4.机械能守恒定律是质点动力学规律.doc

摘要：分析了在研究机械能守恒定律与力学相对性原理的关系时需要准确理解的十八个问题，正是这些问题造成了长期的争论，建议力学教材明确指明，根据势能定理推导出惯性系中外势能的一般公式，外势能不具有伽利略变换的不变性，最后给出一个简要的一般性证明——机械能守恒定律满足力学相对性原理，牛顿运动定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件．文章系统地阐明了机械能守恒定律无条件服从力学相对性原理.

关键词：机械能守恒定律；力学相对性原理；势能公式；势能定理；质点动力学

中图分类号：O313.1文献标识码：A

一、对应原理在坐标变换中的要求

1.       对应原理的提出

1911年卢瑟福提出了原子的核式结构理论，宣告了原子基本结构的确立，但是卢瑟福的原子模型有一个致命的缺陷，它是直接由经典理论推演出来的，却无法由经典理论解释原子的稳定性、同一性和再生性等一系列问题.Bohr在研究这一问题时意识到有核模型理论不但在说明粒子大角度散射之类的实验上是有用的，而且也为建立一种有关原子的各种属性的系统理论奠定了基础.以此为研究目标，1913年Bohr分三部分在英国《哲学杂志》上发表了划时代的论文《论原子和分子构造》，此文被后人称为玻尔理论伟大的三部曲.文中把量子化的概念引入到原子结构之中，不仅从理论上解释了氢原子的光谱规律，并且精确地计算出里德伯常数.玻尔理论揭示了亚原子层次的量子特性，它和经典理论在本质上是有区别的.在考察其理论与经典理论之间的关系时，玻尔发现，随着量子数的不断增大，按照两种理论求得的谱线将趋于一致，在极限情况下(当量子数时)原子的能量趋于连续，同时氢原子光谱线的频率等于电子绕核运动的频率，而这些正是经典物理学的结论，对于这种渐近一致性，部分学者认为这是玻尔对应原理的最初萌芽.从玻尔1913年发表原子结构的论文开始，玻尔其实就是在用对应原理指导他的研究，对应原理这个思想体系的建立是一个长期研究形成的过程，而不是哪一天的工作.直到1920年玻尔才在正式场合使用“对应原理”一词，这是他对前面研究工作的一种总结，是对类比、对应思想的一种更确切的表述方式.

量子力学理论可以成功精确的描述微观世界的物体（例如原子以及基本粒子），而宏观的物体（例如弹簧、电阻等）则可以用经典力学和经典电动力学所描述.矛盾在于，同一个物理世界，仅仅因为物体大小的不同，就需要不同的两个理论来描述，这显然是荒谬的.这一矛盾就是玻尔阐述对应原理的初衷，即在系统“大”的情况下，经典物理学可以认为是量子物理学的一个近似.量子逻辑对经典逻辑最根本的革命是修改排中律，正如海森伯所指出的“经典逻辑假设：如果一个陈述是有意义的，那么或者这个陈述是正确的，或者这个陈述的否定是正确的，二者必居其一.”，“按照经典逻辑，原子若不在箱子的左半边就必定在它的右半边，没有第三种可能性”.然而，在量子论中，如果我们仍用‘原子’和‘箱子’等词的话，我们必须承认，还有其它的可能性，这种可能性是前面两种可能的奇特的混合物”.量子力学和经典力学间就是存在这样的矛盾，然而由对应原理可知，量子力学和经典力学不是互不相容的或绝无联系的，也不存在孰是孰非，它们在各自领域内都是正确的，彼此由对应原理有机地联系.

玻尔敏锐地把握住以实验为依据的原子核式模型和光谱分立的规律，同时接受了具有革命性的光量子观点，巧妙解决经典理论的困难而进一步大胆创新的思维轨迹.

经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系，其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果，因此量子力学的建立必然是以经典力学为基础，它们之间存在必然的联系：（1）在量子力学中，对于谐振子和氢原子，它们相邻能级间隔很小.当n很大即时，能级可看作是连续能级，此时量子化特征消失，量子理论过渡到经典理论.（2）从量子理论过渡到经典理论的一个标志是普朗克常数h，当普朗克常数h对研究的问题可以忽略时，量子理论就过渡到经典理论.（3）量子力学中动量和坐标满足不确定关系，而经典力学牛顿方程中的动量和坐标在计算中取平均值.（4）通过从运动学和动力学角度对量子力学和经典力学的理论进行了比较分析，得出量子力学不同于经典力学的本质在于运动学.

2.       对应原理的意义

对应原理的方法论意义不限于量子理论的发展，对应性是属性或关系范畴，包含对立和同一的类比性内涵，具有整体类比的意义.因此，现代科学发展中新旧理论之间也普遍存在这种极限条件下的类比对应关系.如当物体运动速度远小于光速时，相对论力学公式就过渡为牛顿力学公式等.同时，这一原理也对提出新的理论和模型具有重要的启示和选择作用，为科学创新提出了一种制约性的要求，即任何理论的发展都必须是逻辑自洽的.

对应原理作为一种富有启发性的物理思想，对当今物理学的发展仍然具有重要的指导作用.在对应原理提出初期，由于历史条件，对某些问题，如量子动力学中的初始问题未能很好解决，使得在一个时期内量子力学不能像经典力学那样按因果关系去理解自然界的事件在空间时间中的演化过程.20世纪中期以后，经典混沌研究获得成功，表明这一问题是可以得到解决的.具体表现为:第一，经典力学中关于可积性的刘维尔定理，只是通过正则变换来明白显示系统哈密顿量与角变量无关的动力学对称性，与所涉及的由泊松括号来表示的李代数不同实现形式间的变换与变换后的哈密顿量具有的动力对称性的李代数特征，都有明确的量子经典对应，故这一刘维尔定理对于相应的量子情形同样适用.第二，通过反映系统哈密顿量动力对称性的李代数和李群，指出了哈密顿量的态空间与它的动力对称性群的表示空间之间的联系，因为不论经典情形或量子情形，都会存在这样的联系，所以也就指出了量子态空间和经典态空间之间的对应.第三，在量子力学中，哈密顿量的基态虽与经典力学中的静平衡态不同，具有零点涨落，它是具有最小不确定度的态，但是通过动力对称性群的不同元素的作用，可以给出与经典相点一一对应的具有最小不确定度的量子态，在不确定性原理的前提下，具有明确的量子经典对应.近年来实验技术的发展，使得能将微观粒子捕入势阱，再进一步将其冷却，从实践上提供了制备最小不确定度的可能.另外量子力学与经典力学的一个基本差异是线性叠加的“退相干”问题，而现行研究表明宏观量子体系在环境的影响下即退相干而显出经典性质.所以在量子力学现有的框架内依据对应原理，像经典情形那样完整地考虑量子动力学问题，不仅具有理论的而且还具有实践的意义.

对应原理不仅仅是玻尔理论的重要部分，它用极限条件下的转化标准这根逻辑纽带，推进了和谐、完美、高度自治的物理学系统理论的构建；对应原理的推广更使人们有理由相信，对应原理是物理学中的一个重要的普遍原理，对应原理贡献巨大而又意义深远.对应原理对物理学发展的作用突出表现在量子论的形成和矩阵力学的建立上，在能量子理论和光的波粒二象性理论提出的过程中，普朗克和爱因斯坦都潜意识地受到了对应原理基本思想的启发，而海森堡、波恩等正是在对应原理的指导下建立了矩阵力学.

对应原理对科学方法论的影响也是巨大的，作为多数非经典逻辑的通用原理，对应原理真正的价值在于“向前看”，在于转换，在于启发创新.对应原理的优点在于事先预言新的非经典逻辑将可能会怎样，而不满足于事后说新逻辑有什么性质与旧逻辑相对应.它更象预言家，而不是“事后诸葛亮”.对应原理不仅仅是玻尔理论的重要部分，它用极限条件下的转化标准这根逻辑纽带，推进了和谐、完美、高度自治的物理学系统理论的构建；系统论的纲领性思想是研究不同领域的概念规律和模型的同形性，寻找通用原理，并使之在各领域间转移使用，对多种非经典思想而言，对应原理恰恰是一条重要的通用原理；对应原理的推广更使人们有理由相信，对应原理是物理学中的一个重要的普遍原理.科学研究是继承和创新的过程， 对应原理虽然具有一定的局限性和表述的非完备性， 也不是一种具有严格规范程序的研究方法和定量表现形式，但作为一种富有启发性的物理思想，在物理学的发展史上起到过相当积极的作用，对当今的科学研究仍具有重要的实际指导意义.

3.对应原理对于运动学、动力学方程的要求

从运动学角度来看，选取什么物体系统作为参照系描述质点的运动，仅是为了处理问题的方便．这个看来是很简单的问题，在物理学史上却占有极为重要的地位.在四百多年前，哥白尼提出用日心说代替地心说，就是变换参照系的一个极为典型的问题．这一理论的建立，是天文学史上的一次伟大革命，是自然科学从神学中解放出来的标志，也是科学大踏步前进的开始.变换参照系处理问题，既不是故弄玄虚，更不是玩弄数学游戏，从运动学角度来看，完全是为了方便，描述运动更加简单.

对于同一物理过程，不同参照系测量的守恒值不同，不代表不满足相对性原理.同理在运动学中，对于同一物理过程，不同观察者得到的运动方程形式上看似乎不协变，例如在静止系计算是自由落体运动，在运动系计算可能是平抛运动；在静止系计算是简谐振动，在运动系计算可能不是简谐振动；在静止系计算是匀速圆周运动，在运动系计算既不是匀速圆周运动，也不是椭圆运动，而且轨迹不封闭；……这些不能说明运动方程不具有协变性，不满足相对性原理，只要在运动系计算的运动方程当v=0时回到静止系方程即可，满足对应原理的要求就是满足相对性原理，运动系计算的运动方程是一般性方程，具有协变性，例如在运动系计算质点的轨迹方程为，当v=0时显然是匀速圆周的轨迹方程，因此方程具有协变性.伽利略运动的相对性原理能使牛顿力学运动方程的形式在任意惯性系中保持不变，不会破坏运动方程及其解的唯一性.对于运动学的定律，应该区分清楚用圆、抛物线、直线描述时，其数学形式也不会完全相同才合乎逻辑规范吧——科学理性有逻辑理性、数学理性、实验理性三种.

无论伽利略变换还是洛伦兹变换，在变换中存在着某些不变量和协变量，对于协变量必须满足对应原理的要求，例如运动系测量的某个物理量当牵连速度等于0时必须等于静止系测量的该物理量，对于非惯性系当牵连加速度为0时必须回到惯性系测量值.

二、相对性原理在物理学中的核心地位

在物理学中，在相对性运动问题上的核心原理是相对性原理，这一点无论对于经典力学还是相对论都成立.相对性原理即物理规律在不同惯性参考系中具有相同的形式，或者称之为物理规律在不同惯性系中的协变性.在物理学中在相对性运动问题上的核心原理是相对性原理，这一点无论对于经典力学还是相对论都成立.相对性原理，即物理规律在不同惯性参考系中具有相同的形式，或者称之为物理规律在不同惯性系中的协变性.当然，这是今天的表述，或者说是相对论的提出使得这样一种原理更广为人知，因为相对于以往的理论，相对性原理在相对论中的地位（作用）更为重要些，但似乎可以明确地说关于它的内容的认识或关于相对性运动的认识则可以从近代物理学的开端讲起.因为相对性运动的问题并不是新问题，现代物理学从其建立时起就关涉到这个问题.或者换一种说法仅仅就相对性原理本身的内容而言在不同时期看不出显著的差别，因为看单一原理的表述还不能体现出其具体意义，还要看其在具体理论或 观念中怎样体现.比如在狭义相对论中，相对性原理被设定为一基本原理，但如果仅仅看这样一原理似乎还并不能从中看出狭义相对论的一些基础观念与经典力学的基础观念有什么区别.因为真正为两者带来差异的是相对性原理与谁相结合，如果设定时间的绝对性，那么则对应经典力学的内容.但如果设定光速的绝对性以及时空均质性，那么相对性原理与之结合则意味着新的不同于牛顿体系的理论框架.所以爱因斯坦说狭义相对论与经典力学的区别并不在相对性原理，而在于狭义相对论对真空中光速不变性假设的引入.今天人们认识到，相对性原理是最重要的对称性原理之一，而20世纪最重要的规范对称性便是受相对论中相对性原理的变换不变性启示并经由量子力学的发展逐渐发展而来的.另一方面，我们知道刻画运动时必不可少的因素或概念是参考系或参照框架以及时间量和空间量，因为要定量化地描述物体的运动状态，参考系是不可缺少的，即当我们说运动状态是怎样时，首先要说以哪一个参考系为基准，否则一切就无从谈起.所以说参考系是重要的，即是说基准是重要的.规律的成立是与参考系的设定相关的.力学方程的形式同样与参考系的选取有关.即是说参考系的 设定或参考系的性质是力学体系的基础.另外，对于运动定量化的描述同时要求精确的测量，而对于运动的描述，时间、空间量则是最基础的量，因为描述物体运动状态的最基础的运动方程即是关于空间（位置）、时间的方程（函数）.在对运动的描述的基础上，进而致力于去把握物体运动状态的变化相关的规律，即动力学方程.应当说，参考系与时间、空间的问题是两个基础问题并且是紧密关联的问题，对两者的认识则是理解相对性运动问题，甚至是一切运动问题的基础.规律的形式是由参考系的性质决定的，参考系的等价性，意味着规律形式的不变性，这就是相对性原理的最基本设定.当然这仅仅是一种抽象的所指，科学理论 要由具体的概念组成.因为规律形式的不变性所指的规律在不同时期可能并不相同，所涉及参考系之间的参数变换形式也会改变，所以要理解相对性原理在不同时期的意义，需要结合具体的概念.因为相对性运动的问题并不是新问题，现代物理学从其建立时起就关涉到这个问题.或者换一种说法仅仅就相对性原理本身的内容而言在不同时期看不出显著的差别，因为看单一原理的表述还不能体现出其具体意义，还要看其在具体理论或观念中怎样体现.比如在狭义相对论中，相对性原理被设定为一基本原理，但如果仅仅看这样一原理似乎还并不能从中看出狭义相对论的一些基础观念与经典力学的基础观念有什么区别.因为真正为两者带来差异的是相对性原理与谁相结合，如果设定时间的绝对性，那么则对应经典力学的内容.但如果设定光速的绝对性以及时空均质性，那么相对性原理与之结合则意味着新的不同于牛顿体系的理论框架.所以爱因斯坦说狭义相对论与经典力学的区别并不在相对性原理，而在于狭义相对论对真空中光速不变性假设的引入.今天人们认识到，相对性原理是最重要的对称性原理之一.而20世纪最重要的规范对称性便是受相对论中相对性原理的变换不变性启示并经由量子力学的发展逐渐发展而来的.

2.1.力学相对性原理及其价值

2.1.1哥白尼的观点

哥白尼在其著作《天球运行论》中提到了这个问题，他讲道：“当船在平静的海面上行驶时，船员们会觉得自己与船上的东西都没有动，而外面的一切都在运动，这其实只是反映了船本身的运动罢了.同样，当地球运行时，地球上的人会觉得整个宇宙都在旋转.那么，云和空中其他漂浮物以及上升和下落的物体的情况如何呢？我们只需要说，不仅地球和与之相连接的水有这种运动，而且大部分气以及与地球以同样方式连接在一起的东西也有这种运动.这或是因为靠近地面的气混合了土或水，从而遵循着与地球一样的本性；或是因为这部分气靠近地球而又不受阻碍，所以从不断旋转的地球那里获得了运动.而另一方面，同样令人惊奇的是，他们说最高处的气体伴随着天的运动，那些突然出现的星体（我知道的是希腊人所说的“彗星或胡须星”）便说明了这一点.和其他天体一样，它们也有出没，被认为产生于那个区域.我们可以认为，那部分气距离地球太远，因此不受地球运动的影响.于是，离地球最近的气以及悬浮在其中的东西看起来将是静止的，除非有风或其他某种扰动使之来回摇晃.气中风难道不就是大海中的波浪吗？”

2.1.2.布鲁诺的贡献

布鲁诺的著作《圣灰星期三晚餐》的第三篇对话中同样提及了这样一类问题，对于天空中的云涉及到的问题，他认为可以把云看作是地球的一部分，所以作为一个整体一起运动就不存在上述问题了.在之后的讨论中同样提及了上述石块下落的问题，并且给这样一个问题一种基于冲力理论的解释.在其中以船与船上物体的运动来类比地球与地球上的物体（石块）的运动.他意识到这样一点，那就是在地球上抛（落）下的物体和在地球之外抛向地球的物体相对于地球的运动是不一样的.即是说如果地球是运动的，那么在地球之外（这里的之外意味着与地球处于分离状态或未受到地球运动的影响）抛向地球的物体由于地球的运动和在地球上抛下的一石块的相对于地球的运动并不一样.或者用一个简单的实例来做相似的说明，以在船上落下的石块与岸上落下的石块相对于船的运动为例，当在一艘在水面上以一定速度行驶（更确切地说要求匀速直线运动）的船的桅杆上端使一石块落下，石块会落在船的桅杆底部，或者换一种说法相对于船来说，石块是垂直落下的.然而，当石块不是和船一起运动或者说不是船的一部分时，以在岸上抛下的石块为例，显然石块相对于船并不是垂直落下的.那么这其中的区别或造成这样一种区别的原因是什么呢？布鲁诺用冲力理论给予了解释，他认为在船桅杆上部落下的石块在落下之前在伴随船的运动中获得了一种内在的力量（冲力），所以当石块脱离与船的联系后仍然保有这种冲力，并在下落的同时向前运动，所以石块会落在杆的底部，而以船为参考来看，石块是垂直落下的.但在岸上的石块就不同了，因为他并没有在船的运动中获得那样一种冲力，所以它的运动情况在船上的人看来和船上下落的石块并不相同.“假设有两个人，一个在急速行驶的船上，一个在船外.在同一时间、同一地点，俩人的手在空中举到相同的高度，并且各自让一块石头从手中落下来，而不给石头任何投射力.第一颗会准确地击中目标，不会偏离垂线，而第二颗会落在后面.这完全是因为，从站在船上的人的手中落下的石头有一种冲印力在里面，因而随着船的移动而移动.而从船外的人手中落下的石头就缺乏这种冲印力.当然，这要求这些石头必须有相同的重量，中间有相同数量的空气，并且必须(如果可能的话)从同一点出发，施以相同的投射力.”

2.1.3伽利略的主要贡献

通过望远镜的观察，看到太阳系内结构的一些细节，进一步说明了太阳系内部结构的统一性，但仍未摆脱行星圆形轨道的传统观念；利用笛卡儿坐标系这一数学工具，给出了关于距离（与空间概念有关）和时间概念的确切的数学形式，明确说明真实空间的三维性和时间的一维性，与太阳中心相连结的坐标系被公认称为伽利略坐标系；  

伽利略变换是两个惯性系描写同一物体运动时，时间和空间坐标的变换式.体现了运动描写的相对性.为简化起见，设相对于系以速度v只沿x轴方向作匀速直线运动，且静止于系的钟及静止于系的钟读数均为零的时刻，系和系的原点重合.则同一物体任一时刻坐标（x、y、z、t）与（、、、）之间的变换关系为：

　①时间和空间与物质及其运动无关.时间坐标系和空间坐标系是完全脱离物质而独立存在的.坐标轴上的标度即间隔与惯性系的选择无关.由伽利略变换易导出： 说明时间间隔和空间间隔在不同的坐标系中保持不变.即时间、空间观念与物质及其运动无关.

  ②时间空间彼此无关，各自独立存在.这表现在时间坐标系与空间坐标系可以分离，各自独立存在.虽可配合共同描写物体的运动（如运动方程，表现为空间坐标与时间坐标的关系）.但二者并无内在的必然联系. ③经典时空结构的特点：a．时间结构.一维性；单向性（这是热力学第二定律不可逆过程概念的贡献，反映了事物发展因果律的要求）;时间的均匀性（即△t＇=△t反映出来，时间间隔的不变性）；同时性概念的绝对性（由伽氏变换易于看出.在S系内不同地点同时发生的事件即△t=0，必然△t＇也等于0.说明在S＇系看也是同时发生的.这来自于牛顿的“超距作用”观点）；时间是有起点的（上帝对宇宙的“第一次推动”）；但时间的发展是无限的.即时间是有始无终的、具有单向的无限性.b．空间结构.三维性；空间的均匀性和各向同性（即伽氏变换中、、，所以空间间隔　具有不变性）；空间的无限性（大至无限；小至无限可分——基于牛顿提出的“质点”理想模型）.这种时空结构是均匀的、平直的，在数学上可用欧几里德几何学描写.时间的“均匀性”和空间的“均匀性”、“各向同性”性可以概括为“时空对称性原理”.这实质上是“宇宙无中心”的另一表述.这是基于“物理规律在不同时刻，在空间不同点是等价的”经验提出的.3.提出了伽利略相对性原理：“力学定律在所有惯性系中都相同.”以及对这一原理的数学补充——伽利略变换，即两个惯性系间时间和空间坐标的变换式.这里，集中体现了经典物理学的时空观.牛顿继承了这一观点，并给出完整的表述.4.提出了惯性定律.为牛顿创立力学的动力学理论打下了基础.他指出了亚里士多德的错误，力并非是物体运动（速度）的原因.而是物体运动变化（加速度）的原因.从而也科学地解释了“日心说”中行星的运动和地球表面上物体的落体运动.爱因斯坦对伽利略的工作给予了极高的评价：“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端.”

力学基本原理：伽利略相对性原理——力学定律在所有惯性系中都相同，也就是说，在一惯性系内部所作的任何力学实验都不能确定该惯性系相对于其他惯性系的运动.一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响.一个对于惯性系作匀速直线运动的其他参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受系统作为整体的匀速直线运动的影响.对力学规律而言，一切惯性系都是等价的.

伽利略说：“我的目的是要阐明一门崭新的科学，它研究的却是非常古老的课题.也许，在自然界中最古老的课题莫过于运动了；例如观察到下落重物的自然运动是连续加速的.”伽利略最先说明了“在惯性系内部所作的任何力学实验都不可能发现该惯性系是静止的还是作匀速直线运动的”这个事实，故名.1632年伽利略在一条作匀速直线运动的船上，对一个封闭船舱内发生的现象进行观察，他写道：“在这里(只要船的运动是匀速的)你在一切现象中观察不出丝毫的改变，你也不能够根据任何现象来判断船究竟是在运动还是在静止着：当你在甲板上跳跃的时候，你所通过的距离和你在一条静止的船上跳跃时所通过的距离完全相同，也就是说，你向船尾跳时并不比你向船头跳时——由于船的迅速运动——跳得更远些，虽然当你跳在空中时，在你下面的甲板是在向着你跳跃相反的方向奔驰着；当你抛一东西给你的朋友时，如果你的朋友在船头而你在船尾时，你所费的力并不比你们两个站在相反的位置时所费的力更大.从挂在天花板下的装着水的酒杯里滴下的水滴，将垂直地落在地板上，没有任何一滴水滴是落向船尾方面，虽然当水滴尚在空中时，船在向前走.苍蝇将继续自己的飞行，在各方面都是一样，丝毫不发生苍蝇(好像它们疲倦地跟在疾驶着的船后)集聚在船尾方面的情形”.“把你和朋友关在一条大船下的主舱里，让你们带着几只苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫，舱内放一只大水碗，其中有几条鱼，然后挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐里，船停着不动时，你留神观察，小虫都以等速向舱内各方向飞行；鱼向各个方向随便游动；水滴滴进下面的罐中，你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向施更多的力.当船以任何速度前进，只要是匀速的，你将发现，上述观察的现象依旧，你无法用任何现象判定船是运动还是不动……”^[1]“历史上，是惠更斯首先应用这一原理，并把它看成力学的基本规律.”^[2]

用现代的术语来概括，伽利略相对性原理可表述为：一个对于惯性系作匀速直线运动的其它参考系，其内部所发生的一切物理过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响或者说不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统作匀速直线运动的速度.既然对于惯性系作匀速直线运动的系统内遵从同样的物理学规律，由此可得出结论：相对于一切惯性系作匀速直线运动的一切参考系都是惯性系，也就是对于物理学规律来说，一切惯性系都是等价的.^[3]没有伽利略这一相对性的不变性原理，就不存在各惯性系均成立的力学规律，力学也就不成为科学了.

牛顿对于伽利略的相对性原理也是肯定的，在《自然哲学之数学原理》一书中，“运动的公理或定律”的第五推论指出：“一个给定的空间，不论它是静止，或是不含圆周运动的匀速直线运动，它所包含的物体自身之间的运动不受影响.”牛顿还特地说明：“这可以由船的实验来清楚地证明，不论船是静止或匀速直线运动，其内的一切运动都同样进行.”牛顿在发现的引力前面，加了二个字，叫万有引力.目的就是表明，引力对所有的物体，在所有的时间和空间都是适用的是普遍成立的.至今没有发现，万有引力定律只对地球适用，在其他天体就不成立，当然现在需要对牛顿的万有引力定理进行相对论效应的修正.所有现在没有被推翻的物理规律，都是对相对性原理的证明.

爱因斯坦指出：“由于我们的地球是在环绕太阳的轨道上运行，因而我们可以把地球比作以每秒大约30公里的速度行驶的火车车厢.如果相对性原理是不正确的，我们就应该预料到，地球在任一时刻的运动方向将会在自然界定律中表现出来，而且物理系统的行为将与其相对于地球的空间取向有关……但是，最仔细的观察也从来没有显示出地球物理空间的这种各向异性（即不同方向的物理不等效性）.这是一个支持相对性原理的十分强有力的论据.”^[4]

2.2.相对性原理在物理学中的核心地位

相对性原理是整个自然科学生存的基础，基础是不可动摇的，不可错误的.发生错误的只可能是从一个时空变换到另一个时空所采用的变换方式，在这种变换方式下能否使自然界的规律保持不变.牛顿力学在伽利略变换下保持力学规律不变.爱因斯坦在建立理论体系之前，先追求数学上的完美性.对于数学上不完美的理论，则将其拒之门外，爱因斯坦建立的理论属于对称性理论.在发现光速不变之后，爱因斯坦认为只有在洛伦兹变换下物理规律才能保持不变.在一个给定的参照系中的自然规律和一切实验结果都与整个系统的平动无关，更精确地说法是：存在着无穷多的互相作匀速直线相对的运动的三维等效欧几里得参照系，在这些参照系中，一切物理现象都是以等同的方式发生的.所以我们说，爱因斯坦方法可以称为相对自由或受对称性限制的方法.具体地说，即以实验和事实为依据，仅在对称性方案之中选择最佳方案.海森堡说：“在科学史上.以往也许从来没有过一个先驱像爱因斯坦和他的相对论那样，在他在世时为那么多的人所知道，而他一生的工作却只有那么少的人能够懂得.然而，这个名声是完全有理由的.因为有点像艺术领域中的达芬奇或者贝多芬，爱因斯坦也站在科学的一个转折点上，而他的著作率先表达出了这一变化的开端，因此，看来好象是他本人发动了我们在本世纪上半期所亲眼目睹的这场革命.”中国科学技术大学天文与应用物理系沈惠川教授认为，在物理学中能够“永远站得住脚”的，除了分析力学（包括Lagrange力学，Hamilton力学和Birkhoff系统动力学）、热力学外，就是相对论（包括狭义相对论和广义相对论，或称为特殊相对论和一般相对论）.这三门学问可说是物理学中的“铁三角”，是其它物理学科必须遵守的“约束条件”；是物理中的物理，是物理中的哲学.其余的学问，包括量子力学在内，都是在变化的，不一定全对.

与没有争议的“运动的相对性”不同，历史上对于“相对性原理”的正确性是存在很大争议的.爱因斯坦指出：曾经有“许多著名的理论物理学家比较倾向于舍弃相对性原理.”甚至，爱因斯坦自己也对“广义相对性原理”有动摇——《爱因斯坦全集》的编辑在第七卷的“序”中指出：“在回答ErichKreyschmann的批评时，爱因斯坦承认广义协变在物理上没有意义.相对性原理不再被陈述为任意参考系的等效性.类似地，等效原理也不再被表述为是将相对性原理从匀速运动推广到非匀速运动.”但是随着爱因斯坦研究的而深入而逐渐放弃了这一观点.

爱因斯坦认为：“只要人们坚持整个物理学可以建筑在牛顿运动方程的基础之上这一见解，那就不能怀疑，自然规律可以参照于相互作匀速(没有加速度)运动的坐标系中的任何一个，其结果都是相同的(相对性原理).”相对性原理说明物理规律在相对运动中是等效的，狭义相对性原理指出一切物理规律对于各种惯性系都是相同的，广义相对性原理则把它推广应用于任意相对运动的参照系.相对性原理是一种变换中的不变性(某种守恒)，它联系于空间的某种性质，例如均匀性，引力场与非惯性系的等价性等，它的数学形式是方程等的一般协变性.海森堡指出:“相对性原理构成一个十分普遍的自然规律”.对自然的研究和对自然力量的利用从一开始就是同使物体个体化联系在一起的.一个物体到另外一些物体的距离随时间发生变化.当这些“另外的”物体依然是所论物体的不可分割开来的背景的时候，我们就无法用数列对应于该物体的位置和位置的改变，也就是不能对物体的位置和速度施行参数化.给定一个物体，它相对于一些物体运动，标志出这些物体，然后用数列与这些距离相对应，于是这些物体就成为参照物，而给定物体到这些物体的距离的全体就成为参照空间.对应于距离的数之全体组成为一有序系统.这样同参照物联系在一起的坐标系，也就被引进来了.所谓相对性原理就是坐标系的平等性，从一个坐标系转换到另一个坐标系的可能性以及给出坐标变换时刚体内部的特性和刚体内部的各质点的距离及其结构的不变性.对于科学家，奥卡姆剃刀原理还有一种更为常见的表述形式：当你有两个处于竞争地位的理论能得出同样的结论，那么简单的那个更好.这一表述也有一种更为常见的强形式：如果你有两个原理，它们都能解释观测到的事实，那么你应该使用简单的那个，直到发现更多的证据.对于现象最简单的解释往往比较复杂的解释更正确.如果你有两个类似的解决方案，选择最简单的，需要最少假设的解释最有可能是正确的.

2.3.相对论原理的表述

描述一个质点的运动状态，总是相对于某一特定的参照系而言的，没有参照系这个前提，质点运动状态的描述就失去了实际意义.力学相对性原理和狭义相对性原理分别是牛顿力学和狭义相对论建立的基础.所谓力学相对性原理，即一切力学规律在相互作匀速直线运动的坐标系——惯性系内都是相同的.而狭义相对性原理则有更大的内涵，它要求一切自然规律在相互作匀速直线运动的坐标系——惯性系内都是相同的.在牛顿力学中，相对性原理同惯性系间的伽利略变换一致；在狭义相对论中，相对性原理同惯性系间的洛伦兹变换一致.惯性系中的时空空间是惯性空间，惯性空间有如下特点：①时空独立存在，是万物表演的舞台；②时空是均匀的，各向同性的.

文献[5]指出相对性原理可以分为两个层次.

第一个层次：从两个惯性系分别考察两个系统.由于牛顿定律对两个惯性系都成立，故在两个惯性系中所得到的一切力学规律(包括无条件的普遍规律和有条件的特殊规律)完全相同.由于是分别考察两个系统，故在两个惯性系中所得到的相同的规律之间，不存在“伽利略变换”这种联系.

第二个层次：从两个惯性系同时考察同一系统，由于牛顿定律对两个惯性系都成立，故在两个惯性系中所得到的普遍的(即不加条件由牛顿定律导出的)力学规律完全相同.由于是同时考察同一系统，故两个惯性系中所得到的相同的规律之间，必然存在着“伽利略变换”这种联系，即利用伽利略变换必能把S系中的规律变成要S^′系中的规律，反之亦然.

笔者认为，这种观点是错误的，不存在第一个层次的相对性原理，力学相对性原理是就是指第二个层次的相对性原理，如果将伽利略变换换成洛仑兹变换，就是狭义相对论中的相对性原理，爱因斯坦本人有关狭义相对论的著述中的三段话便说明了这一点.爱因斯坦在回忆他建立相对论的经过时说，他“对于依靠已知事实通过创造性的努力来发现真实定律的可能性越来越感到绝望.”“空间和时间并没有绝对的意义，它们不过是相对的关系罢了.”“越发相信只有发现一个普遍的形式上的原理”才能得到“精确有效”的结果.他“直觉地感到”，“光速不变原理”和“相对性原理”正是这样的原理.

表述A自然界规律对于洛伦兹变换是协变的^[86]

表述B如果S是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系也是惯性系，自然界规律对于所有惯性系都是相同的^[87]

表述C自然规律同参照系的运动状态无关，至少在参照系没有加速运动时是这样^[88]

“只有爱因斯坦真正认识到相对性原理的本质意义，并从根本上改变了矢量力学及其时空观”，相对性原理最初是力学的基本原理.在广义相对论中基本物理规律在任何坐标系形式下都不变——广义协变原理.依照古典力学，物体在竖直引力场中的竖直加速度，同该物体的速度的水平分量无关.因此在这样的引力场里，一个力学体系或者它重心的竖直加速度的产生，同它内在的动能无关.这就是等效原理的内容：惯性质量同引力质量相等，在引力场中一切物体都具有同一加速度.这就意味着爱因斯坦在狭义相对论框架中构造引力场论的尝试被等效原理否决了.从等效原理中，可以得到这样的结论：在均匀的引力场中，一切运动都像在不存在引力场时对于一个均匀加速的坐标系所发生的一样.爱因斯坦在等效原理的启发下，认为如果我们要得到一种关于引力场的自然的理论，就需要把相对性原理推广到彼此相互作非匀速运动的坐标系上去，引力场方程将在非线性变换的情况下保持不变，这就是新的广义协变性原理，文献[88～93]对此进行了详细的分析.

三、赝功能原理及其应用

文献[6]详细分析了功定义的三种表述是一致的，功不具有伽利略变换的不变性，耗散力做功不能把物体视为质点等问题，在此不再论述.

所谓赝功，就是不真实的功，但是数学表达式与功的表达式相同，它等于外力与质点组质心位移标积的积分．这时外力虽然不做功，但它可以改变质点组的总动量，使内力通过质点组)，内各质点间相对位置变化做功，把内部其它形式的能量转化为质点组质心的动能.赝功能原理：作用于物体组的所有外力的矢量和的赝功等于以物体组质心为代表的平动动能的增量.

例1 人由一楼匀速走到五楼（请注意是对地不动的楼梯），地面对人的支持力是否做功？是什么形式的能转化为人的重力势能？

分析：从做功的角度来看，人在登楼时，地面对脚底有支持力时，脚没有发生位移，脚腾空向上运动时，支持力消失，故支持力不做功.人在登楼时，不能把人看作一个质点处理，从质点组的动能定理（）角度来看，人所受外力和身体各部分之间内力做功之和等于人的动能增量，既内力做功与重力之和为零（因为人是匀速走的）.这说明人的身体各部分之间的内力做正功，从功和能的关系角度，如果地面的支持力做功，则地面必然给人提供能量，事实上地面不可能给人提供能量，因此地面不可能对人做功.事实上是肌肉收缩做功，也就是人的内力做功，从而把人体内的化学能转化机械能和内能（人体五分之四的热能来自肌肉收缩），即人的重力势能是通过消耗人体的生物能来转化来的.（以上是从内力做功的角度来考虑）从赝功能原理的角度来讲，在登楼时受到竖直向上的支持力和竖直向下的重力，人的位移方向与支持力方向相同，故支持力做正功，重力做负功，地面提供能量转化为人的重力势能.

四、势能的零点选取问题

根据力学相对性原理（或者说坐标系的观点），在计算势能时势能的零点应该相对于观察者不变，而不是相对于力源不变，例如在一个相对于地面匀速上升的封闭的电梯内，一个观察者看到一个小球从电梯的顶端落下，碰到电梯底部后发生弹性碰撞，如果不考虑空气阻力等因素，理想状况下小球将不断运动下去，观察者看不到外面的情况，不知道小球距离地面的高度以及电梯相对于地面的速度，势能的零点只能相对于自己不变.只要建立了坐标系，势能零点便随之确定.汤川秀树讲：“只用物体、空间和时间这样的概念，还很难准确地描述运动，所以人们进一步引进坐标系，特别是直角坐标系.”

一个坐标系一个势能零点，不存在所谓各个坐标系的公共势能零点，引力势能选在无穷远点计算方便，其他势能零点选在坐标原点计算方便.一般情况下在一个惯性系里选择了势能零点，在另一个惯性系里最好用它的伽利略像点，并不是选择其他点不行，只要相对于观察者不变即可.当一个轻质弹簧竖直悬挂一个质点，质点浸没在水（充分多，忽略质点运动对于其能量的影响）中，在这里质点具有弹性势能、重力势能、浮力势能^[7]，在地面系看来总机械能守恒，在相对于地面匀速上升的电梯系看来，机械能也守恒，势能零点只能相对于观察者不变^[8].文献[9]由于用错了势能零点，才导致了势能显含时间的错误.

正当一个力学体系处于稳定平衡时，势能为极小值，这称为最小势能原理.也可以说是当一个体系的势能为最小时，整个体系处于稳定平衡状态.最小势能原理只适用于物体在给定条件下处于稳定平衡状态的情况.

   最小势能原理是物理学中一个很重要的原理，在材料力学和弹性力学中有广泛的应用，通过合理的构建物理模型，寻找系统的能量关系和平衡态的特点，再利用最小势能原理，我们可以解决物理中的一些疑难问题，甚至可以解决一些数学难题.如：利用最小势能原理在边坡稳定性问题中的分析，最小势能原理在钢架稳定问题中的应用.还有混合变量的最小势能原理，应用混合变量的最小势能原理解决悬臂弹性矩形板的稳定问题.另外应用大挠度弯曲直梁混合变量最小势能原理，可以求解两端固定的大挠度柱面弯曲板条的轴向挠度分布和轴向弯矩分布的问题.许多实例表明，最小势能原理对现代的建筑和桥梁中的受压构件的稳定设计和计算带来了很大的便利，提供了一个简单有效的方法.

五、正确理解有势力、等时积分的概念

力是看不见也摸不到的，许多天才哲学家都承认力是最难弄清的概念.恩格斯认为：“力只能被当作未被阐明的因果关系的略语来使用倒也可通，在日常生活中作科学上的小买卖，技术上开个处方倒也可通，超过了这一点，在理论方面乱用力字的名词就是荒谬.形而上学最省力气，他们凡是碰到不能解释的种种现象就贴上种种力字的标签作为避难所.有多少不能解释的现象，就有多少力的名词.终极的原因和无数起作用的原因之间的对立，被相互作用的范畴所扬弃，因为我们不能追究到比相互作用更深的地步上去了.”（这些话引自恩格斯《自然辩证法》

当质点运动时所受力系F是位置和时间的单值连续函数，我们称这部分空间为力场，且可表为F=F(r，t).若F中不显含t，则称为稳定力场（三维空间里的力场）；F显含t时称为瞬变力场（四维空间里的力场）.

显含时间力场的定义：对于力F=F（r，t），如果时间t不能通过恒等变换消去，只能表示为位置和时间的二元函数，或者说力F对于时间的偏导数不恒等于0，那么力F就是一个显含时间的力场或者说是一个不稳定场.^[10]

力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，r是指质点的坐标，含有时间参量t是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间.

对于稳定场F=F(r)而言，假设U(r)=F(r)，∮F(r)dr=U(a)－U(a)=0，因此所有的稳定场都是保守力场，对于非稳定场环路积分一定不等于0，可以把保守力的定义简化为：只与空间位置有关的力.

若质点在空间各处所受场力F都相同，则称为均匀力场；反之，F在空间各处都不相同时，则称为非均匀力场.例如万有引力场和弹性力场都是稳定场（三维空间里的力场），在地面附近的重力场F=mg便是均匀场，而瞬变场的例子在电磁学和量子力学中是很容易见到的.

注意显含时间的力F=F(r，t)是位置和时间的二元函数，如果t也是位置的函数，如果此时F可以表示为位置的一元函数，不是显含时间的力，只能认为是隐含时间的力^[10].文献[11～12]列举的实例也可以消去时间t，不是显含时间的力.

王振发先生在“21世纪高等院校教材”《分析力学》中给出了力学原理的分类原则——力学原理可分为两大类：不变分原理和变分原理.每一类又可分为两种不同的形式：微分形式和积分形式.不变分原理是反映力学系统真实运动的普遍规律.如果原理本身只表明某一瞬时状态系统的运动规律，称为微分原理，如达朗伯原理就是不变分微分原理.如果原理是说明一有限时间过程系统的运动规律，则称为积分原理，如机械能守恒原理即不变分的积分原理.而变分原理则不同，它提供一种准则，根据这种准则，可以把力学系统的真实运动与相同条件下约束所允许的一切可能运动区别开来，从而确定系统的真实运动.如果准则是对某一瞬时状态而言的，则该原理称为微分变分原理，例如虚位移原理就是微分变分原理，……动力学普遍方程和……高斯最小拘束原理都是微分变分原理.如果准则是对一有限时间过程而言的，则该原理称为积分变分原理，……哈密顿原理和拉格朗日最小作用量原理即积分变分原理.^[1]

当场力F=F(r，t)时，若把时间t看作参数，而场力F的旋度(r=0除外)得到满足，则势能函数V存在，且F=-成立，即V=V(r，t)，F=F(r，t)=-，我们把这样的力场称为有势场，是无旋场.若场力F中显含t时，这种有势场是非稳定的；若场力F中不显含t时，这种有势场是稳定的.对于非稳定的有势场而言，等势面只具瞬时意义，而计算场力作功的公式W==-=V₁-V₂不再成立，因为积分时不能将参数t固定，场力的元功为dW=-×dr=-dV+dt．这种非稳定的有势场不是保守场，与它相关的势能函数V表示为位置和时间的二元函数V=V(r，t)．一般说来，具有势能函数的无旋场不一定是保守场，它仅是有势场.重力、弹簧弹力和万有引力等都是稳定场（三维空间里的力场），不是显含时间的力场（四维空间里的力场）.

等时积分是一个数学概念，当力场F（r，t）是时间和空间的多元函数时，在指定时刻t和指定路线L，对力F的空间积分叫做等时积分.只有显含时间的力场（四维空间里的力场）中的等时积分才不等于0，对于重力场、引力场、弹力场等稳定场（三维空间里的力场）的等时积分都等于0，因为在稳定场（三维空间里的力场）中质点在任意时刻的位移是唯一的，文献[9]作者得出等时积分不等于0，这是明显的低级错误.如果按照等时积分计算势能的改变量，自由落体运动中在地面系测量质点的重力势能始终不变，质点的动能不断变化，机械能不守恒，这是极其荒谬的.

文献[9]利用等时积分计算势能的改变量，得出功和势能的改变量具有伽利略变换的不变性，如果按照这个观点在弹簧振子问题中墙壁的作用力的等时积分也始终为0，不改变弹簧的势能，文献[9]的观点显然是错误的.随体积分计算动能的改变量，不具有伽利略变换的不变性.动能和势能的改变量利用不同的积分计算，显然二者不一致.

六、正确理解保守力的定义

在一个物理系统里，感受到某作用力，一个粒子从初始位置移动到终结位置，而此作用力所做的机械功，跟移动路径无关，则称此力为保守力(conservativeforce)，又称为守恒力.等价地，假设一个粒子从某位置，移动经过一条闭合路径后，又回到原本位置，则作用与这粒子的保守力所做的机械功（保守力对于整个闭合路径的积分）等于零.在一个物理系统里，所有的作用力都是保守力，则称此物理系统为保守系统，又称为守恒系统.对于这种系统，在空间里的每一个位置，都可以给位势设定一个唯一的数值.当粒子从某位置移动至令一位置时，保守力会改变粒子的势能，前后差值与所经过的路径无关.

现在的力学教材都是利用环路积分为0定义保守力的，文献[13～14]指出如果力的保守性可随参照系而变，那么在不同的惯性系中做关于某力的保守性的物理实验，将可根据该力在一惯性系中做功是否与路径有关，从而判断该惯性系相对施加该力的作为另一惯性系的物体是否在运动——这是相对性原理不能允许的.力是伽利略变换的不变量就不成立了，经典力学理论本身就出现了矛盾.

文献[15]证明了旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某位势的梯度三者是等价的，环路积分为0是力是保守力的充要条件.如果作用在物体的力所做之功仅与力作用点的起始位置和终了位置有关，而与其作用点经过的路径无关（注意这里的路径必须具有任意性，否则不一定是保守力^[16].），即不仅力有势，且在相应的势能表达式中不显含时间，该力则为保守力.势能定理为=-fdr，环路积分必等于0.当势能不显含时间时，也可以称为位能，势能是位置的函数，教材中可以将势能和位能区别开来，位能作为势能的一种情形.由于我们研究问题中势能一般不显含时间，也可以不加区分，本文没有区分，默认势能不显含时间.

由于旋度具有伽利略变换的不变性，因此力的保守性也具有伽利略变换的不变性，文献[10]证明了力的保守力具有伽利略变换的不变性，保守力不可能经过伽利略变换变成显含时间的力.

引力是在三维空间里的力场，是稳定场，不存在所谓的引力磁场的问题.电磁力是四维时空里的力场，非稳定场，变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场，是因为存在对于时间的变化率，所以有电场和磁场的区别.

机械能守恒定律是时间均匀性的体现，显含时间的力场能量不守恒.对于弹簧振子而言弹性势能公式E_p=kx²是质点的弹性势能，而且不适用于所有的惯性系[17]，计算弹簧的势能时必须同时计算其动能.文献[19]认为机械能的哈密顿量是位置坐标的函数，在进行该位置坐标上的坐标变换时总会携带时间，导致其哈密顿量对时间的偏导数不为0，是完全错误的，通过上面的分析可以看出时间t完全可以消去，其哈密顿量对时间的偏导数始终为0.

场的性质是它本身的属性，和坐标系的引进没有关系.引入坐标系是便于运用数学研究它的性质.经典力学中显含时间的力在各惯性系都是显含时间的力，机械能在各惯性系都不守恒，不是保守力经过伽利略变换得出.伽利略变换是一种观测效应，它的实质通俗解释就是一个质点在绝对空间里运动，两个惯性系里的观察者测量其速度和位移，然后利用矢量力学规律描述其运动，场的坐标不变，在伽利略、牛顿时代还没有场的概念，认为是超距、瞬时作用，直到法拉第、麦克斯韦时代才提出场的概念.保守力是有势力的一种，力是伽利略变换的不变量，包括力场的性质不变，在一个惯性系中某个力不显含时间，在另外的惯性系中也一定不显含时间，例如在自由落体问题中匀速上升的电梯系中我们不能计算势能时重力是显含时间的力，利用动能定理求动能时重力不是显含时间的力，前后不自洽.用对称性原理表述为，由势能对时间平移的不变性，就必有能量的守恒性（例如重力随时间的可变性，在重力较弱时把水提升到蓄水池中去，所做的功较少；在重力变强时把蓄水池中的水泄放出来，利用水力发电，释放出较多的能量.这是典型的第一类永动机）.

对于一维运动，凡是位置X单值函数的力都是保守力.设力F沿x方向，且其大小是x的函数，即F=F_xi=f(x)i，则F.dr=F_xdx=d[u(x)]，可以写成一个函数的全微分，因此F是保守力，例如服从胡克定律的弹性力f=f(X)=-k(X-X₀)是X的单值函数，故它是保守力.对于一维以上运动，大小和方向都与位置无关的力，如重力G=mg是保守力.若在空间中存在某个中心O，物体（质点）P在任何位置上所受的力f都与“向量OP”方向相同（排斥力），或相反（吸引力），其大小是距离r=标量OP的单值函数，则这种力叫做“有心力”，例如万有引力就是有心力，凡有心力都是保守力.我们可以概括为只要力与质点的运动状态无关，而且是位置的单值函数就是保守力.因此静摩擦力是保守力，滑动摩擦力是耗散力.大学力学里的保守力一般只提重力、弹簧弹力和万有引力，其实有些其他的力也是保守力，例如斜面的支持力^[18]、摆线的拉力、匀速圆周运动的约束反力、静摩擦力、理想流体的压力^[19].流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力，因此理想流体的压力能也可以称为压力势能.其实管壁的侧压力也是一个保守力.）、弹性碰撞中的弹力、惯性力以及浮力等，文献[20]列举了关于浮力势能的文章很多，本文不再论述.斜面的支持力是一个保守力，例如把斜面固定在地面上，在地面系看来小滑块在斜面上无论如何运动，当小滑块回到原点时支持力的功都等于0，所以支持力是保守力，又由于力是伽利略变换的不变量，因此在小车系看来支持力也是一个保守力.只要是保守力就可以引入势能，但是注意是小滑块的支持力势能，不是斜面的支持力势能，因为斜面不考虑形变.又因为重力也是一个保守力，因此它们的合力也是一个保守力.由于力是一个伽利略变换的不变量，因此在小车系看来小滑块受到的合力也是一个保守力.

文献[21]指出了约束力是保守力的问题，文献[22]证明了约束力是保守力，文献[15]和[18]验证了约束力是一个保守力，文献[23]指出只要是保守力就可以引进势能.力学中的力可以分为三种：保守力、耗散力和显含时间的力.一个力可为保守力的前提条件为该力(大小、方向)不随时间变化.文献[20]给出了势能的一般定义——由于质点受到有势力而具有的能量叫做势能，势能的定义式为dEp=（-f）dr（与F=等价），当有势力不显含时间(即为保守力)时，势能也可以称为位能.势能显含时间的充要条件是力场显含时间.如当两质点间的相互作用力除与距离有关外还与两者的速度有关(如带电质点间的磁力)时，这两质点也可能存在位能，两质点间的作用力不是保守力.

由于质点受到万有引力而具有的势能叫引力势能，由于质点受到重力而具有的势能叫重力势能，而把弹性势能定义为由于弹性形变具有的势能不具有和谐性.有人说没有形变哪来的弹力，确实这样，一个物体放在水平地面上受到支持力是弹力，但是我们不必考虑形变，力学中不必考虑力的性质的来源，重力来源于万有引力，摩擦力还来自于电磁力呢？我们计算摩擦力时从来不考虑电磁力的问题，研究质点的重力时也不考虑万有引力.赵凯华认为：“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的.因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性.

例2一个质点静止在水平地面上，在地面上的观察者看来，质点的动能和势能都不变，机械能守恒；在相对于地面匀速运动的电梯里的观察者看来，质点的动能不变，支持力和重力同时做功，两个力做功之和为0，重力势能的减少量等于支持力势能的增加量，因此势能也不会发生变化，机械能也守恒，满足力学相对性原理.如果把支持力当做外力，在电梯系支持力做功，机械能增加，能量来自哪里？这样就不满足力学相对性原理了.

例3地面上有两堵相互平行的刚性墙沿南北方向，其间有一刚性小球沿东西方向因与墙的碰撞来回运动.地面上小球的机械能守恒，但在沿东西方向匀速运动的小车上看，小球机械能不守恒.

错误分析：在小车上看，小球的速度等于地面的速度（-V）加小球相对于地面的速度（一会儿是W与墙碰后是-w）.所以在小车上看，小球的速度是—V+W，或-V-W.显然小球动能在跳跃式来回变化，机械能不守恒.

正确解答：在这里由于是弹性碰撞，弹力做功没有产生热能，也应该视为保守力.在地面系看来是弹性碰撞，应该理解为小球在压缩过程和还原过程中位移大小相等，平均力的大小不变，因此动能不变.在压缩过程中动能转化为势能，在还原过程中势能转化为动能.如果在地面系选择起始时刻势能为0的话，在地面系看来除非碰撞过程外，势能始终为0.

在小车系看来，小球在压缩过程和还原过程中位移大小不再相等，平均力的大小不变，因此增加的势能转化为动能，或者减少的动能转化为势能.从上面的分析可以看出弹性碰撞不能视为完全不能形变的质点，否则会造成矛盾.此时可以认为是若干个受弹力作用的质点，每一个质点都受到保守力的作用，所以其机械能守恒，进一步得出整体的机械能守恒.东西墙各安装一弹簧令小球在两弹簧间运动.假定系统没有非保守力作用，机械能守恒定律在各惯性系都成立.从上面的分析可以看出真正的弹性碰撞并不存在，实验中是近似弹性碰撞，此时组成物体的各个微粒能量不变，通过赝功完全转化为物体的能量，是理想化模型.

七、区分矢量力学的势能和分析力学中的势能概念

分析力学与矢量力学前者以几何方法（矢量的运算）为基础，当然也要用微积分、微分方程等数学工具，后者采用更多数学分析的方法.

    分析力学便于处理更复杂的力学问题，特别是系统具有各种比较复杂的约束的情形.

分析力学能用统一的形式表达各种具体情形下的力学规律，因而便于阐述力学的普遍理. 分析力学侧重于能量（而矢量力学侧重于力），因此分析力学的方法便于推广，对于物理学其他领域的理论，也有重要的意义，特别是对量子力学的建立与发展起了重要的作用.

经典力学理论从牛顿形式发展为拉格朗日形式，在思想观念上的创新主要有二：一是在运动学意义上用“独立”坐标取代了牛顿理论中为表示一个力学体系中的每个质点的位置所需要的坐标，后者的数量可能比前者少得多，这样可使动力学方程的数目减少很多，使数学方程变得容易求解.

在经典力学的牛顿理论和拉格朗日理论中，一个力学体系仅知道其在时刻t时的位形（坐标q )，它以后的运动规律并不能确定下来，只有同时知道其速度，这个力学体系以后的运动情况才能完全确定下来.但在牛顿理论和拉格朗日理论中，坐标和速度的关系是确定了的.而在哈密顿理论中，如上所述，坐标和动量是独立的.这相当于在拉格朗日理论中，一个“自由度”为s的力学体系，到了哈密顿理论中，它的自由度翻倍变成了2s.任何事物，自由度越大，越可有所作为.经典力学哈密顿理论的优越性，它能越出力学范畴应用于其他领域，包括量子力学在内，其原因都可归结为此.拉格朗日函数具有不确定性，是客观存在的.但拉格朗日理论和哈密顿理论，对这一性质采取了完全不同的态度.前者认为，一个力学体系既然可以有无数多个等效的拉格朗日函数，在力学意义上所得到的结论完全一样，那就任意选取一个就行了.哈密顿理论则充分利用了拉格朗日函数具有不确定性这个特性，将体系的理论上的“自由度”翻倍，打开了物理学理论的一条新通道，使力学理论能应用于整个物理学领域.

假设一个质点受到的合力为保守力，根据牛顿第二定律可知f=，        (1.9)

两边点乘dr，=d(m)                                              (1.10)

引入动能和势能的表达式E_k=m，=-fdr，则式（1.10）变为dE_k+dE_p=0       （1.11）

从上面机械能守恒定律的推导可以看出，机械能守恒定律中的保守力是指保守力的合力，因为牛顿第二定律中的力也是指合外力.由于牛顿第二定律只研究质点，因此机械能守恒定律也是只考虑质点，是质点动力学规律.

考虑了势能就不能再计算保守力的功了，严格讲斜面和单摆问题中的机械能不是重力机械能问题，因为此时质点受到的合力不等于重力，不过在相对于斜面和单摆悬挂点静止的坐标系里计算的结果和重力机械能计算结果相同，因为另外一个保守力不做功^[24～25]（因此很多人误认为是重力机械能问题），但是在相对于该坐标系匀速运动的坐标系里这个保守力做功，同时改变了质点的动能和势能，不改变质点的机械能，因此分析力学从能量角度研究完整、理想、双侧束问题，计算机械能时不考虑约束反力，虚功原理在所有的惯性系里都成立.其实在非惯性系里约束力也不能改变系统的机械能，只能同时改变动能和势能，因此虚功原理在非惯性系也成立.

设约束不可解（即双面约束），某力系在个几何约束下处于平衡状态.对体系中任一质点，设有主动力合力及约束反力合力作用其上，则因处于平衡状态，故此时必有

现让每一质点自它的平衡位置发生一虚位移，则由上式得

对上式中的各式求和，得

若为理想约束，约束反力不改变机械能，即，这正是上式左边第二项，故若力系处于平衡状态，则其平衡条件为

或

反之也可证明，当上式对任意都成立时，系统在约束所允许的位置必保持平衡.可见此式表明，受有理想约束的力系平衡的充要条件是此力系诸主动力在任意虚位移上所做的元功之和为0.此即虚功原理，也称虚位移原理，还称为静力学的普遍方程.（虚功原理是力学体系呈平衡状态的一般判据，它是一个关于平衡的原理，是机械能守恒定律的一种表现形式）.光滑约束中的约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的惯性系了^[22].

设质点系由n个质点组成，应用达朗贝尔原理，第i个质点的惯性力，则作用该质点的主动力、约束力、惯性力构成平衡力系.其平衡方程为

质点系受到理想、双侧约束时，依据虚位移原理有

若质点系受的理想约束，即，则或者称为动力学普遍方程，也称为达朗贝尔—拉格朗日方程.它表明：具有完整、理想、双侧束的质点系在运动的任一瞬时，作用在质点系上的主动力和惯性力在任一组虚位移中所作的元功之和为零.它建立了质点系动力学问题的普遍规律，特别是对于非自由质点系来说，在求解时不必考虑未知的约束力，只需研究主动力，从而大大地简化了计算过程.

在弹簧振子(单摆)问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑弹簧（摆线）质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能. 一维弹簧振子的哈密顿量，正则方程为:

，，其中即动量的定义，而是一维简谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义.牛顿第二定律是从合力角度进行分析，而机械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密顿正则方程则是从能量角度出发.哈密顿变分原理则为更为普遍的力学原理，通过对其变分可以推导出拉格朗日方程、哈密顿正则方程以及运动微分方程.矢量力学的机械能守恒定律中的势能对应于所有的有势力，包括主动力和约束反力，而分析力学中的拉格朗日函数或哈密顿函数中的势能只对应于广义力，广义力只包含主动力，故两种势能不同.分析力学中的哈密顿函数H的守恒原理，在非稳定的约束情况下，H=-+V并非机械能，成为广义的能量，只有在稳定的约束情况下，H=T+V才是机械能.故矢量力学的机械能守恒定律要求有势能，而哈密顿函数的守恒原理要求H不显含t且为稳定约束，它们是从不同角度讨论机械能守恒的.对于主动力是保守力的力学体系，分析力学注重的物理量是能量，从数学上讲，处理对象从矢量转变为标量，处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法.在处理束缚体系时，由于拉格朗日方程中不含约束反力，避免了约束反力引起的麻烦.所以分析力学方法在处理力学体系运动问题时显示出了很大的优越性.牛顿力学方法面对的物理量是矢量，借助几何图形，解题思路明确、清晰，既可求出运动规律，也能求出约束反力，但对于多约束的力学体系，此方法会陷入困境.分析力学方法面对的物理量是标量，采用数学分析的方法，此方法具有更高的概括性和统一性，较牛顿力学方法有一定的优越性.从理论上看，牛顿力学是从物体受力的角度导出其动力学方程的，分析力学则是从能量的角度来导出其动力学方程的.力仅是力学范围内的一个物理量，而能量则是整个物理学的一个基本物理量，这就使拉格朗日方程成为了力学和物理学其他分支相互联系的桥梁，所以分析力学方法具有更高的概括性和统一性，它使得经典力学的理论体系更加严谨，它代表了经典力学的重大发展.

八、内势能与外势能的关系

1.利用内势能计算的局限性

由于有人怀疑引入外势能概念的必要性，认为势能属于系统，从两体问题的角度分析，导致了机械能守恒定律不满足力学相对性原理的结论.如果全部按照内势能计算具有很大的局限性，下面以重力势能为例分析一下这个问题.

由于研究重力机械能守恒定律时不考虑地球的公转、自转和体积大小因素的影响，为了研究问题的方便，设地球(视为质点，下同)质量为M，物体的质量为m，忽略其它力（在这里仅从理论上推导机械能守恒定律，生产实践和科学实验中还要考虑其它因素）.

下面我们先从两体角度(内势能)出发分析自由落体问题，由于把自由落体问题看作两体问题，需要考虑地球受到物体（视为质点）微弱的作用力，因此地球和物体都不是严格的惯性系，但是系统的质心确实严格的惯性系，因此我们设地球与物体组成系统的质心为A点.

M______A________m

设地球与物体之间的作用力恒为mg，距离为h，地球移动的距离为h₁，由于系统受到的合外力为0，因此根据牛顿第一定律，初始状态地球与物体相对于A点静止，系统的势能为mgh，设到达A点物体的速度为v_2，则由运动学得v₁²=2g(h-h₁)，v₂²=2_mgh₁/M，地球移动距离为h_1，此时系统的动能之和为Mv₂²+mv₁²=m.2g(h-h₁)+M.2mgh₁/M=mg(h-h₁)+mgh₁=mgh.

上面的推导得出的结论与以地球为参照系得出的结论一致，事实上当时是把地球质量认为无穷大，以地球为参照系得出的，严格上讲是近似规律，因为根据动量守恒定律可以得出Mh₁=m(h-h₁)，h₁=mh/(M+m)，此时以地球为观察者物体的运动速度大小为v₁+v₂=

  ，这一结论也可以利用折合质量计算得出，以地球为参照系，物体的折合质量为，以地球为参照系物体下落到地面的速度为，折合质量的计算更简洁一些.

与以地球为参照系得出的速度大小不相等，实际上当M视为无穷大时上式等号成立，这也符合唯物辩证法的量变质变规律，也符合玻尔提出的对应原理.

从这里可以看出自由落体运动的计算得出的也是近似值.设f(m)=，显然是关于m的增函数，在牛顿力学里以地球为参照系物体下落的速度确实与物体的质量有关，质量越大下落越快，但并不是亚里士多德所说的下落速度与质量成正比.这个结果可以给出一个直觉解释，随着物体质量的增加，地球的加速度也在不断增加，时间也会逐渐缩短.由于一般物体的质量较小，系统相对误差较小，在实验中无法发现，通过上式可以把实验结果与计算数据进行矫正，只要v_实验值=v_理论值，即可以说实验是完全成功的.由于地球的质量巨大，上述的分析只具有理论意义，系统误差不仅远远小于空气阻力的影响，也远远小于重力加速度的变化产生的影响，甚至小于质点由于运动引起的狭义相对论效应，生产实践和科学实验中可以不予考虑，而且由于不知道地球的具体质量，按照内势能计算复杂、误差会更大.

类比于上面的分析平抛运动、斜抛运动等物体在重力场中的运动规律也是近似规律，但是系统相对误差极小，生产实践中可以不予考虑.下面推导其系统相对误差的大小：

由上面的推导可知，mv₁=Mv₂，v₂=mv₁/M.在物理学中把与观察者（或参照系）实际同一的速度为牵连速度，此时需要考虑到牵连速度.以地球为参照系物体到达A点时系统的机械能为物体的动能m(v₁+v₂)²=m（v₁+mv₁/M）²=mv₁²(1+m/M)²，开始时的机械能为mgh=mv₁²+Mv₂²=mv₁²+M（mv₁/M）²=mv₁²(1+m/M)，系统误差为mv₁²(1+m/M)²-mv₁²(1+m/M)=mv₁²(1+m/M)m/M=mgh.m/M=m/M.mgh.      

系统相对误差为m/M，由于一般物体的质量与地球质量相去甚远，所以系统相对误差较小.当把地球质量视为充分大时，此时机械能守恒定律称为落体机械能守恒定律，此时物体的势能称为外势能，系统相对误差为0.文献[35]已经分析了关于外势能的重力机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性（解决这个问题的关键在于重力势能的零点相对于观察者不变）.这个问题也可以利用折合质量解决.

有人是在地球质量为充分大的前提下以地球或者以相对于地球匀速运动的物体为参照系机械能守恒定律严格成立，此时机械能守恒定律满足力学相对性原理的，系统的质心与地球的质心认为重合，这样才具有可操作性.

2.内势能与外势能的转化问题

根据经典力学星体的运行问题应该按照两体问题解决，质量应该用它们的折合质量（约化质量）代替.太阳系的质心与太阳自身的质心并不重合，因而太阳的公转中心不是太阳自身的质心，而是绕太阳系的质心的偏心摆动式的自转，就像地球绕月地系统的质心的偏心摆动式的自转一样.

如果星体B绕星体A运行的轨道是严格的椭圆，以星体A为参照系机械能是守恒的，下面推导一下：在极坐标中………（1），………（2），其中、分别表示径向速度和横向速度.由于两个星体都做加速运动，因此星体B应当用它的折合质量（约化质量）.

由椭圆方程得：，两边对时间求导，

有：，整理可得：…………………………（3）

星体B运动的速度为：

即：…………………………………………（4），这个结果中只有是变量，其它都是常数，特别是为常数.这表明：时，v是增函数，v随的减小而增大；时，v是减函数，v随的增大而减小.实际上，由于，所以上面的结果也可以用r来说明：时，v是增函数，v随r的减小而增大；时，v是减函数，v随r的增大而减小.由动能的表达式及（4）式可知：……………………………………………（5）

椭圆面积：……………………………………………………………（6），

其中a、b分别表示椭圆的长轴和短轴，对椭圆方程来说，当时，………………………………………………………………………………（7），

当时，………………………………………………………………（8）

如图1所示，用红色的线段来表示，用绿色的线段来表示.可知：…………………………………………………………………………………（9）

由（7）（8）（9）可得：…………………（10），…………………………………（11）

将（10）（11）式代入（6）式可知：……………………（12）

掠面速度，从而有：…………………（13）

将（13）式代入（5）可知：

上式中最后一个因子出现在Kepler第三定律中，我们知道，它是一个常数(高斯常数应修正为G(M+m))，在这里我们用k来表示这个值.

有：…………………（14），另外，由，代入（14）式有：……………………（15）

我们采用传统的方法规定零势能点，即规定无穷远处势能为零.有：

……………………（16），将代入上式可得：………………（17），由（14）（17）两式可得星体B运动中的机械能总量.

即……………（18）.这个结果说明，星体B运动过程中机械能守恒.

也可以这样推导，由式出发，将等式两侧点乘相对位移，对于两体问题有，

积分上式有，上式中A应理解为一对内力做功之和，其理由如下：对于某一参照系，一对内力做功之和为.

这表明：从任何参照系去计算一对内力做功之和，其结果都可表示为“相对动能”的增量.

若系统中的内力为保守力，根据势能定理有，代入可得，这是两体系统中的机械能守恒.

将这个定理应用于两体行星运动问题中，内力为万有引力，是保守力.根据引力势能的定义，有.

记m＝＋，则上式可写成，中只出现相对位置和相对速度，应用它分析天体的相对运动是十分方便的.折合质量（约化质量）的观点正符合马赫哲学的观点，马赫曾经指出：“质量的真正定义只能从物体间的动力学关系推演出来.不仅惯性力与周围物质的存在和行为有关，物体本身的惯性也并非物体的固有属性，而是源于宇宙中所有其它物质的存在.”

3.内势能与外势能的关系

为了建立这个理论，第一步要做的事情是建立模型，此时常用理想模型法.常见的如质点、理想气体、点电荷、电流元、理想流体、夸克等等.显然这些模型都是极端理想化的，往往实际并不存在，是同一类研究对象中最能体现共同本质，而又最简单的代表，或者是采用还原论的想法，人为构造出来的理想对象，显然，理想模型法是对实际对象的一种近似法.比如理想气体假设分子间没有相互作用，只有无规则热运动，这显然是研究热现象的最理想对象，而电流元、夸克是用还原论的方法构造的理想模型.当然构造模型时除了用极端简单的理想条件，一定还会有其他如类比、抽象等方法.

在重力势能问题中由于一般物体的质量与地球质量相去甚远，可以把地球质量视为无穷大，这样以地球为参照系，物体的折合质量就是物体本身的质量，从这个角度出发也可以得出重力势能为外势能.玻尔就曾说：“我们描述自然的目的不在于揭露自然现象的真实本质，而只是要尽一切可能地找出我们各种(关于自然的)经验之间的关系.^[26]当你寻求生活的和谐时，你必须永远不要忘记，在生存的戏剧中我们自己既是演员又是观众.”

文献[27]正确分析了功能原理、内势能和外势能的关系以及机械能守恒的条件，文献[28]利用内势能计算斜面问题此时地面系和小车系都是非惯性系，需要计算惯性力做功的问题.外势能的机械能守恒定律也满足力学相对性原理^[29]，不过此时势能与观察者有关^[30]，动能也与观察者有关，对于不同惯性系中的观察者机械能（力学能）都是守恒的，只不过守恒量不相同.在研究机械能守恒定律与力学相对性原理之间的关系一定注意要么都按照内势能计算，要么都按照外势能计算，惯性系选取时前者必须以系统的质心为参照系，后者以质量相对极大的物体为参照系，一定做到自洽.至于在实际问题中选择内势能还是外势能计算，根据研究问题精度的要求进行，二者有着明显的区别，量变引起质变.文献[31]指出系统的机械能可以表示为本质不同的两项之和：依赖于速度的动能和仅仅依赖于质点坐标的势能.外势能并没有否定内势能，只是某些情况下内势能不具有可操作性，利用外势能计算简便，可操作性强，这只是一种数学计算技巧而已.

4.不同惯性系机械能守恒量之间的关系

机械能也是相对的，两坐标系“守恒量”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加mu² -mu.v₀，其中v₀为t=0时静止系测量的质点初速度（因为在原点处势能相等，动能之差等于mu² -mu.v₀，在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为mu² -mu.v₀）.例如在光滑水平面上一个质点从原点出发沿着x轴正半轴匀速运动，速度为v，一辆小车沿着与x轴成30⁰角从原点出发，速度为u，他测量质点的动能为E₁，另一辆小车从原点出发沿着y轴正半轴匀速运动，速度为u，他测量的动能为E₂，显然E₁不等于E₂，势能都没有变化，因此机械能也不相等.在自由落体运动中，选择地面为原点，同时也是势能零点，一辆小车水平运动，一部电梯竖直运动，速度大小相等，测量机械能显然不相等.）；运动系的速度不变，势能零点不同也可以，机械能之差不等于mu²，但是此时机械能也是守恒的；运动系的速度不变，势能零点相同，时间原点不同得出机械能还是守恒，机械能之差不变，因为能量守恒是时间均匀性的一种反映^[15].

九、注意区分力学相对性原理和狭义相对论性原理

严格地说，相对性原理有三个：力学相对性原理、狭义相对性原理、广义相对性原理.这三者之间不是并立的关系，而是逐层包含的关系.爱因斯坦为了创立狭义相对论的需要，把伽利略相对性原理的适用范畴，从力学扩展到了全部物理学，他定义：“自然规律在所有惯性系中具有相同的形式.这个定理称为‘狭义相对性原理’.”据费曼考证：“从历史上看，相对性原理是在麦克斯韦方程组之后才发现的.事实上，正是对于电和磁的研究才最后导致爱因斯坦对相对性原理的发现.”19世纪后半叶，光速的精确测定为光速的不变性提供了一定的实验依据.同时麦克斯韦建立了一套能完美描述电磁学基本定律的理论——麦克斯韦方程组.由麦克斯韦方程组可导出真空中电磁波的传播速度c=1/，其中的真空电容率ε₀和真空磁导率μ₀均是基本物理常量，都是普适的.因此，真空中电磁波的传播速度c当然也是一个普适常量.过去并不知道这个常量c就是光速.但“从数值上看，这个常量c与已测得的光速吻合得相当好，由此麦克斯韦得出这样的结论，光也是一种电磁波，c就是光在真空中的传播速度，……赫兹等人所做的大量实验事实从各方面证实了光确是一种电磁波.”这就意味着光速亦是一个普适常量.爱因斯坦把“光（在真空中）的速度c是恒定的”，“提升”为光的传播定律.爱因斯坦说：“谁会想到这个简单的定律竟会使思想周密的物理学家陷入智力上的极大的困难呢？”爱因斯坦指出：如果沿着路基发出一道光线，假定车厢以速度v在路轨上行驶，其方向与光线的方向相同，根据经典力学中的速度相加定理，光线相对于车厢的速度将等于c-v，这就出现了光速小于c的情况，这个结果，“与相对性原理是严重抵触的！因为，根据相对性原理，真空中光的传播定律，就象所有其他普遍的自然界定律一样，不论以车厢作为参考物体还是以路轨作为参考物体，都必须是一样的.”而且物理学家们还知道，“在电磁学里，无论速度多么低，伽利略变换都不适用”！因此1905年前后物理学家们普遍认为，麦克斯韦方程组（包括光的传播定律）与相对性原理是严重抵触的.因此这相抵触的二者，必有一错！那么应该是保留麦克斯韦方程组，还是保留相对性原理呢？一般都认为，当然应该保留相对性原理，因为大家都有“舟行而人不觉”的切身经验.让人意外的是，爱因斯坦却力排众议，坚决主张：麦克斯韦方程组和相对性原理，这两者均应保留！后人普遍赞叹，这正是爱因斯坦的非凡、伟大之处.

爱因斯坦为了创立广义相对论的需要，又把仅适用于“惯性系”的狭义相对性原理，扩展到了适用于任何参考系，称为广义相对性原理：“一切参考系都是平权的，物理定律在任何坐标系下形式都不变，即具有广义协变性.”按照一般理解，相对性原理对物理方程所提出的要求(或所加的限制)就是协变性要求(限制).力学相对性原理要求力学定律对于伽利略变换是协变的，即经伽利略变换形式不变.狭义相对性原理要求物理定律对于洛伦兹变换是协变的，即经洛伦兹变换形式不变，因此可以说相对性原理就是协变性要求，若某定律服从相对性原理就说它满足协变性要求.要区分的不是相对性原理和协变性，而是伽利略协变性和洛伦兹协变性，即不能把力学相对性原理和狭义相对性原理混为一谈.机械能守恒定律满足伽利略协变性不满足洛伦兹协变性，或者说它满足力学相对性原理不满足狭义相对性原理.从历史上看，把相对性原理简称为协变性要求是从狭义相对论开始的.后来人们干脆把相对性原理称为协变性原理[29].在参考系变换下方程形式不变的性质称为协变性，力学相对性原理要求一切惯性参考系都是等价的，在不同的惯性系中，物理规律应该表示为相同的形式.如果表示物理规律的方程是协变的话，它就满足相对性原理的要求.有些人认为物理方程满足相对性原理，但是可以不具有单独的协变性，是完全错误的^[33～36].由麦克斯韦方程组导出的自由电磁波波动方程曾经引起物理学界的极大困惑，原因之一是当时人们普遍认为：在相对于以太介质静止的惯性系（有时简称为以太惯性系中），麦克斯韦方程（及其导出的电磁波波动方程等）是成立的，电磁波在真空中沿各个方向的传播速度都等于恒量C，那么在相对于以太运动的惯性系中情况会怎样呢？伽利略变换不能解决这个问题，于是人们认为存在对于经典电磁学的最优惯性系，最后爱因斯坦提出狭义相对论的两条基本原理——相对性原理和光速不变原理，证明经典电磁学“在这个惯性系中满足条件，必在其他惯性系中也满足条件”，才解决了这一危机.若按朱如曾研究员的观点，这一切岂非大可不必，只要说明由麦克斯韦方程组导出的自由电磁波波动方程不具有单独协变性即可.

由于牛顿运动定律具有伽利略变换的协变性，从一个惯性参照系转换到另一个惯性参照系，牛顿运动定律的形式保持不变.以牛顿运动定律为基础，加上其他条件，可以建立矢量力学的全部理论体系.在不同的惯性参照系中所加上的其他条件，我们可以使之相类似；于是矢量力学的全部理论体系，在所有的惯性参照系都是相同的，这便是矢量力学中的伽利略相对性原理.伽利略相对性原理与狭义相对论的相对性原理二者相同之处在于都认为，对于力学规律一切惯性系都是等价的．即无法用力学实验证明一个惯性系是静止的还是做匀速直线运动．所不同之处在于伽利略相对性原理仅限于力学规律，而狭义相对论的相对性原理则指出，对于所有的物理规律（不仅仅力学），一切惯性系都是等价的．

赵凯华的书中写到：用现代的术语来概括，伽利略相对性原理可表示为：一个对于惯性系做匀速直线运动的其他参照系，其内部发生的一切物理过程，都不受到系统作为整体的匀速直线运动的影响．或者说，不可能在惯性系内部进行任何物理实验来确定该系统做匀速直线运动的速度．

一切物体都在时空中运动，在相应的尺度、条件下都是粒子，形成相应的封闭系统.研究各种封闭系统内各相应粒子的各维矢量的物理、数学特性和运动规律就是最基础的科学研究.爱因斯坦要求“相对时空”里的“相对性原理”是无特殊参考系的，所以“洛伦兹变换”无特殊参考系.而“绝对时空”里同样有“运动规律在所有参考系里都有相同的形式”、“物理规律的公式形式与坐标系无关”的规律，所以“绝对时空”里同样有“（伽利略）相对性原理”，无特殊参考系的“伽利略变换”是其数学形式.爱因斯坦讲：“物理书都充满了复杂的数学公式，可是思想及理念，而非公式，才是每一物理理论的开端.”在相对论体系中，参考系的概念有了质的变化，我们失去了那个永恒不变的背景.在经典的观念下，描述一个物理量需要建立它在所在时空的因果关系，而建立这样的关系需要参考系参数的描述.但是现在，建立一个全空间恒定的参考系已不再可能.在“场”的概念下，物理客体的分布和它们的演化过程改变着局部的和整体的时空结构，时空不能再作为一个不变的、不受物理过程影响的形而上的背景存在，我们需要建立跟随整个时空变化的局部的参考系.这个局部建立的参考系随着物理过程的变化也在不断地变化，而物理过程的变化则被这种局部参考系的变化所反映.所以局部的物理性质的问题就转化成为在时空整体上描述局部参考系的几何度规问题.

“绝对时空”里的力学、电磁学等一切公式形式只有满足“伽利略变换”才能在“绝对时空”里自洽，这从另一方面证明“伽利略变换”就是“绝对时空”里无特殊参考系的“（伽利略）相对性原理”的数学形式.因此，“绝对时空”与“相对时空”里都有各自对应的“相对性原理”，它们都是各自时空里的“运动规律在所有参考系里都有相同的形式”、“物理规律的公式形式与坐标系无关”理论，只是各自对应的数学形式不一样；所以两个时空有本质的区别.

力学相对性原理是对于绝对时空而言，绝对时间就是两个惯性系时间相同，绝对空间就是力场不变和长度、时间具有伽利略变换的不变性（具有相同的时空背景），伽利略变换通过研究质点速度和位移的变换研究动力学规律的变换，力的坐标不能随着观察者的运动而变化，这一点与狭义相对论中的相对性原理不同，狭义相对论的核心洛伦兹变换是建立在时空间隔不变的基础上的^[37]，否则可能把不显含时间的力变成显含时间的力，从而力就不是伽利略变换的不变量（例如当把弹簧振子固定在墙上时，在小车系看来不考虑墙的运动，墙与弹簧形成一个场.），有人认为d就是出现了这样的错误，按照这个思路计算动能定理也不满足伽利略变换，显然是错误的.矢量力学只研究实物粒子，不研究力场的分布.势能是用保守力的随体功之和定义，不能利用等时积分计算，此时力就不是伽利略变换的不变量.文献[38]的计算方法是完全错误的.文献[39]也是由于没有正确区分伽利略变换和洛伦兹变换，质点成了在相对空间里运动，利用等时积分得出了“弹性力在惯性系S中为保守力，在惯性系S′系却不是保守力，因而在惯性系S中可以引入势能，而在S′系却不能引入势能.”绝对时空观就是时间和空间没有关系，两个惯性系时间相同，空间不变——场的坐标不变.既然不能引入势能，那是何种形式的能量？类似地在固有参照系声波在静止介质中传播，在运动惯性系仍然是声波在静止介质中传播，不能认为在运动惯性系声波变成在运动介质中传播.

由于矢量力学适用于绝对时空，因此场或者力的坐标必须是相对于力源静止坐标系里的坐标(因此力是伽利略变换的不变量包括力场的性质不变)，质点坐标是观察者坐标系里的坐标，这一点和相对论不同，在相对论中场的坐标和质点坐标都是观察者坐标系里的坐标，伽利略变换和洛伦兹变换在这一点上是有区别的，不能仅仅看做是洛伦兹变换的低速近似，伽利略变换只研究质点坐标，不研究场（或者力）的坐标.朗道的书《力学》中说，在惯性参考系中自由运动的质点，由于时间和空间的均匀性和各向同性，表征它所用的拉格朗日函数不显含时间和广义坐标和速度的方向.

保守力利用环路积分为0定义，注意这里的环路积分是对于同一个坐标系而言，而不是同一个参照系.参照系和坐标系有时是相同的，有时可以不同.

例4在一个相对于地面匀速运动的传送带上放一块小木块，小木块在滑动摩擦力的作用下，从皮带的A点向后运动到B点，然后和皮带一起运动一段距离，在某一个时刻皮带突然停止，小木块由于惯性向前运动，在滑动摩擦力的作用下从B点运动到A点，如果以皮带为参照系，小木块受到摩擦力的环路积分为0，滑动摩擦力成为了保守力.可是小木块的动能不变，内能增加，能量守恒定律不成立.在这里问题的症结在于皮带这个参照系其实代表两个惯性系，开始时相对于地面匀速运动，后来相对于地面静止，其实对于其中任何一个惯性系小木块都没有形成环路.在这里参照系和惯性系不是一回事，这个问题搞不明白，容易出错，把耗散力变成保守力，也可以把保守力变成非保守力.

在四维时空里，质量（或能量）实际是四维动量的第四维分量，动量是描述物质运动的量，因此质量与运动状态有关就是理所当然的了.在四维时空里，动量和能量实现了统一，称为能量动量四矢.

十、分清主要因素与次要因素之间的关系

在实验过程中，影响实验结果的因素有很多，我们必须抓住主要矛盾，以自由落体运动为例说明.在实验过程中存在空气阻力，不仅在竖直方向存在，而且在水平方向空气的流动对于实验的结果都有影响，而且影响结果并非极小，由于自转的影响，落体还有微弱的偏东现象，电梯的顶端和底端重力加速度还有微弱的变化，实验室周围汽车的行驶等都对于实验的结果存在变化，但是我们在这里仅仅是理论分析，忽略这些因素，有些因素影响极小我们根本测量不出来.在其他实验中也存在类似问题，例如无质量的弹簧我们根本做不出来，单摆的摆线不可能没有质量，也并不是绝对不能伸长.上面谈及的这些因素显然远远大于实验过程中对于地球能量的变化对于实验结果的影响，所以在分析过程中也应该忽略这些影响，这是理想化模型，无论是地面系还是电梯系（或者小车系）看做严格的惯性系，不能看做两体问题，按照非惯性系处理.根据唯物辩证法的观点我们应该抓主要矛盾，不能甲做自由落体实验地面系是非惯性系，乙做弹簧振子实验地面系是惯性系.当初牛顿也是在忽略这些次要因素的前提下建立经典力学体系的，今天我们仍然可以忽略这些次要因素.在非惯性系中研究机械能守恒问题与力学相对性原理无关，力学相对性原理仅仅针对惯性系而言.笔者建议力学教材明确指明，对于自由落体运动、单摆、弹簧振子等这样简单的力学实验，地球的质量视为充分大，稳定地保持为惯性系，因为系统误差我们根本测量不出来.

   明确研究问题时常用主次法，就是常说的抓主要矛盾.挑选到简单的研究对象后，其物理性质往往是非常丰富的，一个最简单的质点，其最基本属性是运动，以及由于运动带来的能量、动量、角动量等属性，这个质点有可能还带电，这样又涉及电性质，而带电电荷运动还涉及磁性质，如果质点再碰上光子散射，可能又涉及光性质，质点在流体中运动，又有流体问题.所以在研究时不得不明确自己的研究问题，即挑选出最想研究的性质，比如如果我们只关心质点的运动性质，那么就不要把电、磁、光、流体等其他性质牵扯进来，通常情况下这种性质也是同一类物体的共同性质.这样的方法可以简单地称为主次法，这种方法一方面简化了问题的复杂度，另一方面不可避免地会带来近似，因为暂时丢弃了一些次要因素.

十一、孤立系统、开放系统和相对性原理

根据现代物理学的观点，系统分为三类：开放系统（系统与外界之间既有物质交换，又有能量交换.）、封闭系统（系统与外界之间没有物质交换，只有能量交换.）、孤立系统（系统与外界之间既没有物质交换，也没有能量交换.）.在任何孤立系统内，经典物理学的相对性原理都成立，能量、动量也都守恒.有人认为孤立系统内伽利略变换后，能量就不守恒，就是弄错了变换的概念和计算.但是以上经典物理学的相对性原理都仍然成立，相对性原理对于开放系统和孤立系统都成立.例如对于“一个在地面附近自由下落的质点相对地面是孤立系统.在相对于地面匀速上升的电梯中观察者看来，应该仍然被视为是那个孤立系统”.因为这种情况只是经相对于地面匀速上升电梯的一个惯性牵引运动的变换后，从地面的参考系(坐标系)变换到了电梯的参考系(坐标系)，并未加入孤立系统外的任何粒子与其内各粒子不可忽略的相互作用，当然该系统的能量、动量等等都仍然守恒！

系统的开放与孤立具有相对性，以自由落体运动为例，在地面系和相对于地面匀速上升的电梯系，按照内场计算是开放系统（考虑地球能量的变化），按照外场计算是孤立系统（忽略地球能量的变化）.按照外场计算，若只考虑质点的动能，则为开放系统——重力场对质点做功；若考虑质点的机械能，则为孤立系统.考虑了质点的势能，就不能考虑考虑保守力的功.再例如固定在地面的斜面上自由下滑的滑块，若按照重力机械能计算，则为开放系统（在小车系看来斜面支持力做功）；若按照机械能守恒计算则为孤立系统.单摆问题类似，不再说明.弹簧摆按照机械能计算是孤立系统，按照重力机械能计算或者弹力机械能是开放系统.弹簧振子固定在地面上，就组成孤立系统，不包括地球.文献[40]对于开放系统和孤立系统的理解是错误的，孤立系统的拉格朗日函数一定不是显含时间的.

十二.平动与转动的类比

中国科学院物理所曹泽贤教授写的《万物皆旋》，说“平动是平凡的，而转动则花样翻新、名目繁多.如果细究起来，处理转动问题的数学足以让大部分号称学过数学和物理的人后悔自己的年少轻狂”. 旋转是自然界最基本的运动形式，大到星球﹑星系，小到电子﹑质子，都在不停地旋转（自旋，进动等等）.众所周知：定轴转动的线速度和角速度以及径向距离r之间的关系为：v=rω.因此，任何转动（无论角速度ω多大或多小）都存在一个对应的径向距离r_c，此距离处线速度达到光速：r_cω=c=3×10⁸m/s.我们称此径向距离为临界半径.到转轴的径向距离为临界半径的所有点集合成了一个无限长的圆柱面，称为临界筒.比如，地球自转一周的时间为24小时，对应的临界半径约为4.13×10¹²米，差不多是光在3.82小时里传过的距离.而质子和电子自旋的临界半径则分别在10^-15米和10^-18米的量级上.学界认为：临界筒之外线速度将超光速，而超光速是不可能的，从而一再强调基本粒子的自旋不是定轴转动，角动量和自旋磁矩都是内禀的， 继而放弃了对临界筒外域自然规律的研究.

例5

图2

图（2）中，弹簧右端连接到半径为R的均质圆盘中心，圆盘在地面上纯滚动.在纯滚动的约束条件下，这个系统只有一个自由度，圆盘转动的角速度与盘心C的速度()

关系为（21）

在地面参照系下，系统动能为                      (22)

其中为圆盘绕质心的转动惯量，对均质圆盘有，将这个关系和式(21)，代入式(22)得到.在地面参照系下，势能为

         在地面参照系下，纯滚动为理想约束，墙壁给弹簧施加的力也不做功，所以系统机械能守恒.如果我们将弹簧拉伸了长度A，然后将圆盘静止释放，那么系统机械能为.在振动过程中，机械能守恒的数学表现为(23)

对式(23)求导，可建立振动微分方程.考虑到初始速度为0，位移为A，该微分方程的解为                                                         (24)

式中为振动系统固有频率.

伽利略变换是平动变换，在这里有平动，也有转动，需要同时考虑平动动能和平动势能、转动势能（角动能）和转动动能（角势能）.

只有通过精心组织，才能汇聚起如此浩瀚庞大又扎实有据的真理，也和表述才能一样，将杂乱无章整理得井然有序的才能是一种富有创造性的才能，也许简直就是同一才能的不同侧面.从原先无数孤立现象的真理之中涌现了存在于它们之间关系的真理:用这种方式一个世界就创造出来了.

十三、重新认识机械能守恒的条件

机械能守恒定律成立的条件其实非常简单——只有保守力做功^{[15]、[27]、[40～42]}（笔者注：或者说不存在耗散力与显含时间的力），不用区分内力和外力，这是质点动力学问题，对于质点而言都是外力.

文献[43～44]都提及这样一个实例：用水平力拉一物体在粗糙的水平面做匀速运动，虽然摩擦力和拉力都做功，但由于做功之和为零，所以物体机械能仍然守恒，因此文献[45]提出：即使存在摩擦和介质阻力，即使物体还发生了动能和其他形式能问的转化，机械能也未必一定不守恒．其实这种观点是错误的，在这里水平拉力是一个恒力，假设没有摩擦力的存在，质点在拉力的作用下运动环路积分显然为0，是一个保守力，所以在这个实例中机械能不守恒，动能不变，拉力势能减少，内能增加，但是能量守恒，需要考虑内能.文献[43]提出这样一个实例：一匀质圆柱体从粗糙的斜面滚动下来(做无滑滚动)，在整个运动过程中，虽然受摩擦力的作用，但摩擦力并不做功，故整个过程机械能也守恒．实际上在这个过程中非保守力并没有做功，符合上面本文的观点.

例6一根轻绳跨国一个上端固定的轻质滑轮，此绳两端分别连接有两个重量不等的重物，在放开物体令其自由运动后，绳子的拉力对其下降的物体做负功，对上升的物体做正功，在整个过程中机械能并无损失，根据能量守恒定律，机械能守恒定律成立.但是如果把绳子拉力看做非保守力，对于上升的物体的机械能增加，对于下降的物体机械能减少，中间应该有内能的产生，显然是错误的.

现在力学教材中的功能原理是错误的，文献[44～47]已经指明这个问题，这里不再说明.下面给出一个一般的证明——由于两坐标系间有伽利略变换关系r=r^′+ut和v=v^′+u，把它们代入式（3）有dE_k=d（mv²）=d[m（v^′+u）²]=dE^′_k+                  （25）

dEp=-fdr=-fdr^′-=dE^′_p-                                       （26）

由此有dE_k+dE_p=dE_k^′+dE_p′=0                                                 (27)

或者简单证明如下——根据动能定理，设质点仅仅受到保守力的作用，质点从B点到A点的过程中保守力合力的功为W，W=E_k1-E_k0，E_k1是A点的动能，E_k0是B点的动能．根据势能定理，W=E_p0-E_p1，E_p1是A点的势能，E_p0是B点的势能．所以E_k1+E_p1=E_k0+E_p0．

以上两种方法都说明，在匀速运动的小车系或者电梯系，机械能也是守恒的.或者说机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，文献[33～35]和[48～52]的结论是完全错误的.

对于刚体而言，机械能守恒定律中的动能包括平动动能和转动动能[53]；对于理想流体而言，机械能守恒定律中的势能包括重力势能和压力势能.在非惯性系，当惯性力是保守力时，势能还包括惯性势能[54].在不引入惯性力、折合质量（约化质量）或者折合力的前提下，牛顿定律、动能定理和机械能守恒定律仅适用于宏观物体绝对时空观下的低速惯性系，对于非惯性系不成立，只能利用惯性系检验力学相对性原理.

牛顿定律满足伽利略变换是动能定理满足伽利略变换的充分条件，动能定理满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件，即牛顿定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件^[55].由于动能定理是标量方程，与牛顿第二定律并不等价，因此我们得不出必要条件.说得更本质一些，由于机械能守恒定律只与质点所受到保守力的合力有关系，而力是伽利略变换的不变量，所以机械能守恒定律满足力学相对性原理.机械能守恒定律成立的条件是非保守力为0，而力是伽利略变换的不变量，守恒条件具有协变性，所以机械能守恒定律具有单独的协变性.

从分析力学角度来看，人们根据式得出哈密顿动力学中的哈密顿函数守恒原理：如果，则有H=const，与矢量力学的结论完全一致，因为根据dEp=（-f）dr可知只有力场显含时间，势能才能显含时间，从而机械能显含时间.力场显含时间是指场的坐标含有时间参量t，r是指质点的坐标，含有时间参量t是必然的，通过坐标变换可以完全消去，不叫做显含时间.文献[12]认为如果，则有H=const，广义能量守恒，进一步如果是哈密顿函数等同于机械能的充要条件，笔者认为这个观点是错误的，坐标变换中的时间t不是显含时间，可以消去.广义能量就是机械能：如果，则有H=const是机械能守恒的充要条件.爱因斯坦认为：“普遍的自然规律是由那些对一切坐标系都有效的方程表示的.更简单的理论，涵盖更多不同的内容，具有广阔的应用，这才是令人信服的理论.”因为自然界本身是“统一的”、“简单的”、“和谐的”，而反映自然规律的理论体系与客观存在之间存在着主客观的对应关系，所以要求它的逻辑在基础上也必须是简单的.正如爱因斯坦所说:“逻辑简单的东西，当然不一定就是物理上真实的东西.但是，物理上真实的东西一定是逻辑上简单的东西.”

能量守恒定律是普遍规律，机械能守恒定律是能量守恒定律在机械运动中的表现形式，因此在经典力学范围内机械能守恒定律是普遍规律，这个问题在国际上也比较纠结^[56].

十四、地心说与日心说的再认识

1.地心说与日心说的回顾

哥白尼日心说的提出，主要是出于他的美学动力.他认为，一个科学理论要成立，必须符合以下两个条件：第一是这一理论必须比较圆满地解释自然现象.第二是必须符合当时倡导的毕达哥拉斯的美学原则，即天体运动的轨迹是匀速圆周运动.正是基于这一原则，他大胆摒弃了托勒密地心说中繁琐的、不美的东西，出版了他的划时代巨著《天体运动论》.他在书中指出，天文学的研究对象最纯洁、最美好、最有意义的问题.无论是研究宇庙的旋转、天体的运动，还是研究天体的大小，天体相互之间距离的变化，都可以使人得到一种美的享受.哥自尼的日心说具有无与伦比的对称性和一致性，充分显示了毕达哥拉斯科学美学思想的魅力.在哥白尼日心说与托勒密地心说之间的理论竞争中，毕达哥拉斯的科学美学思想，成为这两种科学理论审美评价的标准.毕达哥拉斯曾经指出，宇庙应当可以用数学关系来表述，而对于两个在几何上等价的行星理论，其中比较和谐、比较对称的那个科学理论就比较正确.正因为哥白尼理论在科学美学上显得更美一些，所以它就应当受到人们的欢迎.行星绕日运动的轨道究竟是什么样的，这是17世纪科学界所关心的问题.1609年德国著名的天文学家、数学家开普勒在研究古希腊天文学家托勒密的“地心说”和波兰天文学家哥白尼的“日心说”的基础上，提出了“开普勒定律”，描述了行星绕太阳运动的规律，其中开普勒第一定律，即轨道定律，认为每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点中.1679年，Hally与Wren也按照圆形轨道由开普勒第三定律和Huygens在1673年发表的向心力的公式，证明了作用于行星的引力与它们到太阳的距离的平方成反比.但是他们不能证明行星在椭圆轨道上也是如此.这年10月24日，Hooke在给牛顿的信中，提出了引力反比于距离的平方的猜测，并问道：如果是这样，行星的轨道将是什么形状？Hooke给牛顿的信重新激起了牛顿对动力学的兴趣，使牛顿把他的注意力转到椭圆运动问题.

“我开始想到引力延伸到月球轨道，并且由开普勒定律、行星运动周期倍半正比于它们到轨道中心距离，我推导出使行星维系于其轨道的力，必定反比于它们到其环绕中心距离的平方.因而，对比保持月球在其轨道上的力与地球表面上的重力，我发现它们相当相似.”牛顿后来如是说.（引自《自然哲学之数学原理》）在《原理》第三篇〈宇宙体系〉中，牛顿精辟地表达了万有引力定律：“一切物体所具有的引力正比于它们各自所包含的物质的量，与距离的平方成反比.”

1684年1月，Wren、Hally和Hooke三位当时英国科学界著名人士在伦敦相叙，讨论行星运动的轨道问题.胡克说他已通晓，但拿不出计算结果.于是Hally专程去剑桥请教牛顿.牛顿告诉Hally他在1679年做了行星在椭圆轨道上时引力平方反比律的证明，断然地说，行星绕日轨道是个椭圆，但手稿压置5年之久，一时找不到，应允重新计算，约期三个月后交稿.Hally按约再度访剑桥，牛顿交出一份手稿《论运动》，Hally大为赞叹.爱因斯坦说：“在牛顿以前，并没有一个关于物理因果性的完整体系，能够表示经验世界的任何深刻特征..”

1685年牛顿在《原理》中提到引力是物体的普遍属性时写道：“如果依靠实验和天文观察，普遍发现地球周围的所有物体都被吸向地球，而且这种吸引正比于这些物体各自所含的物质之量，月球同样也按其物质之量而被地球所吸引；另一方面，我们的海洋又被月球所吸引；所有行星都相互吸引，而且彗星也以同样方式被太阳所吸引；那么，根据这条法则，我们必须普遍承认，所有物体都天然具有相互吸引的本性.”牛顿工作的两个最大的结果是，（1）证明地上的力学也能应用于星球；（2）从自然科学的大厦中排除掉不必要的哲学成见.

康德在其《宇宙发展史概论》中做出了一个不很明确的解答“行星的偏心率是自然界因力图使行星作圆周运动时，由于中间出现了许多情况，而不能完全达到圆形的结果”.而拉普拉斯在其《宇宙体系论》中是这样解释的“如果行星只受太阳的作用，它们围绕太阳运行的轨道是椭圆的…….”

2.从两体观点认识日心说和地心说

恩格斯:“交互作用是我们从现代自然科学的观点考察整个运动着的物质时首先遇到的东西.”根据对称性原理，地球和太阳应该是围绕它们的质心运动，“地球围绕太阳转”和“太阳围绕地球转”都有一定的道理，它们其实是双星现象，如果以其中一个星体为参照系轨迹都是圆锥曲线（下面证明这一结论），这才是牛顿力学的基本观点，与广义相对论的观点“任何物体都沿着自己的短程线运动”类似，在地月系统中之所以一般选择地球为参照系，主要是地球质量大一些，其它星体对于其轨迹的影响小一些，同理在太阳系中以太阳为参照系运算简单一些，当年哥白尼和托雷密的计算便说明了这一点.这样就把星体的圆锥曲线轨迹与双星现象统一在一起了，普朗克曾说：自然科学从一开始就把各种各样的物理现象概括成一个统一的体系作为自己最伟大的目标，人们在一次次寻求着可以统一物质世界的特殊材料.爱因斯坦说：“最简单的理论，涵盖更多不同的内容，具有更广阔的应用，这才是令人信服的理论.”统一性思想是印刻在科学家心中的科学与哲学信念之一，它包含两层含意：一是科学理论要揭示物质运动的内在统一性，使理论与客观世界相统一起来；二是理论内部的逻辑结构具有一致性和系统性.

所谓两体问题，就是两个有相互作用的自由质点，在惯性系中不受外力作用的运动问题，两体问题属于质点系问题，可以把它分解成质心的运动和相对于质心的运动.由于不受外力，故质心作惯性运动.对两体问题，只需求出两质点相对于质心的运动即可，这在知道了相互作用力之后是不难解决的问题.但对于两体问题，人们希望找出一个质点相对于另一个质点的运动，即用相对运动来描述，也就是化为所谓的等效单体运动间题.

两体问题有重要的实际意义，不但太阳、行星和天体力学中其它许多天体的运动属两体间题，而且许多微观粒子间的相互作用和运动也属两体问题，碰撞问题也可以看成两体问题，如果原子核质量无限大那么原子核固定不动，电子运动半径表达式很简单；但是原子核显然是质量有限的，那么实际上应该是原子核和电子绕共同的质心运动，尽管原子核的运动半径很小，但还是存在并且会对常量的计算造成误差.在考虑原子核质量以后电子运动半径的表达式就变了，但为了让计算时的表达式符合之前按原子核质量无限大计算时的形式，利用约化质量（与原子核质量相关）代替电子质量，所得结果与直接利用原子核/电子体系绕心运动计算的结果相同.同时，两体间题为解决多体问题打下了基础，具有方法论的意义.实际上，大多数多体问题，往往是其中两个物体间的相互作用比其它作用要强得多，因而就可先将这两个物体按两体问题处理，而把其它物体对它的作用看成扰动—处于微弱外场或受微小外力作用—对两体间题进行修正.例如太阳系中行星的运动，实际上是多体问题，但行星间的作用远小于太阳对行星的作用，故先将行星、太阳按两体运动间题处理，然后用其它行星的微小作用进行修正.由此可见，两体问题是天体力学，卫星空间运动理论的基础.

⑴  .以质心为参照系

设双星质心所在位置为复平面之原点O，在时刻t，星体B位于（1）所表示的点P.这里均是t的函数，分别表示的模和辐角.于是星体B的速度为，其加速度为

                         (2）

根据质心的定义可以知道，两个星体之间的距离等于，而星体A对星体B的引力依万有引力定律，大小为，方向由星体B的位置P指向双星的质心O，故为，其中为星体A的质量，m是星体B的质量，为万有引力常数.

依牛顿第二定律，得到，化简得，令，得                                 （3）.

将（2）代入（3），然后比较实部和虚部，有

(4)(5)

如设时，星体B正处于质心的最远点，最远点位于正实轴上，距原点O为，星体B的线速度为，那么就有初值条件：(6）(7）(8）(9）

方程(4)~(9)就是星体B绕质心运行的轨迹的数学模型.

将式（4）乘以r，即得

（10），其中.

这样，有向线段在时间内扫过的面积等于，而这正是开普勒第二定律.

将式(10)改写后代入式(5)

由此得到行星运动的较为简单形式的数学模型：

为求得星体B的轨迹方程，要消去变量，令，那么式（13）可以写为…（17），从而，，将上式代入式（12），简化后为……（18），其中.式（18）是一个二阶常系数非齐次微分方程，引进，立即可以求出，这里和是待定的常数.记，上式可写为…………（19）

这就是星体B的轨道方程，是一条平面二次曲线.由于星体B绕质心O运行，故必有，这样我们得到了开普勒第一定律：星体B的轨道是以质心O为一个焦点的椭圆.同理可证：星体A的轨道是以质心O为一个焦点的椭圆.

⑵  以太阳为参考系的非惯性系

取太阳为参考系，由于太阳有加速度，故是非惯性系.行星为研究对象，受力有两个，即万有引力和惯性力，太阳对于质心的加速度为，在以太阳为参考系的非惯性系中有:，，，(8)，，，为太阳距质心的位矢，代入（8）移项合并有，，(9)，(9)与(7)式形式相同.物理意义和推倒原理不同.由(9)式可以看出地球绕太阳仍然做圆锥曲线运动.如果认为太阳动，则可以与太阳不动比较，(9)式相当于说明是行星的质量增加为M+m.推导物理过程清晰，并可以练习非惯性系解决物理问题的方法.

⑶  以行星为坐标系的非惯性系

以行星为坐标系，行星是非惯性系，取太阳为研究对象，太阳受力有万有引力和惯性力，行星相对质心的加速度为，应用非惯性系的牛顿第二定律有:(10)，

，，，代入（10）式有：，，变形有，(11)，由(11)式可以看出，其与(7)式形式相同.如果以地球为参照系，则太阳围绕地球也是在做圆锥曲线运动.若认为地球质量不变，将上式变形有:.

由此可见，若看作太阳动，地球质量不变，则相当于太阳的质量变为折合质量，利用折合质量可以直接写出上式.(注：上面问题的推导也可以利用折合力，在此从略)

在多体问题中当N=1时，单体问题是个平凡的方程.单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动.当N=2的时候(二体问题)，现代物理学和天文学认为两个质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在其中一个质点上看另一个质点，那么另一个质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线.二体问题又叫开普勒问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利首先解决的.N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”一书中.在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，而且现在的人们还是相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解.笔者认为牛顿当时没有给出二体问题的解或许意识到当时的观点是错误的，不满足万有引力平权性原则，只有双星现象才满足万有引力平权性原则，以其中一个星体为参照系时，另一个星体的质量必须用折合质量（约化质量）.

从上面的推导可以看出在双星现象中由于以其中一个星体为参照系另一个星体的轨迹都是圆锥曲线，所以两个星体的轨道共面，否则不满足动量守恒定律（在双星问题中动量的向量和为0）和角动量守恒定律.

周光召：“中国目前最需要的是颠覆性创新.”尼古拉·哥白尼（NicolausCopernicus，1473-1543）是欧洲文艺复兴时期波兰著名的天文学家、哲学家和人文主义思想家，公元一五四三年五月二十四日，双目失明的哥白尼抚摸着刚刚印刷好的《天体运行论》说：“我终于推动了地球！”.哥白尼学说同托勒密学说相比在天文学上处于明显优势.首先是简化了，今天用相对运动考虑，对地心说，必须将地球的绕日运动和自转分别加在所有的行星上.这样，在相同的精度下，其数学描述必然复杂.其次是和谐了，在日心说中，水星和金星比地球离太阳近，但在地心说中，水星、金星和太阳哪个离地球近是不可能决定的.另外，在日心说中，行星运行的周期同行星到太阳的距离有一个单调增加的关系.哥白尼一下于就把托勒密体系的八十个圆圈简化为三十四个，就完满地解释了当时发现的全部行星的运动.不仅如此，哥白尼体系所具有的数学上的简单性，还提供了用圆周和匀速运动解释天体现象的最简单、最经济的方案，这就使天文学上的测算变得更加容易，并且按照日心说计算的结果能更好地符合实际观测的数据.尽管哥白尼尚未摆脱托勒密的本轮和均轮的思想，但相对而言，哥白尼体系要简单、精确得多.在哥白尼这样巧妙的安排下，“宇宙里有一种奇妙的对称，轨道的大小与运动都有一定的和谐和关系，这样的情形是用别的方法达不到的.”“以致在任何一个部分里，改变一件东西，就必然要在其他部分及整个宇宙中造成混乱.”哥白尼本人也深深地陶醉在他的日心体系之中，“这种顺序显示出令人赞叹的对称性和轨道的运动与太阳大小的和谐，神圣的造物主的庄严作品是何等伟大啊.”并用诗的语言赞美太阳：“中央就是太阳，在这华美的宫殿里，为了能同时照亮一切，我们还能把这个发光体放在更好的位置上吗？太阳被称为宇宙之灯，宇宙之心，宇宙的主宰……”亚当·史密斯也曾赞叹哥白尼体系具有无上的“简单性之美”，他说：“它给天体现象以高度的连贯性，在于它给行星运动的真实方向和速度带来的简单性和一致性”.美国科学史教授托马斯·库恩也给予哥白尼体系以极高的评价.库恩认为，哥白尼对行星运动(如逆行运动)的主要问题的论述，比托勒密的论述要简洁得多，“经济”得多.他说：“日心论具有较多的‘美学上的和谐’，对天体的基本特征作了较为‘自然’的论述，‘特设的假定较少’”

宇宙中的二体问题，如果只考虑万有引力，同时忽略其他星体的影响，以质心为参照系都是双星现象，以一个星体为参照系另一个星体的运动轨迹都是圆锥曲线轨道，只有这样才满足万有引力定律的平权性，符合科学的简单性原则.在研究行星运行轨道时，恒星和行星都不是严格的惯性系，以质心为参照系，才可以按照惯性系处理.现代物理学研究太阳系运行时把太阳当做惯性系只是近似成立，其实不完全满足万有引力定律的平权性原则，地太系统也应当看做是双星现象.在经典力学中日心说与地心说都是正确的，与广义相对论的观点一致，只不过由于太阳的质量远大于行星的质量，其他行星的扰动较小，把太阳按照惯性系计算误差较小，研究行星的运行轨道比较简单，这也是哥白尼的日心说优于地心说的原因.

在太阳系中由于太阳的质量远大于所有行星以及其卫星的质量之和，因此每个行星与太阳组成系统的质心与太阳系的质心相距很近，可以近似认为是以太阳的质心为一个焦点做椭圆运动.由于太阳系中太阳和行星是双星现象，根据前面的计算可以得出双星运行的轨道始终共面，因此行星始终也和太阳共面——始终在太阳运行的轨道所在的平面上，这样就可以解释为何太阳系中所有行星的运行轨道基本共面这个困扰天文学多年的难题，当然由于每个行星与太阳组成系统的质心不完全重合以及其他行星的扰动等因素，因此行星的运行轨道有一定倾角.从双星运动的轨迹可以得知，行星的公转方向与太阳的公转方向相同，这样就可以解释为何行星的公转方向相同以及大部分行星的公转方向相同(公转方向不相同的金星可能时受到太阳系外其他星体碰撞的影响)这个疑难问题，类似地可以理解卫星运动同向性、轨道共面性等问题，有些学者从太阳系的形成过程解释轨道的共面性（太阳系是由同一个星云形成的，在收缩过程中形成一个围绕太阳的物质盘，它由尘埃、碎石和气体等构成.之后，在盘中形成各大行星，所以太阳系中的一切，包括太阳的自转、行星的公转、几乎全部行星的自转，都是这个方向，而且公转轨道几乎都是共面.），但是无法理解几乎每一个行星的卫星都具有共面性、同向性的问题，不可能都是巧合.也就是说，行星与它的卫星之间也应当认为是双星现象，例如尽管地月系统的质心在地球上，但是与地球的质心并不重合，应该是地球的质心绕着地月系统的质心运动，选择地月系统的质心为参照系才能直接利用经典力学处理，如果以地球为参照系，月球的惯性质量也应当用地球、月球的折合质量（约化质量）计算.类似地以太阳为参照系，地球的惯性质量应当用太阳与地球的折合质量代替，以恒星为参照系，行星的惯性质量与引力质量相等只是近似成立.正如韦尔所讲的：“世界并不像我们所想象的那样简单.”

以爱因斯坦之后的现代天文学衡量，历史上的地心说和日心说都是不完备的.在太阳系范围内，牛顿力学在某一个精度范围内基本实用.但几大行星绕日旋转的轨道并不能那样规则地循环往复.用引力定律处理太阳系是庞大而非常复杂的问题，其间也有混沌现象存在，就是说，蝴蝶效应完全可以发生在太阳系之中.牛顿物理学给出的答案是：地球和太阳都以其共同的引力中心为焦点沿椭圆轨道运动.只不过这个引力中心的位置并不在太阳和地球之间，而在太阳内部.所以说简单地说地球绕太阳运动也无不可.但这一说法仍然建立在以同引力中心为静止参照系之上的.如果一定要打破沙锅，坚决地问：究竟是地球绕着太阳转，还是太阳绕着地球转？即使牛顿物理学，也只能回答：看你以谁为参照系.如果以地球为参照系，假定地球静止，那就是太阳绕着地球转.运动是相对的，这个问题不存在绝对正确的答案!爱因斯坦则认为，只有匀速运动的纯相对性还不够，惯性系仍然具有优越的地位“这事实特别令人反感”②（注：②爱因斯坦：《自传》）；“如果还要进一步完全避免由于某些坐标系具有优越地位的客观理由的麻烦问题，则必须容许采用任意运动的坐标系.”③（注：③爱因斯坦：《相对论的意义》）这样一来，“在科学早期的托勒密和哥白尼之间的激烈斗争，也就会变得毫无意义了.”“‘太阳静止，地球在运动’，或‘太阳在运动，地球静止’，这两句话，便只是关于两个不同坐标系中的两种惯用语而已.”④（注：④爱因斯坦、英费尔德：《物理学的进化》）

双星轨道拟合是天文学的一项基础性研究工作，其主要目的是给出双星系统的二体轨道参数，这些参数不仅是高精度、高网格密度星表参考架的必要组成部分，而且也为理解各种有关观测现象提供了必要的动力学基础;更重要的是，双星轨道拟合可以直接估计恒星物理和星系天文学等领域极有应用价值的恒星质量参数.因此，长期以来双星轨道拟合工作一直受到研究者的广泛关注.近年来，随着高精度的恒星运动学观测资料的大量积累，双星轨道拟合更成为天体测量和天体力学的一个共同的热点课题，有关研究也有了长足的进展.

一部浩瀚的世界科学史就是科学家不断发现看来是各自独立的宇宙各部分之间的统一性的记录.假若没有这种记录，也就不会有一座座宏伟的科学大厦，科学发展史就是科学越来越走向更大统一的历史.面对分裂的多元主义，勇敢的哲学家和科学家们更应该县有大统一的气概，复兴的中国科学技术和科学大统一的时代需要这样的勇士.大统一的道路是崎岖的，只有无所畏惧的勇士们才能共同攀上大统一的高峰，领略那无限统一的风光.

十五、经典力学动力学规律都满足力学相对性原理

力学规律在任何惯性系中都是相同的，这个论述叫做伽利略相对性原理^[57].相对性原理可以有不同的表述，例如还可以表述为：在一个惯性系参考系内进行任何力学实验都不能判断它是否在相对于另一个惯性参考系做匀速直线运动；或者说，任何惯性系都是平权的.相对性原理：如果S是惯性系，则相对于S作匀速运动而无转动的其它参考系也是惯性系——物理学的基本定律对不同的惯性系是相同的，即表达基本规律的数学关系式对不同的惯性系是相同的.数学关系式相同的意思不是指数值相同，而是有其严格要求的，即表达基本规律的数学关系式在惯性系S中如果取某种形式，则将其中相对于系的各量、、等改为、、即成为另一惯性系中相应关系式.

相对性原理的后一半是指，如果惯性系S中有一条定律，则任意另一惯性系S^、中必存在一条对应的定律，并且两者的内容和形式(在同类坐标下，例如都采用直角坐标，但空间坐标轴不一定互相平行，两个四维时空原点不一定重合.)都相同，即只要把前者表达式中的物理量理解为相对于惯性系S^、而言即成后者，而不需另行证明.简言之，对惯性系S中的任何定律都可以冠以“对所有的惯性系”的短语来扩大其适用范围.所谓“自然界定律”，其集合包括全部普遍的和特殊的定律.在相对性原理中，对S^、与S之间的关系，如果要求相对速度为零并且四维时空原点重合，则相对性原理成为“方向相对性原理”；如果要求空间坐标轴互相平行并且相对速度为零，则成为“平移相对性原则”；如果要求空间坐标轴互相平行并且四维时空原点重合，则成为“平动相对性原理”^[58].许多著作在介绍相对性原理时往往默认了方向相对性原理和平移相对性原理，而把注意力集中在“平动相对性原理”上^[59].物理学是优美的，表现在基本物理规律的简洁性和普适性.

假设参考系的时间一样，空间一样，得出在静止系中的静止状态与在匀速直线运动系中的静止状态一样，这是相对性原理；同时伴随着，匀速直线运动系中的静止状态不是静止系中的静止状态.这种运动状态的转变就是经典的速度合成，即伽利略变换.由于空间是一样的，这种变换与参考系对空间的描述有关.参考系的作用就是以自身作为空间的定点，描述空间.由于参考系速度的不同，造成对空间的描述不同.

1.伽利略变换下的牛顿第二定律

文献[60]认为牛顿第二定律不具有协变性，在高速情形下不成立.

笔者认为，当年牛顿表述第二定律时表述为——合外力为动量对于时间的变化率，这样牛顿第二定律在经典力学和狭义相对论中都具有协变性，满足协变性是一个命题正确性的必要条件.

2.伽利略变换下的质点动量定理、动能定理

在s系中，；在s`系中，

首先，我们研究K和K’系均是惯性参照系的情形．在K系中，作用在质点m上的合力F在空间上的积累所产生的效果是

动能定理是成立的．换在K’系中计算作用在同一个质点m上的含力F在同一过程上的积累所产生的效果是

动能定理依然成立．在不同的惯性参照系中计算同一个过程的功值虽然不同，动能的增量值也不相同，但动能定理总是成立的．这表明动能定理满足伽利略不变性原理.动量定理、动能定理、角动量定量等都是牛顿定律的推论，它们当然应该服从相对性原理.延安大学物理与电子信息学院白少民与宋永东在《不同惯性系中的动量与动能》一文中通过惯性系的变换也证明了动能定理和动量定理也满足力学相对性原理.

其次，考虑K’系为非惯性参照系的情形．由于在非惯性参照系中必须假设存在着一类虚构的力——惯性力，才能应用牛顿第二定律处理问题，而动能定理描述的是作用在质点m上的合外力在空间上的积累效果，所以计算力所作的功，应把惯性力的功包括在内．在K’系中的功为．

这说明，在非惯性参照系中动能定理仍然可以适用，但这时的“合外力的功”应理解为是真实的合外力的功与假设的惯性力的功之和.

3.伽利略变换下的功的计算公式、势能

在s系中，

在s`系中，

若为质点所受的合外力，则有

保守力的普遍定义为：沿任意闭合路径做功为零的力均为保守力，如:重力、弹力、电场力、有心力（万有引力）等，其做功与路径无关，只和始末位置有关.因为保守力做功与路径无关，只与始末位置有关，为此引入势能的概念.势能是空间位置的函数，始末两点间势能之差定义为，其中是从初位置到末位置的过程中保守力的抵抗力，其大小关系为F_保=-，所以，即：保守力所做的功等于势能变化量的负值.

4.伽利略变换下的守恒定律

文献[61]通过重新表述动量守恒定律和角动量（动量矩）守恒定律，使其对于所有的参照系都协变性.

系统所受到的力包括保守力和非保守力，即，所以，，即：非保守力所作的功等于机械能的变化量.当W_非=0时，，即：当物体所受的非保守力之和为零或者非保守力所做功之和为零，即当物只受保守力（重力、弹力、引力、电场力等）时机械能守恒.

在s系中，根据前面的分析可知只要系统非保守力做功为0，系统的机械能守恒.

在s系中，根据伽利略变换力是伽利略变换的不变量，非保守力做功之和仍然为0，因此机械能仍然守恒.                                （7）

根据动能定理，设质点仅仅受到保守力的作用，质点从B点到A点的过程中保守力合力的功为W，W=E_k1-E_k0，E_k1是A点的动能，E_k0是B点的动能．根据势能定理dE_p=（-f）dr，W=E_p0-E_p1，E_p1是A点的势能，E_p0是B点的势能，所以E_k1+E_p1+E_k0+E_p0.

另证： 

阿贝尔曾经讲过：“直接向大师们而不是他们的学生学习.精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果.我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习.”机械能与时间无关，机械能守恒定律对于所有的惯性系都协变，满足力学相对性原理.动能定理满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件，牛顿定律满足伽利略变换是动能定理满足伽利略变换的充分条件，因此牛顿定律满足伽利略变换是机械能守恒定律满足伽利略变换的充分条件.

在保守系统中，物体之间的相互作用可通过相互作用势来表达，在一维的情况下，物体所受的力与势函数之间存在如下关系：.时间平移对称性，或者说时间均匀性意味着这种相互作用势只与两粒子的相对位置有关.即：对于同样的相对位置，粒子间的相互作用势不会随着时间而改变.在一维情况下有：

保守系统中的物体，在势场中从位置移动到位置时所做的功为：

根据动能定理，力F对物体所做的功等于物体始末状态与初态动能之差.即有：

联立以上两式便得：，即系统机械能守恒.这就从时间均匀性推导出机械能守恒.

能量守恒定律相是普遍规律，比牛顿定律更基本，相对性原理和能量守恒定律是物理学中的“宪法”，其他“法律”（理论）必须表述为满足它的形式.对于同一个物理过程，能量守恒定律具有伽利略变换的不变性，如果在一个惯性系里是守恒，那么在另一个惯性系里一定是守恒^[62]，因此在弹簧+质点的系统中如果考虑弹簧的质量，忽略弹簧形变过程中产生的内能，在各个惯性系中测量的机械能也是守恒的.在经典力学中如果只有保守力，机械能也具有伽利略变换的不变性.机械能守恒定律应该表述为满足力学相对性原理的形式^[63]，这样矢量力学体系内部才能保证统一和和谐.文献[31]之指出“能量守恒定律不仅对于封闭系统成立，对位于定常外场(即不显含时间)中的系统也成立.能量守恒的力学系统也称为保守系统.”笔者认为对于定常外场，如果只研究粒子的话，即按照外场计算也是封闭系统，能量一定守恒，封闭系统对于所有的坐标系能量都守恒.若一个封闭系统具有时间流逝的不变性，则此系统的总能量守恒，反之也成立，即一个系统能量守恒的充要条件是该系统对于时间具有均匀性.文献[64～65]利用美国伯克利力学教材的结论指明了能量守恒定律具有伽利略变换的不变性.

十六、力学相对性原理的适用范围

力学相对性原理仅仅涉及牛顿运动定律及其推论（动量定理与动量守恒定律、动能定理与功能原理（含机械能守恒定律）、拉式函数^[66]、角动量定理与角动量（动量矩）守恒定律、声波运动方程^[67]以及流体的欧拉方程、伯努利方程^[68]、兰姆型的理想流体运动方程、柯西-拉格朗日定理、兰姆霍兹方程等质点动力学规律），不涉及非牛顿定律的推论，例如文献[69]将胡克定律表述为——在弹性限度内弹簧弹性力的大小与振子的位矢的大小（位矢的模）成正比，弹性力的方向与位矢的方向相反，即F=-kX.显然不具有伽利略变换的不变性，因为振子的位矢不具有伽利略变换的不变性，但是力具有伽利略变换的不变性.文献[38]没有认识到这一点，误认为F=-kX也具有伽利略变换的不变性，得出弹力是显含时间的错误——“考虑到弹簧本身的动能忽略不计，对于小球和车厢壁而言，弹簧的唯一作用是以小球与其平衡点的距离为自变量按照胡克定律同时向小球和车厢壁提供相反的作用力，因此在地面和小车上可以分别用在相应的位形空间（x）和（x^′）中假设车厢壁与小球之间存在服从胡克定律f′=f=-k(x′-x_o′)=-k(x-x_o)                                             （28）

（其中x_o和x_o^′=x_o-vt分别为小球的平衡位置在地面和小车上的坐标）的有势力场取代弹簧实体的存在，从而系统可以被描述为质量为m的小球（质点）在车厢壁所提供的，遵从胡克定律式（28）的有势力场中运动.”如果把胡克定律表示为弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变方向相反，那么胡克定律适用于所有惯性系，但此时形变大小不是位移，“其中x_o和x_o^′=x_o-vt分别为小球的平衡位置在地面和小车上的坐标”就错了.由于力和距离是伽利略变换的不变量，而位移不是伽利略变换的不变量，因此需要正确理解胡克定律，区分位移和距离两个概念.两种表述方式并非始终等价，当观察者相对于弹簧的固定端静止时二者等价，笔者建议把胡克定律表述为“弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变方向相反.”较好，这样在所有的惯性系都成立了.在函数中出现的各种量和函数本身都具有客观属性，对传统理论中的函数和函数中的量必须搞清其客观含义，明确其函数所表达的的量关系规律是否正确.在建立科学方程时，一方面必须搞清现有定义中的各种科学量的客观含义，另一方面必须在搞清新概念的客观含义情况下引入新概念.在传统科学中经常出现人为确立概念含义、函数及其量的现象.例如胡克定律，其函数中的k系数具有人为规定性，其函数中的量关系具有人为规定性，即在胡克定律中k系数没有对应的客观意义，胡克定律所确立的量关系规律在客观上不存在.再如，达尔西定律，其系数具有规定性，其函数中的量关系具有人为规定性.即在达尔西定律中k系数没有对应的客观意义，达尔西定律所确立的量关系规律在客观上不存在.库仑定律、万有引力定律都存在这样的问题.

由于功不是伽利略变换的不变量，因此如果从经典力学的角度研究电场和磁场，可以发现电动势、电压和电势能也不具有伽利略变换的不变性，有些文献从洛仑兹变换角度研究也得出不同参照系中感应电动势和电压的转换^[70～71].文献[72]指出对于这些问题的处理必须依据伽利略变换，由牛顿定律导出的一切力学定律都具有伽利略变换的不变性.正如狄拉克所指出的：“变换理论的作用日益增长，是理论物理学新方法的精华，它首先用在相对论中，后来又用在量子理论中，进一步前进的方向是使我们的方程在越来越广泛的变换中具有不变性.”

力学规律在伽利略变换下具有不变性，即力学规律在不同的惯性参照系中具有相同的形式，是规律的形式相同，而不是每一个物理量的数值在不同惯性系中都相同.有不少人认为相对性原理仅仅适用于封闭系统，文献[52]认为机械能守恒定律和角动量（动量矩）守恒定律对于开放系统不满足力学相对性原理，仅仅对于封闭系统成立.持有这种观点的人认为对于开放系统能量不守恒，其实这种看法是完全错误的，对于开放系统可能对于所有的惯性系都不守恒，但只要对于一个惯性系守恒，对于所有的惯性系都守恒.相对性原理对于开放系统和封闭系统都成立，这是判定一个动力学规律正确与否的标准.在一个惯性系成立的力学定理或规律，在另一相对做匀速直线运动的参照系中必然也成立，即力学相对性原理是完全正确的，伽利略变换是协变最根本依据，因此伽利略变换是力学相对性原理的基石，是不可动摇的！作为客观存在的自然界，总是按照固有的规律在不停地运动变化着，各种运动形态既相互联系、相互作用，又相互协调、相互制约，构成一幅和谐的、永恒的物质运动图景.在这幅图景上，人们看到物质丰富多样，运动形态千变万化，处处显示出美的形象，焕发出美的光彩，给人以愉悦的感受，激发起人们探索自然、认识自然的无穷欲望.正如英国哲学家斯宾塞所言：“一个从未从事过科学研究的人，永远难以了解日常他所生活的环境里，处处存在着奇情丽景，宛如诗般的节奏和韵律.”自然科学家的工作，反映在他们创造性思维的成果——科学理论上，则表现为“科学美”.2002年9月17日著名物理学家郭汉英教授在给中山大学、华南理工大学的物理教授和有关专家作报告时说：“希望中国在跨世纪中出现自己的基础研究大家和独创理论”.

十七、惯性定律与惯性系剖析

牛顿在《自然哲学之数学原理》的开头就详尽地描述了一个“水桶实验”—— 用旋紧的长绳悬挂一个装水的桶，起初桶和水都不转，水面是平的，然后放手让桶随着长绳的松劲而转动，不久“水开始明显地旋转，一点一点地离开中间，并沿桶壁上升，形成一个凹形，而且旋转越快，水上升得越高 …… 水的上升表明它有离开转动轴的倾向，而水的真实和绝对的转动，在此与其相对运动直接矛盾.…… 当水在桶中的相对运动最大时…… 未沿桶壁上升…… 但在那之后，水的相对运动减慢，水沿桶壁上升…… 因此，水的这种倾向并不取决于水相对于其周围物体的移动”.^[73]①

1883年，马赫对“水桶实验”进行了影响深远的批判：“没有一个人有能力断定关于绝对空间和绝对运动的东西 …… 通过‘旋转水桶’讨论，他[牛顿]确信能够证明绝对运动 …… 绝对运动是一种毫无内容的、不能在科学中使用的概念 …… 牛顿使全部力学参照绝对空间”；^[74] 受马赫影响，爱因斯坦也认为：牛顿“已经认识到，可观察的几何量和它们在时间中的进程，并不能从物理方面完备地表征运动. 他以著名的旋转水桶实验来证明这一点. 因此 …… 还必须有另一种决定运动的东西. 他认为，这种‘东西’就是对于‘绝对空间’的关系”；^[75]北师大赵峥教授说得更直白：“牛顿为了论证‘绝对空间’的存在，设计了一个著名的思想实验：水桶实验；^[76] 复旦郑永令教授则告诉我们：“牛顿把水面沿桶壁上升归因于水相对于‘绝对空间’的加速运动.”^[77] 可见，主流物理学家的认识几乎是一致的 —— 牛顿用“水桶实验”就是为了证明“绝对空间”的存在； 牛顿使全部力学参照“绝对空间”.然而，《自然哲学之数学原理》的汉语翻译 —— 中央党校的哲学教授王克迪先生在《原理》的“导读”中却没敢随波逐流 —— 他只是说：“300年来，几乎所有的大物理学家和哲学家都对这个实验发表过见解，有人辩驳，有人维护.对此，我们不多加评论，请读者自己思考.”^[73]②

华东师大朱鈜雄教授说得好：“与欧几里得几何学的公理不同的是，与几何学相比，物理学有着附加的约束：它必须与真实世界相符.”^[78]

据中国科学院自然科学史研究所阎康年研究员考证，牛顿“第一定律的原型是惯性律，对于惯性律的探讨，从古希腊中期至牛顿就有2100多年的历史.……在惯性律方面对牛顿产生直接的和主要影响的，还是伽利略和笛卡尔……伽利略是科学史上第一个用严格的科学论证提出惯性律的科学家.”^[79] “在马赫（对牛顿）的批判之后两年，德国物理学家朗奇（L.Lange）在1885年发表的《论伽利略惯性律的科学结构》一书中，从物理概念的基础寻找消除绝对空间概念的方法.这个方法是‘用惯性系取代绝对空间’，将牛顿力学体系建立在惯性系的基础上，从而使牛顿的力学定律在‘消除’绝对空间的条件下，仍能保持其全部物理意义.他的这种观点在随后几年中，被物理学界广泛认为是对物理基础的卓越贡献，并被认为是摆脱19世纪牛顿力学遇到佯谬局面的良策.”

伽利略对“惯性运动”的认识，是从他研究、批判亚里士多德的“自由落体观念”——物体愈重下落愈快——开始的.

据南京大学林德宏教授考证：【据说，1589年伽利略登上比萨斜塔，让10磅重和1磅重的两个球同时下落，由于下落速度很快，所以看起来两球是同时落地的.为了取得更精确的结果，他想‘冲淡重力’，让物体下落得慢一些.于是他同斯台文一样，对斜面（上的物体运动）进行了研究.他在长约11米的木板上刻上光滑的槽子，让不同重量的小球在同一高度的斜面上滚下，发现它们滚动的速度是相同的，这与斜面（与水平面的）夹角大小无关.……调整斜面夹角为90°时，小球的滚动就成了自由下落，于是他通过斜面实验揭示了自由落体运动之谜.……斜面实验还使得伽利略发现了惯性原理.】^[80]

注意：伽利略不仅通过“斜面实验”发现了自由落体定律，还发现了“惯性定律”——

伽利略通过斜面实验发现，当一个球沿斜面向下滚时，其速度增大，而向上滚时，其速度减小，他推断，当球沿水平面滚动时，若无阻力，其速度应不增不减，球将永远滚动下去.在另一个斜面实验中，伽利略相对地安置两个斜面，当球从一个斜面的顶端滚下后，即沿对面的斜面向上滚，并达到原来的高度……于是他推断：若无阻力，当后一斜面安置成水平时，球将永远滚下去.

1638年，伽利略根据“斜面实验”在《关于两门新科学的对谈》中归纳：“任何一个速度，一旦赋予了一个运动，就会牢固地得到保持，只要加速或减速的外在原因是不存在的.这种条件只有在水平面上才能见到，因为在平面向下倾斜的事例中，将不断地存在一种加速的原因；而在平面向上倾斜的事例中，则不断地存在一种减速的原因.由此可见，沿水平面的运动是永无休止的，如果速度是均匀的，它不会减小或放松，更不会被消灭.”^[81]

早在1632年，伽利略就在《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》中明确地指出：“沿地平线的运动，既不向上也不向下，将是环绕一个中心的圆周运动”，^[82]①他还指出：“对一个既不向下也不向上的表面来说，它的各部分一定是和地心等距离的……平静的海洋上航行的船只，就是这样的一种运动体……要是排除一切外界的和意外的阻碍，它一旦获得冲力就会不停地以匀速运动”.^[82]②

阿里奥托在《西方科学史》中指出：伽利略认为“地球的惯性运动是圆周运动……伽利略的惯性原理，与笛卡尔的惯性原理或牛顿的惯性原理不同，必须把它称作为‘圆周惯性’原理.”^[83]

不过，伽利略的这个“圆周惯性原理”并没有得到普遍的认可——

郭奕玲教授在《物理学史》中指出：伽利略对“惯性运动”的认识是有欠缺的；“伽利略的欠缺得到了笛卡尔的弥补……真正明确提出惯性定律的是牛顿”.^[84]

朱鋐雄教授在《物理学思想概论》中指出：“牛顿改变了伽利略提出的‘物体会沿着水平方向永不停止地一直运动下去’的惯性运动的表述，明确提出惯性的运动是直线运动而不是水平运动”.^[85]①

现行的教科书都告诉我们，牛顿第一定律才是真正的“惯性定律”.据此，“惯性运动”当然是指第一定律中的“匀速直线运动”.

惯性定律的诞生：牛顿在“原理”中给出第一定律的名称，开普勒在他1609年发表的著作《新天文学》和1619年发表的著作《宇宙谐和论》中写道；“天体有留在天空中任何地方的性质，除非它被拖曳着.”“如果天体不赋有类似于重量的惯性，要使它运动就不需要力，最小的动力就足以使它有无限的速度，但由于天体公转需要用一定的时间，有的长些，有的短些，因此非常明显，物质必须具有能说明这些差别的惯性.”“惯性，或对运动的阻力是物质的一种特性，在给定的体积中，物质的量愈多，惯性愈强.”这大概是关于物体惯性的最早陈述.可以看出开普勒所说的惯性是指静止物体的惯性，甚至他已经认识到物体的惯性与它的质量有关，然而他显然受到亚里士多德思想的束缚，不可能思考运动物体是否具有惯性的问题.伽利略在1632年出版的《关于两大世界体系的对话》和1638年出版的《关于力学和局部运动的两门新科学的谈话和数学证明》，通过“斜面的理想实验”，“乘船的理想实验”描述惯性定律.伽利略开创了实验和理性思维相结合的近代物理研究方法，并用于研究物体的运动.他对于亚里士多德关于物体运动的粗糙的日常观察、抽象的猜测玄想和想当然的思辨推理十分不满，他通过科学实验和科学推理得到许多正确的结果，总结在他的著作《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》（1632年）和《关于力学和运动两门新科学的对话》（1638年）中，其中一个重要的结果如下.假设沿斜面AB落下的物体，以B点得到的速度沿另一斜面BC向上运动，则物体不受BC倾斜的影响仍将达到与A点相同的高度，只是需要的时间不同；当第二个斜面变成既不上升，亦不下降的水平面时，物体将一直以已获得的速度永远向前运动.伽利略的思想无疑地比他的前辈前进了一大步，他认识到不受其他物体的作用，物体可以永恒地运动，这已经很接近惯性定律，但是伽利略还没有摆脱亚里士多德的影响，他所说的水平面是和地球同心的球面，也就是说，那种不受其他物体作用的物体的永恒运动是圆周运动，因此我们还不能说伽略发现了惯性定律.笛卡尔在1644年出版的《哲学原理》中，“如果物质处在运动之中，那么如果无其他原因的作用的话，它将继续以同一速度在同一直线方向上运动，既不停下，也不偏离原来的方向.”更接近牛顿第一定律的描述.费曼曾经说到：“没有人找到为什么物体按惯性而行的原因，我们不知道惯性定律的来源，结果是习以为常的惯性现象仍然是自然界最深晦的谜之一.”

惯性定律的独立性之辩：许多人认为：“牛顿第一定律不具有独立性，是第二定律的一个特例.或者说，当作用到物体上的合外力为零时，物体的速度不变化，就是匀速直线运动，也就是第一定律描述的运动状况.”另外一种观点：第一定律具有不可取代的地位和作用：作为惯性和力的原始定义，没有这个原始性定义，无法构建第二定律.它是第二定律的基础，应该具有独立性.

惯性定律的真理性：它是牛顿力学的重要定律之一，因为牛顿力学在低速情况下，与实验、生产、科研及天体的运动等诸多方面，都吻合的很好.人们都相信惯性定律的真理性有充分的依据，也不会怀疑它的普遍实用性….德国物理学家赫兹曾说到：“要阐明力学的真正的基础内容，而不会不时感到为难，不会一再激起歉意，不想尽快跨过原理部分而向他们讲述一些应用例子，那是极端困难的一件事.”

牛顿力学的公理体系：定律Ⅰ（惯性定律）：每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态.定律Ⅱ：运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向.定律Ⅲ：二物体在相接触处发生相互作用，甲物体给乙物体一个作用力时，乙物体同时给甲物体一个反作用力.作用力与反作用力大小相等，方向相反，分别作用于二个不同的物体上.第三定律明确指出：相互作用发生在二物体的相接触处，从而排除了超距作用！二个物体没有直接接触而发生相互作用时，只能是通过场物质的媒介而建立的.

P.G.柏格曼在《相对论引论》一书中曾指出：“我们对惯性系的最终定义实际上可能是：惯性系是相对于整个宇宙物质具有零加速度的参照系.”（人民教育出版社1961年12月第1版第166页脚注）.

对一切运动的描述，都是相对于某个参考系的.参考系选取的不同，对运动的描述，或者说运动方程的形式，也随之不同.在有些参考系中，不受力的物体会保持静止或匀速直线运动的状态，这样的参考系其时间是均匀流逝的，空间是均匀和各向同性的；在这样的参考系内，描述运动的方程有着最简单的形式.这样的参考系就是惯性参照系，也称为惯性参考系或惯性系.爱因斯坦在其《论运动物体的电动力学》一文中有这样的一个假设：“设有一个坐标系，在此系统中牛顿力学方程有效.为了更确切表达我们的思想，并和以后的其它系统在字面上有所区别，我们称这个系统为“静止系统”.如果一个质点相对于这个坐标系是静止的，它的位置应可以用刚尺测量与欧几里德几何学的方法相对地来确定，并可用笛卡尔坐标来表示.”

牛顿为了建立自己的力学体系，在牛顿定律之外还引入了绝对空间(还有绝对时间)的概念，其定义为:绝对的空间，因其性质且无关于外物，恒为等的且不动的!当然，牛顿定律在绝对空间中成立，这就是牛顿力学体系的基本框架.这个框架有两大疑难，第一大疑难是:谈论空间必须先指明参照物，否则便无法确定被观测物体的加速度a;绝对空间的参照物究竟是什么呢?按绝对空间的定义，绝对空间的参照物应是绝对不动的东西;但绝对不动的东西是不存在的，故绝对空间是不存在的.第二大疑难是:无法确定被观测物体所受的力F，因为尚有很多未探明的星球和黑洞，它们对被观测物体的引力当然是个未知数;那种由于它们离得很远，因此它们的引力可以忽略的说法是缺乏说服力的;即使它们离得很远，但由于它们极多，且质量极大，因此它们的引力可以是巨大的.牛顿定律的核心是第二定律F=ma，其中的a和F竟是无法确定的.

惯性系概念并非牛顿本人提出来的！而是两百年之后被生造出来的——“在马赫（对绝对空间）的批判之后两年，德国物理学家朗奇（L.Lange）在1885年发表的《论伽利略惯性律的科学结构》一书中，从物理概念的基础寻找消除绝对空间概念的方法.这个方法是用惯性系取代绝对空间，将牛顿力学体系建立在惯性系的基础上，从而使牛顿的力学定律在‘消除’绝对空间的条件下，仍能保持其全部物理意义.”朗奇定义：惯性定律成立的参考系称为惯性系.“惯性系”似乎没有“绝对空间”那么空虚，逐渐被大家接受.但根据定义，“作为研究物体运动时所参照的物体，称为参考系”，可知参考系首先得是一种“物”，然而谁也说不出惯性系是什么“物”！爱因斯坦也不得不承认：“究竟是否存在一个惯性系的问题，直到现在还无法决定”.更糟糕的是，惯性定律必须在惯性系中才能成立，而惯性系的确认又依赖于惯性定律的成立.爱因斯坦敏锐地指出：惯性系概念是逻辑循环，这“显示出经典物理学中的一个严重的困难……整个物理学都好像是筑在沙堆上一样.”然而，除了“惯性系”，似乎没有更好的选项.无奈，现在的教科书上仍硬着头皮说：惯性定律只在惯性系中成立.其实，牛顿力学本来并没有这些尴尬，牛顿力学的辉煌成就也证明了它绝不可能是筑在沙堆上的.

朗道《场论》（主要是相对论电动力学）给出的定义：牛顿第一定律成立的参照系叫做惯性系.（原文没有用牛顿第一定律的字眼，而是直接说在这样的参照系中，一个不受相互作用的粒子将保持静止或匀速直线运动）.这个定义在牛顿力学和狭义相对论中均适用.这样，我们可知：①牛顿第一定律定义了惯性系.②牛顿力学在惯性系中成立.（在相对论中，第二条只要修正为麦克斯韦方程组和相对论力学在其中成立即可），这样就不存在逻辑循环的问题，同时也可以说明，牛顿第一定律不是牛顿第二定律在F=0时的特殊情况.假设我们在月球上生活惯了，在月球上做各种力学实验，除了重力加速度小、没有空气阻力、温度变化大外，实验结果与地球相同，满足力学相对性原理，我们会认为月球是足够好的惯性系，因此会得出地球和月球都是足够好的惯性系，可是它们之间存在万有引力，方向相反，而且地球和月球的质量不相等，因此它们的加速度大小和方向都不相同，必然存在着矛盾.

在空间内，相对于任何参考点（静止中或移动中），一个运动中的粒子的位移、速度和加速度都可以测量计算而求得.虽然如此，经典力学假定有一组特别的参考系.在这组特别的参考系内，大自然的力学定律呈现出比较简易的形式.我们称这些特别的参考系为惯性参考系.惯性参考系有个特性：两个惯性参考系之间的相对速度必是常数；相对于一个惯性参考系，任何非惯性参考系必定呈加速度运动.所以，一个净外力是零的点粒子在任何惯性参考系内测量出的速度必定是常数；只有在净外力非零的状况下，才会有点粒子加速度运动.问题是因为万有引力的存在，并无任何方法能够保证找到净外力为零的惯性参考系.实际而言，相对于遥远星体呈现常速度运动的参考系应是优良的选择.

在经典力学中惯性系是不存在自身加速度的“自由”参考系，这是一种理想参考系：由于宇宙空间中无处不存在引力，实际的惯性系是不存在的.目前惯性系的认识情况是：最好的惯性系——FK4系是由1535个恒星平均净值位形为基准的参考系；稍好点的惯性系——以太阳为参考点；一般工程商可用的惯性系——地球（地心或地面）为参考系.在广义相对论中，由于引力作用和加速度是完全等效的，对于一个在引力场中作自由落体运动的参考系，引力作用和自身加速度的作用抵消（即使考虑到二体问题，只是加速度的数值进行调整，仍然可以看作惯性系，分析从略）.这样的参考系，是一个真实的“自由”参考系.由于引力场在空间中的分布是不均匀的，惯性系只可能是局域的，也被称为局域惯性参考系，宇宙中不存在全局惯性参考系.

经典力学中一个参考系是不是惯性系，只能由实验确定，最基本的判据就是牛顿运动定律成立与否.根据伽利略相对性原理，和一个惯性系保持相对静止或相对匀速直线运动状态的参考系也是惯性系.在实践中，人们总是根据实际需要选取近似的惯性参考系.比如，在研究地面上物体小范围内的运动时，地球是一个很好的惯性系.在研究太阳系中天体的运动时，太阳是一个很好的惯性系.阿基米德曾经说过：“给我一个支点和一个杠杆，我能把地球翘起来.”我们姑且不去谈支点在哪里，杠杆哪里找，我们讨论另外的问题——他站在哪里？是否还考虑受到地球的重力？此时地球在太阳系中处于完全失重状态，不需要特别大的力就可以使地球的轨迹微弱改变，如果改为：“给我一个支点和一个杠杆，我能使地球明显改变轨迹.”会更有气势！爱因斯坦说:"科学没有永远的理论."但是，"从希腊哲学到现代物理学的整个科学史中不断有人力图把表面上极为复杂的自然现象归结为几个简单的基本观念和关系，这就是整个自然哲学的基本原理".在所有的物理学中，<<力学>>是研究物质运动中最简单又最基本的运动----机械运动以及其应用的一门学科，是物理学大厦的基础.<<力学>>发展中形成的研究方法，从观测、实验到分析、综合，从模型和假设的提出到理论体系的建立以至在实验中受到检验并不断发展，在历史上对其它学科的建立，曾起到过重要作用，并且仍然是今天科学研究的基本方法.

19世纪末，被爱因斯坦推崇为相对论先驱者的马赫，对牛顿的惯性思想进行了批判.“马赫不同意把惯性看成是物质固有的性质，认为在一个孤立的空间里谈论物体的惯性是毫无意义的，提出惯性来源于宇宙间物质的相互作用”.

爱因斯坦对马赫的惯性思想并不认同——在《狭义与广义相对论浅说》中，爱因斯坦把牛顿的惯性定律“改述”为：“一物体在离其他物体足够远时，一直保持静止状态或保持匀速直线运动状态.”显然，在爱因斯坦看来，一物体只有离其他物体足够远而“孤立”时，才能摆脱与其他物体的相互作用，它的运动才真正是依赖本身惯性的惯性运动.而费曼对上述惯性思想都不赞同.费曼认为：“没有人找到为什么物体会按惯性而行的原因.我们不知道惯性定律的来源.”

最早清楚表述惯性定律并把它作为原理加以确定的是笛卡儿.笛卡儿是唯理论哲学家，他试图建立起整个宇宙在内的各种自然现象都能从基本原理中推演出来的体系，惯性定律就是他的体系中的一条基本原理.他在他的《哲学原理》（1644年）一书中把这条基本原理表述为两条定律：一、每一单独的物质微粒将继续保持同一状态，直到与其他微粒相碰被迫改变这一状态为止；二、所有的运动，其本身都是沿直线的.然而笛卡儿没有建立起他试图建立的那种能演绎出各种自然现象的体系，其中许多是错误的，不过他的思想对牛顿的综合产生了一定的影响.

惯性是物理学中最基本的概念之一，也是学习物理学最早遇到的概念之一.这一极为普通和平凡的概念曾经引导许多物理学家深入思考和剖析，促进物理学重大进展，其中蕴涵着深刻的物理思想和丰富的物理学研究方法的教益.惯性一般是指物体不受外力作用时，保持其原有运动状态的属性.人们对于惯性这一认识有赖于惯性定律的建立，而它则依赖于对于力的认识以及区分运动状态和运动状态改变的认识，这一点在人类认识发展史上经历了漫长的岁月.牛顿1661年进入剑桥大学学习亚里士多德的运动论，1664年他从事力学的研究，摆脱了亚里士多德的影响.他继承了伽利略重视实验和逻辑推理的研究方法，他也继承了笛卡儿的研究成果.他深入地研究了碰撞问题、圆周运动以及行星运动等问题，澄清了动量概念和力的概念.1687年出版著作《自然哲学的数学原理》，以“定义”和“公理，即运动定律”为基础建立起把天上的力学和地上的力学统一起来的力学体系.惯性定律就是牛顿第一定律，表述为“所有物体始终保持静止或匀速直线运动状态，除非由于作用于它的力迫使它改变这种状态.”惯性定律真正成为力学理论的出发点.根据惯性定律，物体具有保持原有运动状态的属性，这种属性称为惯性.不仅静止的物体具有惯性，运动的物体也具有惯性；物体惯性的大小用其质量大小来衡量.至此，人们对于物体惯性的认识达到第一阶段比较完善的程度.

在经典物理学中，惯性原理是相对性原理的表现形式.惯性的存在是因为场的真实存在，场在宇宙空间中的广泛存在是惯性得以体现的最根本原因.1970年苏联科学家罗金斯基进行的实验在以内证明了引力质量和惯性质量严格相等，如果注意到惯性质量与引力质量的严格相等，我们将发现，更准确的提法是，惯性来源于全宇宙物质的万有引力场.为了弄清物体惯性运动的物理实质性原理，不妨让我们针对假定只有、两物体存在的宇宙进行分析.

如图1-2，由于宇宙中只有、两物体存在，为了考察的惯性和运动，不管、两物体之间是否发生相互作用，充当惯性参照系的唯一地只能是物体.在这样简单的宇宙中，针对物体可以把牛顿第一、第二运动定律分别表述为：1、相对保持静止或匀速直线运动，除非对它施加作用力迫使它改变这种状态.2、相对所得加速度的大小与受到的作用力成正比，与的质量成反比，加速度的方向在、的连线上.

我们令距物体远处的场存在着激烈程度为的引力场波动，G为常数，m为B的质量.（粒子的长期存在不改变其质量等物理内涵，这表明引力场波动并不向外扩散能量.）设A的有效截面积为s，相对B以速度v运动，由于相对运动，属于B的场在单位时间内流经A的能流为.再以这个能流与能流密度及有效截面积作比，得到速度量纲的物理量.消去常量G，并用大写字母V表示它，得到

在这种简单的宇宙体系中，由于（广义相对速度与相对速度恒等），，所以用A的广义相对速度代替A的相对速度分析惯性和运动问题，和原先完全一致，不存在任何分歧.

但当全面考察错综复杂的现实宇宙中其它物质的影响以后，某物体的广义相对速度与它的相对速度之间便存在着一些差异，我们将发现，正是这些差异的存在，直接导致了以往经典时空观的舍弃.

如图1-3.全面考察全宇宙物质的存在得到

其中V表示考察物体（A）的广义相对速度，表示考察物体相对任一参照系的速度（这一参照系可以是惯性参照系，也可以是非惯性参照系），表示宇宙中某一物体相对同一参照系的速度，表示考察物体与的距离，积分范围是全宇宙空间.客观现实中，大多数物质都以星球的形式存在，通常我们可以采用广义相对速度的不连续表达式计算_，

由于参照系之间存在着相对运动，相对速度没有唯一的值，而广义相对速度却具有唯一的值，显然，通常情况下，用计算机可以计算证明，在地球表面附近，即使考虑地球物质、远距离物质及空气的影响，只要运动物体位移的距离和时间不很大，广义相对速度和相对速度的变化率是非常接近的，即，或者.所以，如果承认牛顿第二运动定律，即，那么就有.

十八、在非惯性参考系中的功能关系

1、惯性力的引入

牛顿第二定律可以直接地表示为运动方程的形式.其内容是动量的一阶导数等于力.在笛卡尔坐标系中，牛顿第二定律用三个微分方程表出：，，.上述方程也可以说成是平衡方程.这一改变在发表于1743年《动力学》一书中为达朗贝尔原理所指出.在这本著作中，达朗贝尔利用了所谓遗失的力的概念.他所研究的是运动被某种约束所限制的质点系.作用在质点上的力可以被两个分力所替代，其中一个分力指向与约束一致的运动的路线.倘若质点是自由的，它将要沿着由两个分力构成的平行四边形对角线的方向运动.而实际上质点似乎只在一个分力的作用下运动，另一个力好象是丢掉了.达朗贝尔就把它称之为遗失的力.被遗失的力没有引起质点的加速度，就在系统中无影无踪了，它已被约束反作用所抵销.可以指出：所谓遗失的力就是作用在质点上的力和惯性力的合力.作用在质点上的外力（即其来源不在所论系统之中）和被约束条件所决定的反作用力还有惯性力处于平衡之中.换句话说，遗失的力（外力与惯性力的合力）被约束反作用所平衡.

达朗贝尔所引入的惯性力曾被叫做虚构的力.引入这个力之后每一个动力学问题都被归结为一个静力学问题.每一个运动方程都与平衡方程相对应，这个平衡方程以具有所谓虚构的惯性力而区别于运动方程.所谓实在的力和虚构的力之间的区别是相对的.倘若把达朗贝尔所引入的力认为是施加于所论物之上的力，则该力就是虚构的；倘若把力认为是施加于其它物体上的力，则达朗贝尔引入的力就是实在的.倘若把坐标原点从一个物体移到另一个物体上面，那么虚构的力就将是实在的，而实在的力则将是虚构的.

根据牛顿第二定律可得出作用于运动物体上的力与加速度乘以质量并冠以负号之和为零.第二项，即加速度和质量之积并冠以负号可以认为是惯性力.倘若认为这个力是施加于运动物体的，那么作用在物体上的力是平衡的.达朗贝尔的著作发表后，系统力学就开始迅速地发展起来.

每一系统是用属于该系统的全体质点在此时的位形加以表征，这样的位形可以看成是多维空间的一个点.拉格朗日在其《分析力学》中给出了系统状态及其运动的坐标表象之普适方法，即广义坐标法，并且找到了一个量，这个量是坐标和速度的函数，在系统运动时，该量有不变性.

牛顿定律在非惯性系中除了有真实的相互作用的力外，还受到惯性力的作用.设非惯性系相对于惯性系的加速度为a₀，质量为m的质点相对于非惯性系的加速度为a₁，则惯性系测得质点受到的力为：F=m(a₀+a₁)=ma₀+ma₁= -+ma₁，F+=ma₁．其中= -ma₀为惯性力．

设质点在和的作用下，相对于惯性系有一位移元d=dt，其中是质点相对于非惯性系的速度，dt是产生这一位移所需的时间.用d点乘（*）式的两边得：（+）d=md=md=md=d(m)，即dA+dA=d(m)（7），其中dA=d，dA=d分别是合外力和惯性力对质点作的元功.对（7）式两边积分得：A+A=mV-mV=E-E（8）式即为非惯性系中单一质点的动能定理，这表明在非惯性系中动能定理只是比惯性系多了一项惯性力所做的功.

质点组就是由相互作用的质点组成的系统.设质点组有n个质点组成，在某一运动过程中，作用在各个质点的合力的功和惯性力的功记为A和A（i=1，2，3，…，n)，根据（8）式，每个质点的动能定理：A+A=E-E（i=1，2，3，…，n)(9)式求和得：⁺=-=E-E（10）式为非惯性系中质点组的动能定理.与惯性系中质点组的动能定理相比仅多了惯性力的功.

2.非惯性系中的动能定理和机械能守恒

牛顿运动定律是在惯性系中适应的，在非惯性系中不适应.为了方便解决一些力学问题，扩大了牛顿定律的适应范围，使之在非惯性系中也适应，这就引入了惯性力的概念，我们认为在非惯性系中除了有真实的相互作用的力外，还受到惯性力的作用.一非惯性系相对于某一惯性系的加速度为，则惯性力为：=-m                     (1)

其中的m为物体的质量，符号表示方向，与的方向相反.这时牛顿第二定律在非惯性系中就可以表示为：+=-m                                            （2）

上式中的为质点所受的合力，为质点相对于非惯性系的加速度.设质点在和的作用下，相对于惯性系有一位移元d=dt，其中是质点相对于非惯性系的速度，dt是产生这一位移所需的时间.用d点乘（2）式的两边得：

（+）d=md=md=md=d(m)，即dA+dA_惯=d(m)（3）

其中dA=d，dA_惯=d分别是合外力和惯性力对质点作的元功.对（3）式两边积分得：A+A_惯=mV₁²-mV₂²=E_k-E_k0                                                                       （4）

（4）式即为非惯性系中单一质点的动能定理，这表明在非惯性系中动能定理只是比惯性系多了一项惯性力所做的功.

质点组就是由相互作用的质点组成的系统.设质点组有n个质点组成，在某一运动过程中，作用在各个质点的合力的功和惯性力的功记为A_i和A_i惯（i=1，2，3，…，n)，根据（4）式，每个质点的动能定理：A+A=E-E（i=1，2，3，…，n)       (5)

式求和得：+=-=E-E                      （6）

式为非惯性系中质点组的动能定理，与惯性系中质点组的动能定理相比仅多了惯性力的功.

文献[10]证明了所有惯性力都是保守力，，即:系统势能增量的负值等于保守力（含惯性力）做功的和.

在非惯性参考系中系统的机械能为动能、势能之和，则，即：系统机械能的变化量等于非保守力所作的功.若，则

即：若非保守力不做功时系统机械能守恒.

3.折合质量（约化质量）、折合力的引入

考虑质量分别为m₁和m₂的两个相互作用的质点，它们之间的相互作用力和遵从牛顿第三定律，相对于某一惯性参照系S，两质点的牛顿第二定律可表示为，，这两个方程又可表示为²，，两式相减，并考虑到＝－，则有.

引入，于是上式可表示为，r为m₁相对于m₂的位移，这里的μ称为折合质量（约化质量），式⑴就是两体问题的相对动力学方程，它与牛顿第二定律的形式十分相似.它表明，若选取m₂为参照系（非惯性参照系），则m₂对m₁的作用力等于折合质量（约化质量）乘以m₁对m₂的相对加速度.

在粒子物理实验中，没有采用“折合质量”，而是采用质心系（实验室坐标系）.不过在相对论量子力学中，处理两个Klein-Gordon粒子的复合体系时，可以采用折合质量（这里的质量，都是指静止质量，不是运动质量），如可见复旦倪光炯的《高等量子力学》.这说明，在相对论量子力学中，折合质量方法仍旧是成立的.

在上面的问题中，m₂对m₁的作用力也可以等效认为F′=F(1+m₂/m₁)，称为折合力，此时计算加速度时质量用其固有质量.

4.非惯性系中的浮力与液体压强

①当容器在竖直方向上做匀加速直线运动（以为竖直向下为例）.

                                                                                              图1

在液体内部取一段圆柱形液柱，设其底面积为，高为，且a（如图1），对其受力分析，有牛顿第二定律，得.

设为液柱体积，则.

故液柱地面上的压强

，

同理，当容器具有竖直向上的恒定加速度时，有，

则当容器在竖直方向上做加速运动时，液体内部浮力与压强可表示为

，.

在物理学中人们通常把叫做“视重力加速度”，于是由上面的讨论可以得出结论，当容器在竖直方向上做加速运动时，液体内部某一点的压强等于液体密度、视重力角加速度以及该点所处的深度三者的乘积.而物体所受的浮力的大小等于所排开液体的“视重力”.

②当容器在水平方向上做匀加速直线运动（以为水平向左为例）. 类似于爱因斯坦的等效原理，爱因斯坦的“广义相对论”是关于惯性力和引力问题，以解决惯性与重量之间的关系.有一天，他脑海里突然闪现了一个念头，如果一个人正在自由下落，他决不会感到有重量.由此假想出一个实验：在一个密闭的箱中，一个人是无法知道其对箱底的压力是来源于自身的重力还是来源于箱向上加速时产生的惯性力.依据这个假想的实验，他提出了两个基本原理：①物理学定律在任何参考系都具有相同的数学形式.称为“广义相对性原理”.②在一个小体积范围内的万有引力和某一加速系的惯性力相互等效.称为“广义等效性原理”.

讨论一，当容器在水平方向上做匀加速直线运动时，容器内液体的液面不再呈现水平状了.

假设液体密度为，水平加速度为，由于竖直方向不存在加速度，所以根据上面的讨论可知，液体内部的压强仍是.而为了讨论液面的情况我们可在液面内部取一段细小的长方体液柱，对其受力分析（如图2）.

                               图2

竖直方向二力平衡，则，.所以当容器具有水平加速度时，与在惯性系中液体内部压强表达式相同，仍为.

讨论二，假设液柱底面积为，长为，液面倾角为（如图3）由于液柱仅在水平方向上具有加速度，所以液柱前后面上的压力相互抵消，液柱上下面的压力差与液柱的重力相互抵消.而液柱左右两侧面上的压力差使液柱沿水平方向做匀加速运动，当底面积趋于0时由牛顿第二定律得.

                     图3

其中，，.

则有，.

上式表明，液面的倾角与容器的水平加速度存在一定的关系.

讨论三，下面进一步讨论液体内部的浮力.

如图4所示，在液体内部取一段圆柱体液柱，并使其上、下底面平行于液面，即中轴垂直于液面，设倾角为，液柱底面积为，高为.

                                    图4

很容易看出液柱侧面上所受的压力相互抵消液柱上、下底面所受的压力差就等于它所受到的浮力.

由此可得出，

因为，根据数学知识可得出.

则.

同理，当容器的加速度为水平方向左时压强与浮力的表达式为.

由上式可知，浮力的方向沿液柱的轴线方向并垂直指向液面.这一结果对于液面中的物体来说都是正确的.

则当容器在水平方向做加速运动时有， ，.

这里，如果仍然把称作液体的“视重力”，则可得下述结论，当容器沿水平方向做加速运动时，浸在液体中的物体受到液体浮力的作用，浮力的大小等于物体所排开液体的“视重力”，方向垂直于液面.

下面再思考一下压强公式，显然，这里的是指竖直方向到液面的距离.若用该点到液面的距离来描写压强，显然有，这时，压强公式可以改写成.

5.广义相对论对于惯性力的放弃

由于引力的存在，任一物质的参考系总有加速度，因而不可能有真正的惯性系.只不过尺度越大，物质越稀疏，相应的引力越弱，因而能找到更好的近似惯性系.惯性力是非惯性系自身的加速运动在质点上的反应，而不是一种物质间的相互作用.高炳坤教授在《“机械能守恒定律是否遵从相对性原理”辨》和《能量追踪》中的问题的症结也在这里，只能引入虚拟的惯性力，主要是高教授受到马赫思想的影响，惯性力是真实的，它来自遥远天际的群星，既然惯性力可以做功，那遥远天际的群星与被作功的物体之间就有能量交换，爱因斯坦尽管开始信奉马赫的观点，但广义相对论最终还是放弃了马赫原理.在经典力学中，抽象定义的“惯性力”被人们称为一个思维难点.其实，正是这种思维难点中存在的逻辑不一致性，本质地暴露了经典力学哲学基础上的根本问题.对于“惯性力”的解释及相应逻辑推理中存在的逻辑混乱，人们无法回避.一个最直接，也是最基元的认识悖论是，当人们利用这个形式定义的“力”，去描述物质世界中真实作用的同时，又在反复强调，这个形式定义的力完全是虚拟的，是不真实存在的.因此人们需要对包括马赫、汤川秀树等许多学者都已经意识，但是尚没有能够逻辑地解决的牛顿经典力学体系深刻存在的一系列逻辑不自洽问题进行深入分析.

爱因斯坦曾经讲过：“就马赫而论，我想把他的一般影响和他对我的影响区别开来.……特别是在《力学》和《热学》中，他总是努力证明概念是怎样来自经验的.他令人信服地采取这样的立场：认为这些概念，甚至是最基本的概念，都只能从经验知识中得到它们的根据，它们在逻辑上决不是必然的.……我看他的弱点正在于他或多或少地相信科学仅仅是对经验材料的一种整理；也就是说，在概念的形成中，他没有辨认出自由构造的元素.在某种意义上他认为理论是产生于发现，而不是产生于发明.他甚至走到这样的地步：他不仅把‘感觉’作为必须加以研究的唯一材料，而且把感觉本身当作建造实在世界的砖块，因此，他相信他能够克服心理学同物理学之间的差别.只要他把这种想法贯彻到底，他就必然会不仅否定原子论，而且还会否定物理实在这个概念.至于说到马赫对我的发展的影响，它的确是很大的.我记得十分清楚，在我学习的最初年代里，你曾使我注意到他的《力学》和《热学》，这两本书给了我深刻的印象.它们对于我自己的工作的影响程度，说实在的，我并不清楚.就我所意识到的来说，休谟对我的直接影响还要大些.……但是，如我所说的，我没法去分析那些在不知不觉的思想中停泊的东西呀.”爱因斯坦指出依据马赫原理应该期望：（1）在物体附近有物质堆积时，它的惯性质量应增加；（2）邻近物体作加速运动时，此物体应受到一个与加速度同方向的加速力；（3）转动的中空物体，必在其内部产生径向离心力与科里奥利力.实验发现，广义相对论中的这些效应的确存在，但不象马赫原理期望的那么大.广义相对论给出了介乎牛顿立场与马赫立场之间的中间立场.比较彻底地贯彻了马赫原理的是Brans-Dicke理论，而不是广义相对论.爱因斯坦在1954年说出了下面这段话：“在我看来，我们根本不要再继续谈论马赫原理了.该原理是在这样的一个年代产生的，那时人们认为有重物质是唯一的物理实在，并且认为要在理论中有意识地避免一切不由有重物体完全决定的元素.我完全清楚这一事实：有很长一段时期，我也受到这种顽固思想的影响.”

爱因斯坦说：“经典力学包含一个根本性的不和谐点：同一质量常数以不同的角色出现了两次，即运动定律中的“惯性质量”和引力定律中的“引力质量”.结果是：纯引力场中的物体的加速度与其惯性质量无关，或者说，在一个匀加速（相对“惯性系”而言）的坐标系中，运动的行为恰如在一个均匀引力场（相对“不动”的坐标系而言）中一样.若假定两种情形的等效性是完全的，那就合乎我们的逻辑思考，即引力质量和惯性质量是相等的.”^[16]“惯性质量和引力质量相等这件事、、、可以表述如下：如果在一个（空间范围很小的）引力场中，我们不是引进一个惯性系，而是引进一个相对于它作加速运动的参照系，那么事物就象在没有引力的空间里那样运动.”即“参照系的加速同引力场等效.”^[10]广义相对论研究的是引力场中的物质运动，根据等效原理和广义协变原理，只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式，就可以得到除引力场之外的一切物理定理.要做到这一点，只需把定理中的普通微分改写为广义协变微分就可以了.按照爱因斯坦的自述，他创立广义相对论是因为光线在引力场中变弯的事实证明，真空光速不变原理不能成立，因此1905年发表的《相对论》“以及随之整个相对论就要化为灰尽了”，为了让相对论适用于引力场，便通过证明“无引力场”的惯性质量与引力场的引力质量相等，即等效，而创立广义相对论的.狭义相对论只适用于惯性系，在这种情况下，加速运动是绝对运动.爱因斯坦要从物理学中赶出绝对运动，为此他借助于只受重力作用而自由降落的升降机，开始了他的研究.他发现，在升降机里出生并成长起来的物理学家将确信在我们看来加速下降的升降机就是一个惯性系，在那里惯性定律等经典力学定律是严格有效的.因此“…在两个并非相对作直线匀速运动的坐标系中的物理现象要作出一致的描述也是可能的.但是要作这样的描写，我们必须把引力考虑在内，它构成从一个坐标系过渡到另一个的‘桥梁’.外面的观察者认为存在引力场，里面的观察者却认为不存在.外面的观察者认为，存在着升降机在引力场中的加速运动，里面的观察者却认为升降机是静止的，而且引力场也是不存在的，但是引力场这个‘桥梁’，使两个坐标系中的描写成为可能，这个桥梁架设在一个很重要的礅柱之上：引力质量和惯性质量的相等.”借助于这个想象实验，爱因斯坦得到了广义相对论的等效原理：在引力场中任一时空点，惯性力场与引力场的动力学效应等效.因此，局域的真实引力场和局域的非惯性系是无法区分的，这是对惯性系和非惯性系之区别的本质把握.等效原理亦可叙述为：所有局部的，自由下落的，无旋转实验室对于所有的物理实验都是完全等效的.升降机内外的物理学家关于升降机的两种描述，“…都很能自圆其说，因而不可能决定哪一个是正确的.”因此，“我们可以把绝对运动和惯性坐标系的鬼魂从物理学中赶出去，而建立一个新的相对论物理学.”在新的物理学里，“我们便可以把自然定律应用到任何一个坐标系中去.于是，在科学早期的托勒密和哥白尼的观点之间的激烈斗争，也就会变成毫无意义.我们应用任何一个坐标系都一样.”就这样爱因斯坦建立了只有相对运动而没有绝对运动的一种物理学.具有加速度的非惯性系内物体受到惯性力的作用.而广义相对论的等效原理认为在局域范围内惯性场与引力场动力学效应等效.这即意味着相对论效应只取决于我们研究的物体周围的力场.谈到广义相对论时，爱因斯坦说：“这理论主要吸引人的地方在于逻辑上的完备性.从它推出的许多结论中，只要有一个被证明是错误的，它就必须被抛弃；要对它进行修改而不摧毁其整个结构，那似乎是不可能的.”对于广义相对论，爱因斯坦在实验证据不足的情况下也是十分自信的.他曾这样说过：“当1919年日蚀证明了我的推测时，我一点也不惊奇.要是这件事没有发生，我倒会非常惊讶.”

广义相对论是由下述两方面所推动：等效原理以及在对称（或不变性）思想方面的有远见的发展.关于后者，爱因斯坦在其晚年著作《自述注记》中写道：“……狭义相对论（洛伦兹变换下的定律的不变性）的基本要求太窄，即必须假定，定律的不变性对于四维连续域中坐标的非线性变换而言，也是相对的.”爱因斯坦说过：“广义相对性原理实际上并非以任意选择的方式导向纯引力场的理论”.

广义相对论中的两体问题是指在广义相对论的框架下求解存在引力相互作用的两体动力学问题，可以认为大质量M的位置在空间中是固定的，并且只有大质量的引力场对周围时空曲率变化有贡献.这时的时空曲率可由爱因斯坦场方程的史瓦西解来描述，而小质量（以下简称“粒子”）的运动可由史瓦西解的测地线方程来描述.在广义相对论中任何物体都沿着自己的短程线运动，经典力学中的这些困难才避免.广义相对论中的短程线方程是，式中是4维速度，是4维加速度.这个式子的数学意义是，4维加速度是4维速度的二次函数.可见爱因斯坦在解决引力传递问题时巧妙应用了这－基本物理事实而得到广义相对论、、.

平直空间体现为黎曼曲率张量为零；弯曲空间体现为黎曼曲率不为零.值得注意的是，黎曼曲率代表空间是弯曲的（空间的一种内禀属性）.假如，使用的材料可任意形变（例如，橡皮等）；这意味着，当你拉伸该材料（例如，橡皮等）并使其形变时，距离将会发生改变.例如，在该材料（例如，橡皮等）表面上画一条线段（L），并将该材料（例如，橡皮等）卷在一个圆柱体上，则该线段（L）将变长.这意味着，黎曼曲率是指内禀曲率.而日常生活中，弯曲（从平面角度观测）是指外曲率.例如，在一张纸上，画了一条一定长度（L）的线段，将该纸卷在一个圆柱体上，则该线段的长度（L）仍然保持不变.

显然，内禀曲率与外曲率是完全不同的概念.

从测地线方程可以推出广义相对论的关键性实验证据，著名的水星近日点的进动，以及光线在太阳引力场中的偏折.广义相对论的两体问题中还涉及了引力辐射造成的轨道衰减，这是一个纯粹的相对论效应，没有对应的经典力学版本.广义相对论建立了完善的引力理论，而引力理论主要涉及的是天体.到现在，相对论宇宙学进一步发展，而引力波物理、致密天体物理和黑洞物理这些属于相对论天体物理学的分支学科都有一定的进展，吸引了许多科学家进行研究.在所有科学学科中，宇宙学是最吸引公众的学科之一.康德说过：“有两种事物，我们愈是沉思，愈感到它们的崇高和神圣，愈是增加虔诚与信仰，这就是头上的天空和心中的道德律.”古代天文学，以天体测量为主，主要研究天体在空间的位置及其运动；至牛顿时代，牛顿创立牛顿力学，使天文学出现了一个新的分支--天体力学，这是天文学发展历史上的一个巨大飞跃；以爱因斯坦提出广义相对论为标志，天体物理学自此诞生并一跃成为天文学研究的主流….现代宇宙学从整体上研究大尺度的时空性质，物质运动的规律.它是当代天文学中最活跃的前沿阵地之一.现代宇宙学的最大特征是必须尊重观测到的客观事实，必须能在理论物理学的基础上给予科学的说明.它涉及到恒星的起源和演化，星系的起源和演化，元素的起源和演化等多方面的基础理论问题.

结束语

为什么会有科学本身存在？自然界中为什么会存在那么多精美和谐的科学规律？宇宙中万事万物都永远绝对地遵守着，并行和谐地演化着！科学遵循的原则是，在充分必要的条件下越简单越好.卢瑟福认为“一个好的理论应该连酒吧女郎都能看懂.”伽利略把观察和实验作为科学研究的坚实基础.他在研究工作中，采取了下面一个对近代科学发展很有效的研究方法：对现象的一般观察→提出工作假想→运用数学和逻辑的手段得出特殊结论→通过物理的或理想的实验对推论进行验证→对假设进行修正和推广.伽利略所创设的实验方法、严格的逻辑与数学推理方法，对后世新科学思想的发展有着深刻的影响.

美国物理学家L·斯莫林在认真梳理物理学发展史后，在《物理学的困惑》一书中总结道，“从18世纪80年代到20世纪70年代，我们关于物理学基础的认识，大概每10年就有一次大的进步.但自20世纪70年代以来，我们对基本粒子物理学的认识还没有一个真正的突破.弦理论、圈量子引力以及其他试图统一物理学的各种方法，它们都还没有到达那个前沿.通常的借口是说，那个尺度的实验还无法实现----但我们已经看到，事情不是这样的.因此一定还有其他原因.我相信我们还缺失某个基本的东西，我们还在做着错误的假定.那样的话，我们需要将错误的假定找出来，用新的思想来取代它.那个错误的假定会是什么呢？我猜它涉及两个因素：量子力学的基础和时间的本质.……我越来越觉到量子理论和广义相对论在深层次上都把时间的本质弄错了.但只结合它们是不够的，还有一个更深层次的问题，也许要追溯到物理学的起源.”一个科学家，不论是理论家还是实验家都提出陈述或陈述系统，然后一步一步检验它们.说得具体一些，在经验科学的领域里，他们构建假说或理论系统，然后用观察和实验，对照经验来检验它们.

最后用著名的理论物理学家、诺贝尔奖金获得者杨振宁的一段话结束这个问题的分析：“美的追求是科学发展的一个动力，美的鉴赏是作出科学抉择的一个重要条件，在美的探索中形成了科研的不同风格，今天我们比以往任何时候都没有理由容许我们放弃这个奇妙的信念.做科学研究是有所谓风格的，每一个人对于规律的美和妙的地方会有不同的感受，他对于一切现象、结论、结构就有偏好，这就发展出他的风格，这个风格影响到他将来研究工作课题的研究方向，影响到他将来研究问题的方法，所以风格有决定性的作用”.

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The law of conservation of mechanical energy is the law of particle dynamics

—A review ofresearch to the relationship between the principle of mechanical relativity and the Law of conservation of mechanical energy

Abstract:This paper analyzes eighteen problems that need to be understood accurately when studying the relationship between the conservation of mechanical energy and the principle of relativity of mechanics，It is these questions that have led to long-standing debates，It is suggested that the mechanics textbook should specify，According to the definition of potential energy，the general formula of potential energy in inertial system can be derived.The external potential energy can not have the invariance of Galilean transformation.At last，a brief general proof is given that the law of conservation of mechanical energy satisfies the principle of relativity of mechanics，and Newton's law of motion satisfies Galilean transformation，are all the sufficient condition for the law of conservation of mechanical energy to satisfy Galilean transformation.In this paper it is explained that the law of conservation of mechanical energy  must Obey the relativity principle of mechanics.

Key words:Conservation of mechanical energy；Mechanics relativity principle； Potential energy formula； Potential energy theorem；Particle dynamics.