：1.每个点恰属于一个类，每个类都不空.2.第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面.这个点决定直线的戴德金割切，此点称为戴德金点(或界点)，戴德金原理是戴德金((J.W.)R.Dedekind)于1872年提出来的，在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理，在希尔伯特公理组Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价.

19世纪戴德金利用他提出的分割理论，从对有理数集的分割精确地给出了实数的定义，并且该定义作为现代数学实数理论的基础之一可以推出实数理论中的六大基本定理：确界原理、单调有界定理、闭区间套定理、有限覆盖定理、致密性定理和柯西收敛准则.

实数集R的任一戴德金分割(S，T)，都唯一地确定一个实数a(称为中介数或中介点)，它或者是S的最大数(此时T中无最小数)，或者是T的最小数(此时S中无最大数).

在解析函数中，对实数定义大意是，先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数；现在通常所采用的是戴德金和康托的构造方法.戴德金方法称为戴德金分割，是将有理数的集合分成两个非空不相交的子集A与B，使得A中的每一个元素小于B中的每一个元素.戴德金把这种划分定义为有理数的一个分割，记为（A，B）.因为不存在有理数X，使得X²=2，戴德金说，考虑一个不是由有理数产生的分割（A，B）时，就得到一个新数，即无理数a，这个数是由分割（A，B）完全确定的.因此戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数a就是一个分割（A，B）.在这一定义中，由一个给定的有理数r产生的两个实质上等价的分割被看成是同一的.戴德金的方法也称为戴德金分割,是将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集和,使得中的每一个元素小于中的每一个元素,这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割,记为.有些分割是有理数产生的,在这样的分割中,要么有最大元素,要么有最小元素.但有些分割却不是,例如,若是由满足的一切正有理数组成,是由一切其余的有理数组成,则既不存在的最大元素,也不存在的最小元素,因为不存在有理数使得.戴德金说;每当我们考虑一个不是由有理数产生的分割时,就得到一个新数即无理数,我们认为这个数是由分割完全确定的.因此,戴德金就把一切实数组成的集合定义为有理数集的一切分割,而一个实数就是一个分割.在这一定义中,由一个给定的有理数产生的两个实质上等价的分割(视是的最大元素还是的最小元素而定)被看成是同一的.