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狭义相对论中的机械能守恒定律

Einstein在1948年为《美国人民百科全书》所写的《相对性：相对论的本质》条目中所强调的“运动决不可能作为‘对于空间的运动’或者所谓‘绝对运动’而被观察到的，‘相对性原理’在其最广泛的意义上是包含在如下的陈述里：全部物理现象都具有这样的特征，即它们不为‘绝对运动’概念的引进提供任何根据；或者用比较简短的但不那么精确的话来说：没有绝对运动.”狭义相对论不像Newton力学、电动力学和广义相对论那样是个独立的动力学理论,它只是对原有理论如Newton力学和电动力学（麦克斯韦方程）的一种修正，其实主要是对Newton力学的修正,修正的目的就是使Newton力学与麦克斯韦方程协调一致,修正的方法就是通过将光速不变上升到原理，将Newton的绝对时空改为相对时空，同时用洛伦兹变换协调,达到的目的有两个，第一、使Newton力学与麦克斯韦方程都在惯性系下保持不变或者说普遍的自然定律对于洛伦兹变换是协变的;第二、在修正Newton力学过程中产生一些副产品：惯性质量增加、能量动量质量守恒和质能等价关系式.笔者认为狭义相对论质点动力学与Newton质点动力学的区别只是把洛伦兹变换替换了伽利略变换，动能的计算公式发生了变化，仍然只是对于惯性系成立.引力是保守力，这是引力最重要的一个物理性质，这个性质在Newton力学里已被证明了.现在有一个问题，引力是保守力这一性质，在相对论的情况下，还能够成立吗？为了简化问题我们假设引力的传播速度为无穷大. 

定理：在狭义相对论中任意一个静态球对称星球的引力场是一个保守力场.

证明： Newton理论只能用于质点运动速度远小于光速的情况.当引力场很强时，在引力作用下的质点运动速度与光速相比不再是一个可忽略的小量，此时质点的质量也不再是一个常量，而是一个随速度变化的变量.在这种情况下，需要对Newton力学的质点运动方程进行修正，我们需要把狭义相对论中质量随速度变化的规律考虑进去，我们可以得出如下形式的质点运动方程：                                            （1），

根据狭义相对论的质量公式：                       (2),

将公式（2）代入公式（1），整理后可得：²  (3),公式（3）是考虑了相对论效应后，质点在星球引力作用下的运动方程，我们可将公式（3）的右端理解为万有引力在相对论中的推广，即：

                                           (4).

由于在静态球对称情况下，速度u只是r的函数，因此我们有：                                                 (5),

将（5）代入（3）可得：                     （6）,

对上式积分，同时代入边界条件：r =时，u=0积分后可得：                                                 (7),

由公式（7）可得                           (8),

将公式（8）代到公式（3）中        (9),

将公式（8）代入公式（4），我们又可以得到等效引力的另一种形式                                         (10)

      从引力公式（10）可以看出，F只是位置r的函数，因此也存在一个等效引力势，它应满足：                     （11），

对上式积分，并引入边界条件r =时，=0于是得到：

                                     （12）, 将（12）代入到运动方程（9）中，则相对论引力场中的质点运动方程为：                                              （13）,

对上式进行积分，利用公式（5）并注意边界条件：r =时， = 0, = 0,最后得到：                                     (14).

方程(14)就是考虑了相对论效应后的能量守恒方程，它与Newton力学的能量守恒方程在形式上是相同的，二者的区别仅在于，这里用相对论的引力势代替了Newton引力势.我们知道，Newton引力场是一个保守力场.现在，由（14）我们不难得出，相对论的引力场也是一个保守力场.在Newton力学里，能量守恒方程的含义是，质点运动时其动能与势能之和等于常数，在相对论情况下则变成，质点运动的等效动能与等效势能之和等于常数.

总之，对于静态球对称的相对论引力场，我们可以证明其能量守恒方程与Newton力学的方程在形式上完全相同.因此任意静态球对称星球的引力场是一个保守力场，这个结论无论是在Newton力学还是狭义相对论均成立，于是定理得证.

笔者认为：机械能守恒定律在狭义相对论中也是成立的，机械能守恒定律不但满足力学相对性原理也满足狭义相对论性原理，也必须以质心为参照系. 下面以地月系统为例写出狭义相对论中的系统状态机械能守恒定律——

仅当不存在非保守力或非保守力所作之功可以忽略时，地月系统的动能（包括转动动能）与势能之和为常数，即当时，E=E_K+E_P=（m_{地球的运动质量}+ m_{月球的运动质量}-m_{地球的静止质量}- m_{月球的静止质量}）c²+G（m_{地球的运动质量}m_{月球的运动质量}）/r,其中r =k₂r₀,.此时也是以系统的质心为参照系，机械能守恒定律只是普遍的能量转化和守恒定律的特殊形式.