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伯努利方程的协变性初探

摘要：先从矢量力学角度利用动能定理和机械能守恒定律推导了伯努利方程，然后从分析力学角度分析了伯努利方程，最后得出伯努利方程具有伽利略变换的不变性.

关键词：伯努利方程；伽利略变换的不变性；动能定理；机械能守恒定律；分析力学

D．伯努利(DanielBernoulli，1700—1782)的流体运动方程实际上就是流体运动中的机械能守恒定律，1726年伯努利通过无数次实验发现了“边界层表面效应”：流体速度加快时，物体与流体接触的界面上的压力会减小，反之压力会增加.为纪念这位科学家的贡献，这一发现被称为“伯努利效应”.伯努利效应适用于包括气体在内的一切流体，是流体作稳定流动时的基本现象之一，反映出流体的压强与流速的关系.丹尼尔在气体动力学方面的贡献，主要是用气体分子运动论解释了气体对容器壁的压力的由来.他认为，由于大量气体分子的高速规则运动造成了对器壁的压力，压缩气体产生较大的作用力是由于气体分子数增多，并且相互碰撞更加频繁所致.丹尼尔将级数理论运用于有关力学方面的研究之中，这对于力学发展具有重要的意义.

伯努利方程是能量方程式，说明在管内作稳定流动的理想液体具有压力能、重力势能和动能三种形式的能量，在适合限定条件的情况下，流场中的三种能量都可以相互转换，但其总和保持不变，这三种能量统称为机械能.由于理想流体压力是保守力^[1]，因此压力能也可以称为压力势能.假设地球质量充分大，从而稳定地保持为惯性系，此时一个保守力的功等于质点势能的减少^[2].

一、伯努利方程协变性疑难

如图a，理想不可压缩流体沿水平管道x方向稳定流动.设在位置1处流速为v₁，管横截面积S₁，压强为P₁；在位置2处流速为v₂，横截面积为S₂，压强为P₂，流体密度为ρ.在相对于管道静止的x系中，伯努利方程为P₁+ρv₁²/2=P₂+ρv₂²/2（1）

又有连续性方程：v₁S₁=v₂S₂（2）

现设想有一个相对管道以速度u（远小于光速）沿管道匀速直线运动的惯性系x^/，在x^/系中流体的运动又如何呢？根据伽利略变换：x′=x－vt，y′=y，z′=z，t′=t，可得：v_X′=v_X－u，v_Y′=v_Y，v_Z′=v_Z，即v′=v－u.

由于力F和面积S都是伽利略变换的不变量，因此压强P不随坐标系改变，另有ρ不随坐标系改变，于是（1）式变换为：

P₁+ρ（v₁′+u）²/2=P₂+ρ（v₂′+u）²/2，或P₁+ρv₁′²/2=P₂+ρv₂′²/2+ρu（v₂′－v₁′）（3）

显然，P₁+ρv₁′²/2≠P₂+ρv₂′²/2，即在x^/系中形如（1）式的伯努利方程失效了，（1）式实质上就是流体运动中机械能守恒的关系，流体可视为保守场；（1）式不协变说明在不同坐标系中功能关系的形式有所不同.

考察连续性方程：将变换关系代入（2）式得 （v₁′+u）S₁=（v₂′+u）S₂，即v₁′S₁≠v₂′S₂，连续性方程也失效了，一个无源场在坐标变换中可成为有源的场.

二、伯努利方程协变性疑难剖析

伯努利方程是能量守恒定律在机械能领域的表现形式，应该满足协变性要求，下面利用动能定理和机械能守恒定律重新推导一下伯努利方程

㈠  对于地面系观察者

设在右图的细管中有理想流体在流动，且流动方向从左向右，我们在管的a_１处和a₂处用横截面截出一段流体，即a₁处和a₂处之间的流体，作为研究对象.设a₁处的横截面积为S₁，流速为v₁，高度为h₁；a₂处的横截面积为S_２，流速为v_２，高度为h_2.

如图b所示，经过很短的时间Δｔ，这段流体的左端S_１由a₁移到b₁，右端Ｓ₂由a₂移到b₂，两端移动的距离为Δｌ₁和Δl₂，左端流入的流体体积为ΔV₁＝Ｓ₁Δｌ₁，右端流出的体积为ΔＶ₂＝Ｓ₂Δl₂．

∴ΔV₁＝ΔV₂＝ΔV

左端的力对流体做的功为

∵Ｗ₁＝F₁Δl₁，F₁＝p₁·S₁＝p

∴W₁=p₁S₁Δl₁=p₁ΔV图b

作用于右端的力F₂＝p₂S₂，它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左，而这段流体的位移向右)，所做的功为：

Ｗ₂＝－Ｆ₂Δl₂＝－p₂Ｓ₂Δl₂＝－p₂ΔＶ

∴两侧外力对研究液体所做的功为：W＝Ｗ₁＋Ｗ₂＝（p₁－p₂）ΔV．

重力做功W_g=ρg（ｈ₁－h₂）ΔV

根据动能定理得W+W_g=（p₁－p₂）ΔV+ρg（ｈ₁－h₂）ΔV＝ρΔV(v₂²-v₁²)

整理后得：p₁+

又a₁和a₂是在流体中任取的，所以上式可表述为：p+＝恒量，式中的三项都具有压强的量纲.其中ρv²相与流速有关，常称为动压强；ρgh是由于流体自身所在高度（相对零势面）所产生的压强，p项与流速无关，常称为静压强.当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为p+＝常量.

p+＝A=const（4）

把上式两边同除以密度ρ，便可得到如下的方程

p/ρ+v²+gh＝B=const（5）

方程（5）可从能量的角度来理解，其物理意义是描述了单位质量流体的压力势能、动能和重力势能三者之和在同一流线上为一恒量，即说明同一流线上流体的能量守恒.该方程中：p/ρ表示流场中某一点上单位质量流体所具有的压力势能（弹性势能），从能量的角度讨论p/ρ项也可理解为单位质量流体相对于p=0状态所蕴含的能量.

经典伯努利方程适用范围：①定常流：在流动系统中，流体在任何一点之性质不随时间改变；②不可压缩流:只有流体不能被压缩,压力做的功才不会转化为流体的内能,流体机械能才可能守恒，密度为常数，在流体为气体适用于马赫数(M)<0.3；③无摩擦流:摩擦效应可忽略，忽略黏滞性效应；④静止惯性参照系，一般指地面系；⑤同一条流.流速和压强的比较必须在同一流线上,因为流线不同,流体的机械能可能不同.否则容易出错，例如所谓“车窗悖论”,指的是在行驶的汽车中,打开窗户,气流究竟是流进还是流出车窗.之所以称之为“悖论”,是因为根据流速与压强关系,选择不同参照物会得出不同的结果.以车为参照物,车外空气流速大压强小,空气应该流出车窗;以地面为参照物,车内空气流速大压强小,空气应该流入车窗.

流体沿着流线流动:流体元素沿着流线而流动，流线间彼此是不相交的.此公式是选择理想流体中的细流管推导得出的，当令截面积趋于0时，细流管演变为流线，因此可适用于同一流线上.

把上式两边同除以ρg，便可得到如下的方程p/ρg+v²/g+h＝const（6）

该方程表示流场中一点上单位重量流体所具有的总机械能，在水力学中广泛应用，第一项表示流场中一点上单位重量流体所具有的压力潜能称为压力头，也就是压力对单位体积重量所做的功，第二项单位重量流体所具有的动能称为流速头，第三项就是流场中该点的高度称为位置头，也称水头，因此该方程说明了同一流线上各点的压力头、流速头和位置头三者之和为一恒量.从上面的方程可以看出，对于静止流体同一高度压强相同，验证了帕斯卡定律.公式中每一项都具有长度的量纲，所以p/ρg表示所考察的压力潜能的同时也可表示它能将流体压升到某以高度的能力.

㈡  对于小车系观察者

图c

1.公式推导

先从矢量力学的角度分析，如图c所示，设xoy与x′o′y′坐标系对应平行，且x′o′y′系相对于固有参照系（地面系）xoy以恒定速度u沿x轴的负方向运动，即u=—u_x，u_y=0，u_z=0.对于x′o′y′系，在稳定流动的理想流体中截取的细流管，由AB位置流到A′B′位置的过程中，重力不做功，压力做的功等于

所以^[2]（7）

假设这段流体在静止惯性系中的位移为r，在运动惯性系中的位移为R.由于R=r+ut=r(t)+ut=φ(t)是关于时间t的连续函数，这段流体在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=φ(t)是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，这段流体静止，受到的力是0，不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=φ^-1(R).因此公式（7）变为

^[2]（8）

上式为运动参考系伯努利方程的一般形式，当u=0时，两坐标系重合，（8）式便退化为（4），符合对应原理的要求，经典伯努利方程为（8）式特例，（8）式适用于所有的惯性系——满足力学相对性原理，这样就不会出现文献[3]中的佯谬，定常流经过伽利略变换后仍然是定常流.玻尔兹曼的格言:“形式是否优美的问题应该留给裁缝和鞋匠去考虑”.对于非定常流的问题需要利用柯西-拉格朗日方程研究.

2.公式的剖析

式中的四项都具有压强的量纲，其中ρv²相与流速有关，常称为动压强；ρgh是由于流体自身所在高度（相对零势面）所产生的压强，p项与流速无关，常称为静压强，为侧压强.当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为p++＝const.如果此时管的粗细相同，侧压力这一项也没有了，变为p+＝const.

把(8)式两边同除以密度ρ，便可得到如下的方程

p/ρ+v²+gh+＝（9）

方程（9）可从能量的角度来理解，其物理意义是描述了单位质量的流体的压力势能(p/ρ+)、动能(v²)和重力势能（gh）三者之和在同一流线上为一恒量，即说明同一流线上流体的能量守恒.与静止惯性系比较，压力势能增加了一项，原因在于在动惯性系侧压力做功，出现了一项侧压力势能，流体内压力的功也发生了变化，正压力势能也发生了变化，不仅仅是侧压力势能.（9）式进一步验证了机械能守恒定律满足力学相对性原理，对于同一个物理过程，如果在一个惯性系机械能（动能+重力势能+压力势能）守恒，在另一个惯性系机械能（动能+重力势能+压力势能）一定守恒.

3.对以往文献的分析

从上面的推导可以得出，在稳定场中势能不可能显含时间，有些文献得出质点在稳定场（例如重力场、弹力场）中运动在某个惯性系势能测量可以显含时间是完全错误的^[4].

文献[5～6]得出与公式（8）相似的结论，但是该公式含有时间t，不符合物理学方程的要求（因为能量守恒定律是时间均匀性的体现，不能含有时间t），指出了经典伯努利方程仅仅适用于静止惯性系（通常指地球坐标系）.

文献[3]由于没有认识到这一点，提出因为力对各惯性系而言虽为不变量，但受力作用的质点的位移却因参照系而异，从而功也参照系而异，因此对某一惯性系而言体系能量守恒，对另一个惯性系而言能量可以不守恒.这样机械能守恒定律就不满足力学相对性原理了，进而得出能量守恒定律也不满足力学相对性原理了.

4.分析力学的角度

（8）式虽然满足力学相对性原理，但是形式复杂，不符合科学简单化的原则，狄拉克认为：简单性属于美，简单性原则改为数学美原理.我们换一个角度考虑问题，在小车系侧压力虽然做功，但是不改变机械能，伯努利方程是关于流体的机械能方程，我们也可以按照分析力学的方法不管侧压力.文献[7]利用侧壁压力在静止惯性系不做功从而在运动惯性系也不做功，得出伯努利方程在所有惯性系形式完全相同是错误，原因在流体流动中，流管侧管压力对流体微团所做的功只在特定惯性系（流体）在其中作定常流）中一般不等于0，流体内的压力功也发生了变化.但是我们只要把这篇文献中的侧压力不做功，改为侧压力不改变机械能，也可以认为经典伯努利方程适用于所有的惯性系，只是此时V=是分析力学中的势能，T=是分析力学中的动能，机械能E=和矢量力学的计算结果相同.由于惯性力都是保守力，所以对于非惯性系p+＝const也成立.

通过这个实例可以看出分析力学比矢量力学在应用方面具有更大的优势，对于运动惯性系可以从分析力学角度计算继续利用经典伯努利方程，因为此时还是处于平衡状态，对于非惯性系增加一个惯性力即可^[7～15]，文献[16]证明了所有的惯性力都是保守力，不改变机械能.分析力学中,其动力学方程适用于各种力学系统(质点、质点系、刚体等),而且适用于惯性系和非惯性系，动力学方程的形式也不随广义坐标的选取而发生变化.

作用在流体体积元上的体积力大小一般与流体元体积成正比，故名体积力；体积力为穿越空间作用在所有流体元上的非接触力，例如重力、惯性力、电磁力等.重力和惯性力正比于流体元的质量，又称为质量力，质量力和体积力都是保守力.

由于矢量力学的机械能守恒定律中的势能对应于所有的有势力，包括主动力和约束反力，约束反力也是保守力，因此矢量力学的机械能守恒定律势能包括约束反力势能，不能仅仅考虑主动力势能.由于矢量力学需要计算约束力的功，分析力学不需要计算约束力的功，因此分析力学中的动能和矢量力学计算的动能并不始终相等.如果约束力可以改变机械能的话，分析力学的方法就是错误的，以往杂志中发表的关于弹簧振子、斜面、单摆等问题中约束反力改变机械能的观点显然是完全错误的.

5.连续性方程是运动学方程，适用于所有坐标系

笔者认为连续性方程是运动学方程，适用于所有坐标系，连续性方程中的速度v不是相对于观察者的速度，而是流体与管道口的相对速度，与伯努利方程中速度的含义不一样.证明如下——质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭.

在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为，质量为，则

（10）

为了与随体符号区别开来，这里用来表示对坐标的微分.

根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立

（11）

根据公式：（12）

得（13）

因是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有：

（14）

（14）式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程.

6.协变性是对于物理理论的一个要求

文献[17～18]利用光滑约束中的约束力是保守力处理问题的，文献[19]证明了光滑约束的约束力是保守力，本文进一步验证了光滑约束中约束力是保守力的问题.在历史上描述低能粒子行为的薛定谔方程对于洛伦兹变换不是协变的，也就是说它不具有相对论的不变性，狄拉克认为这种情况是不合理的.为了把方程改成具有洛伦兹协变形式，得到了狄拉克方程而预言了反粒子.电子的反粒子——正电子在实验中的发现就是狄拉克反粒子理论的最好总结，也是物理理论协变性要求正当性的最好证明^[20].

在经典物理学中，理论的建立程序为：实验→方程→对称性，而爱因斯坦在狭义相对论的建立中倒转了这个程序：对称性→方程→实验，在广义相对论中，爱因斯坦把这个倒转过来的程序又应用于引力场方程的建立.另外，当把对称性的概念引入物理学中时，便可以把运动的相对性作为一种对称性来看待.在科学中“一种对称性的发现比一种特定现象的发现意义重大得多.像旋转不变性和洛伦兹不变性这样的时空对称性，统治着整个物理学.”在创立狭义相对论时，爱因斯坦利用了洛仑兹(HendrikAntoonLorentz，1853—1928)变换的不变性，而在创立广义相对论时，他把变换不变性提升为物理学的普遍原理，并从引力质量与惯性质量等同这一经验事实出发，把某种变换不变性作为表示空间结构四维性和对称张量的引力方程的前提.

有关流体的一切定律，均可以从流体能量-动量张量获得：（为时空度规，为四维速度）.这个流体能量-动量张量具有洛伦兹协变性（因而在低速下，也具有伽利略协变性）.通常我们研究流体，总是愿意选择质心坐标系（如果是在宇宙学中，我们选择随动（共动）坐标系），这样就可以简化流体能量-动量张量.通常的伯努利方程，也属于这种简化的产物，它仅仅属于流体的质心坐标系.至于一般参考系中的伯努利方程，也可以从上面的流体能量-动量张量（）获得，只要对它求协变散度即可.所以既然已经有了一般的流体能量-动量张量（），那就等价于我们已经有了一般参考系中的伯努利方程.所以一般参考系中的伯努利方程，不再是一个很有必要研究的问题.相反要简化，有意研究特殊参考系中的（简化了的）伯努利方程，不想去研究一般参考系中的伯努利方程.

力学相对性原理类似于“脚”，伯努利方程等具体的物理方程类似于“鞋”，这样就容易理解它们之间的关系了.通常认为方程的协变性具有特别重大的意义，协变性的含义如下：凡施行坐标变换，应变量（函数）亦必按确定的（例如张量的）规则而变换，我们研究坐标变换时必须同时注意原来的和变换后的函数所满足的方程形式，如果变换后所得到的新变量的新系数和旧变量的旧函数—祥能满足同样形式的方程，则方程就是协变的，由方程的协变性，使我们无须预先选定坐标系就能写出方程，此外因为方程的协变性限制方程形式的种类，同时还帮助挑选正确的形式，故方程的协变性对推动研究工作有重大的意义.但必须着重指出，仅当引入函数的数目亦有限制时，协变性对方程的形式的限制方属有效；如果能引进任何数目的新辅助函数，那事实上可以赋予任何方程以协变的形式.因此方程协变性本身绝不表示任何物理定律，例如在质点系力学中，第二类拉格朗日方程对任意坐标变换都是协变的，而用直角坐标系写出的第一类拉格明日方程则不是协变的，但前者与后者比较，并不表示任何新的物理定律.在拉格朗日方程的情况下，协变性是这样达到的，就是引进用速度表示的二次（不一定是齐次的）拉格朗日函数的系数作为新的辅助函数.文献[21]证明在牛顿力学和狭义相对论框架内能量守恒定律都具有协变性.

文献[22]把伯努利方程拓广到电介质流体中，p+＝const，其中表示电势能密度，也具有压强的性质，该方程的协变性问题读者可以自行分析.

伯努利方程满足力学相对性原理，力学相对性原理指出，在惯性参考系中，力学定律的形式不变.也就是说，如果一个系统在一个参考系中满足某些力学规律，那么在另一个惯性参考系中观察到的同一系统也应该满足相同的力学规律.伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，它描述了流体在流动过程中压力、速度和高度之间的关系，伯努利方程可以被看作是满足力学相对性原理的.当我们考虑的是理想流体（忽略粘性和摩擦等因素）且流动是稳定的时，伯努利方程的形式在不同惯性参考系中保持不变.具体来说，如果我们将参考系转换为另一个惯性参考系，并且假设流体的流动是绝热的（没有热量交换），那么伯努利方程仍然适用，即在新的参考系中，压力、速度和高度之间的关系仍然满足伯努利方程.然而，需要注意的是，实际情况中的流体往往不是理想的，并且可能存在粘性、传热等复杂因素.在这些情况下，伯努利方程的应用可能需要进行修正或使用更复杂的流体力学模型.此外，当涉及到非惯性参考系或相对论效应时，伯努利方程可能需要进一步的修正或采用相对论性的流体力学理论.因此在特定的条件和简化假设下，伯努利方程可以被认为是满足力学相对性原理的.但在实际应用中，需要根据具体情况进行分析和修正，以确保准确描述流体的行为.

丁肇中认为：“科学是多数服从少数，只有少数人把多数人的观念推翻以后，科学才能向前发展，因此专家评审并不是绝对有用的，因为专家评审是依靠现有的知识，而科学的进展是推翻现有的知识.”

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TheBernoulliequationhastheinvarianceoftheGalileantransformation

Abstract：

Keywords：Bernoulliequation；InvarianceofGalileantransformation；Kineticenergytheorem；Thelawofconservationofmechanicalenergy；Analyticalmechanics

附录：

设在右图的细管中有理想流体在做定常流动，且流动方向从左向右，我们在管的a_１处和a₂处用横截面截出一段流体，即a₁处和a₂处之间的流体，作为研究对象．设a₁处的横截面积为S₁，流速为V₁，高度为h₁；a₂处的横截面积为S_２，流速为v_２，高度为h_２.

解：如图所示，经过很短的时间Δｔ，这段流体的左端S_１由a₁移到b₁，右端Ｓ₂由a₂移到b₂，两端移动的距离为Δｌ₁和Δl₂，左端流入的流体体积为ΔV₁＝Ｓ₁Δｌ₁，右端流出的体积为ΔＶ₂＝Ｓ₂Δl₂．

∴ΔV₁＝ΔV₂＝ΔV(因为理想流体是不可压缩的)

左端的力对流体做的功为

Ｗ₁＝F₁Δl₁W₁=p₁S₁Δl₁=p₁ΔV

F₁＝p₁·S₁＝p

作用于右端的力F₂＝p₂S，它对流体做负功(因为右边对这段流体的作用力向左，而这段流体的位移向右)，所做的功为：

Ｗ₂＝－Ｆ₂Δl₂＝－p₂Ｓ₂Δl₂＝－p₂ΔＶ

∴两侧外力对研究液体所做的功为：

W＝Ｗ₁＋Ｗ₂＝（p₁－p₂）ΔV．

又因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度ρ和各点的流速v没有改变，所以研究对象(a₁到a₂之间的流体)的动能和重力势能都没有改变．这样，机械能的改变就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能．

∴Ｅ₂－Ｅ₁＝ρ(-)ΔV＋ρg（ｈ₂－h₁）ΔV

又理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能

∴Ｗ＝Ｅ₂－Ｅ₁

∴（p₁－p₂）ΔV＝ρ(-)）ΔＶ+ρｇ（ｈ₂－h₁）ΔV

整理后得：p₁+

又a₁和a₂是在流体中任取的，所以上式可表述为：p+＝恒量，这就是伯努利方程．

(5)当流体水平流动时，或者高度的影响不显著时，伯努利方程可表达为p+＝常量