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滑轮组中拉力与物体重力关系新探

摘要：提出了在滑轮组利用绳子张力不变分析拉力和重物重量之间的关系才抓住了问题的本质，处理问题也比较简单，并通过实例验证了这个问题.

关键词：滑轮组；张力；重量；轻绳

在滑轮组中拉力与物体重力大小之间的关系，一直是中学物理教学中的一个难点.教材中是这样叙述它们之间的关系的：在定滑轮中，拉力与重力相等；在动滑轮中，拉力等于重力的一半；滑轮组中，如果有几根绳子承担物体的重力，那么拉力就等于重力的几分之一.运用这种方法分析拉力与重力之间的关系，对于简单的滑轮组尚可以；对于复杂的滑轮组，尤其是含有联动滑轮的滑轮组则相当困难.

但是，倘若我们从另一个角度分析滑轮组中拉力与物体重力大小之间的关系，这种困难就可以迎刃而解.由于拉力拉起重物的实质在于拉力使绳子产生张力，张力将物体拉起，因此只有从绳子的张力出发分析拉力和重力的大小关系才算真正抓住了其实质，教材中利用力矩分析虽然也是等效成立的，但是没有揭示其更本质的内涵，特别是当绳子的角度变化时张力为何基本不变，学生难以理解.如果我们设计两个半径不等半圆性的光滑滑轮上面平滑连接，固定在墙上，此时如果忽略绳子的重量以及摩擦等因素拉力也等于重力，如果从力矩角度分析难度很大.由于在中学阶段不考虑滑轮能量（重力势能、平动动能和转动动能）的变化，本文忽略空气阻力、绳子与滑轮的摩擦力.初中教材由于初中生对于张力理解不深，可以利用杠杆和轮轴（轮轴作为变形的杠杆）引出功的原理，然后利用功的原理讲授滑轮.

欧几里得几何以少数几个公理作为基础，通过演绎推理得到许多几何知识.几何学的这些公理是自明的，不需怀疑.演绎性的知识体系一般以这种方式建立理论.然而，许多这类理论看起来“自明”的原理实际上常常并不了原理的正确性之后，人们才可能把这些原理打造成可靠的理论体系.爱因斯坦把科学家比作依靠少量线索就可以找到答案的侦探，说科学家像侦探那样寻找事件和事件之间的联系，然后创造性地运用想象力把它们联系起来.爱因斯坦所说的就是这种思维方式，他说：“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方式是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端”.总之，在困难的情况下创造合是那么可靠，这就使这类演绎性理论的可靠性成为一个问题.物理学的原理一般是隐藏在现象之后的，是有待发现的，不是自明的，甚至可能在被发现几百年之后还没有被透彻理解，例如经典力学中的质量概念.物理学家运用推理的主要目的是揭示直觉中的内容，或者矫正直觉，从而发现隐藏在现象之后的规律.通过这种思想方法实现了对原理的追溯、发现了原理、确认了原理的正确性之后，人们才可能把这些原理打造成可靠的理论体系.爱因斯坦把科学家比作依靠少量线索就可以找到答案的侦探，说科学家像侦探那样寻找事件和事件之间的联系，然后创造性地运用想象力把它们联系起来.爱因斯坦所说的就是这种思维方式，他说：“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方式是人类思想史上最伟大的成就之一，而且标志着物理学的真正开端.”

力的大小、方向和作用点是力的三要素，但是必须本质地看待力的作用点问题，根据牛顿第二定律力必须作用在有质量的点上，文献[1]说明了轻质弹簧传递力，类似地对于轻绳而言力的作用点应该为重物.我们可以把牛顿第二定律和欧姆定律进行类比，合外力相当于电压，质量相当于电阻，加速度相当于电流.导线抽去电阻、电感等属性后用电器的电压等于导线两端的电压一样.类似于不考虑电阻、电感等属性的导线不能承担电压和消耗能量一样，轻绳不能单独承受力^[2]，也不能储存能量^[3].

为了运用张力分析滑轮组中拉力与物体重力大小之间的关系，我们给出两条基本假设：①对于同一段轻绳，无论怎样缠绕，其张力大小是相同的；②对于滑轮组中的每一个滑轮受力是平衡的.

由此易知：定滑轮只改变力的方向，而不改变力的大小；动滑轮既能省一半力，也可以费一倍力，下面以滑轮组为例说明其应用.

例1如图1，忽略滑轮的重量和摩擦力，求证：拉力F₂是重力的1/4.

(图1)

解析：由于拉力为F₂，则绳子的张力为F₂，所以G=4F₂，而承担重物的绳子有四股，说明——在一个只有定滑轮和动滑轮组成的滑轮组中承担重物的绳子有几股，则拉力为重力的几分之一.

例2如图2所示，求拉力与物体重力之间的关系

解：如图所示，由于绳子的拉力为F，则绳子的张力为F，G=5F.

（图2）

例3如图3所示，求拉力与物体重力之间的关系

解：如图所示，由于绳子的拉力为F，则绳子的张力为F，G=8F.

（图3）

上面两个题目，从绳子张力角度分析非常简洁明了，但若去数承担重物的绳子股数有一定困难.

以上几个题目都是当重物处于平衡状态时拉力与重力之间的关系，下面讨论一下处于变速状态下，加速度和速度的大小关系.

例4如图所示，设物体的重力为50N，绳子的拉力F=40N.

求（1）物体的加速度.（2）若物体匀速上升，绳子的速度与重物速度之间的关系.

（图4）

解：如图所示，由于绳子的拉力为F，则绳子的张力为F，故此时物体受到的合力F_合=9F-G=360N—50N=310N,加速度a₌F_合/m=310÷（50/9.8）=60.76(m.s^-2).

物体处于平衡状态，则G=9F，故重力为拉力的9倍，根据功的原理，绳头移动的距离应为物体移动距离的9倍，故绳子末端速度应为物体速度的9倍.

练习：如图(a)、图(b)，请找到F与G的关系.

在上面的分析中，均忽略了滑轮、绳子的重力以及它们之间的摩擦力，如果将这些因素考虑进去，可用类似方法分析，譬如下面这个问题——————

例5某工人将自己和一些货物提到一个高为h的平台上去,他找来了三个滑轮和一个吊板,请你为他设计一滑轮组帮助达到目的.如果该工人重为600N,吊板重1000N,每个滑轮重100N,不计绳重与摩擦.(1)在图上画出滑轮组及绕线(2)算出你设计的滑轮组能带的货物重力最多为多少.(3)算出你设计的滑轮组机械效率.(以省力多、机械效率大为最佳方案).

解:(1)滑轮组的结构如图所示

    (2)人拉绳子的拉力为F,在不计绳重和摩擦的情况下,最左边绳对吊板的拉力大小也为F,中间绳子拉力F₁=2F+G_滑轮=2F+G_滑轮,最右边绳子对吊板的拉力F₂=2F₁+G_滑轮=4F+3G_滑轮.

根据人的受力情况有F+Q=G_人，其中F为绳拉力,Q为吊板对于人的支持力.

当Q=0时,F最大,有F=G_人,则有2F+F₁+F₂+Q=G_货+G_板+G_人,即F+F₁+F₂+0=G_货+G_板，

F+(2F+G_滑轮)+(4F+3G_滑轮)=G_货+G_板,G_货=7F+4G_滑轮-G_板=7×600N+4×100N-1000N=3600N

(3)η=W_有/W_总=(G_人+G_货)h/(G_人+G_货+G_板)h=(600N+3600N)/(600N+3600N+1000N)=80.8%.

例6  弹簧的一端悬挂一物体，另一端用手固定，则放手的瞬间物体的加速度为多少？

观点1：物体的瞬时加速度为0，理由——放手的瞬间，弹簧没有收缩，弹簧弹力不发生突变，以物体为研究对象，物体受力情况与放手前相同，所以物体仍处于平衡态，物体此时的加速度为0.

观点2：物体的加速度为g，理由——放手的瞬间，弹簧没有收缩，将弹簧和物体看做一个整体，整体只受重力，所以此时物体的加速度为g.

正确分析：假设物体的质量为m₁，弹簧的质量为m₂，放手后系统所受的合力为重力（m₁+m₂）g，放手的瞬间弹簧没有收缩，物体所受的合力为0，瞬间加速度为0.弹簧所受合力为弹簧的重力加物体的重力m₁g+m₂g，弹簧质心加速度为（m₁+m₂）g/m₂，弹簧质心上方的部分加速度大于（m₁+m₂）g/m₂，下方的部分加速度小于（m₁+m₂）g/m₂，加速度的方向都是向下，和物体接触的点可以近似认为加速度为0，观点1正确.

如果是轻质弹簧，默认m₂=0，放手后系统所受的合力为重力m₁g，系统的质量为m₁，整体的加速度为g，物体的加速度为g，观点2正确.

观点1和观点2都是只说明了一种情形，弹簧是否具有质量，结论不相同，量变引起了质变.

事实上，对于轻质弹簧而言，相当于一个场^[4]，放手后这个场就不存在了，只需研究物体就可以了.文献[5]的观点是错误的，文献[6]的结论是正确的.

本文进一步证明了文献[1]的观点是正确的，忽略质量的轻绳、轻杆、轻质弹簧可以传递力.

如果是变速运动，利用分析力学来解决较为简单.

例7如下图所示的滑轮系统，动滑轮上悬挂质量为的重物，绳子绕过定滑轮后悬挂质量为的重物，设两均质滑轮的质量为，半径为，绳的质量及轮轴处的摩擦不计，试求定滑轮的角加速度及质量为的重物加速度.(本题供大学生参考)

解：取整个滑轮系统为研究对象，系统为完整、理想、双侧束的约束，所受到的主动力为、和，惯性力为重物：，，轮：，，，则由虚位移原理得

（1）

因此系统为1个自由度，设广义虚位移为动滑轮的角位移，则虚位移间的关系为

，，（2）

则式（1）为

即

由于虚位移是任意独立的，有

又由运动学知

角加速度关系：

加速度关系：，

则定滑轮的角加速度为

质量为的重物加速度为

物理学还有不少的基础问题尚待解决，年青一代的中国物理学者，好好把握这个新时代的优势，不但要努力尝试去解决仍未解决的问题，更要好好选拔和培育下一代的接班人，把一个完整的、合逻辑的和合事实的物理思想系统发掘出来.

爱因斯坦于1907年在《相对性原理及其结论》这篇论文中设想，要把相对性原理推广到任意坐标系中.他从牛顿引力中惯性质量和引力质量相等看出，一定有一把可以更深刻地理解惯性和引力相互关系的钥匙.假想实验再次帮了他的忙，他设想在一静止的电梯里一个物体做下落运动，电梯外的观察者认为物体的下落是由于受到外加的引力场作用的结果，而电梯内的观察者则可能作出电梯在以加速度上升的结论，很显然这个人是把引力场的效应用参照系——电梯的加速度来代替了.这样爱因斯坦就认为，在时空的小范围内，引力场同参照系的相当的加速度在物理上完全等价，也就是说在一个匀加速系统里看到的运动与存在有引力场的惯性系中看到的运动是完全相当的.这个假设就叫“等效原理”，它的启发性意义在于：它允许用一个匀加速参照系代替一个均匀引力场，这个匀加速参照系的加速度就等于惯性参考系中物体在这个均匀引力作用下产生的加速度.此后，爱因斯坦关于等效原理的思想又不断发展.他以惯性质量和引力质量成正比的自然规律作为等效原理的根据，提出在无限小的体积中均匀的引力场完全可以代替加速运动的参照系.爱因斯坦并且提出了封闭箱的说法：在一封闭箱中的观察者，不管用什么方法也无法确定他究竟是静止于一个引力场中，还是处在没有引力场却在作加速运动的空间中，这是解释等效原理最常用的说法，而惯性质量与引力质量相等是等效原理一个自然的推论.科学研究离不开想象，尤其是当代科学研究越来越抽象时，想象方法越加显得重要，几乎可以说缺乏想象能力的人，不可能在科学前沿有所突破.20世纪物理学的两次革命无一例外的运用了理想实验的方法，科学家都是在思想中塑造理想模型在纯化的条件下的运动过程，进行严密的逻辑推理，从而可以更本质、更生动地演绎出客体的规律.

参考文献：

[1]李学生,师教民．对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷[J]．物理通报,2014(9)：119～120．

[2]赵志栋，陈光红.轻弹簧之“困境”.物理通报，2016（5）：98～101.

[3]唐龙.例说能量的系统性和相对性.物理教师，2016（6）：18～19.

[4]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109～111．

[5]赵坚.一个值得探讨的问题.物理教师，2003（7）：13.

[6]王志成.也谈一个值得探讨的问题.物理教师，第26卷第5期，2005（5）：44.

New Exploration of the Relationship between Tension and Object Gravity in Pulley Systems

Abstract: It is proposed that by analyzing the relationship between tension and the weight of the heavy object using the constant tension of the rope in the pulley system, the essence of the problem can be captured, and the problem can be handled more simply. This is also verified through examples.    Key words: Pulley system; Tension; Weight; Light rope