2自然摆动单摆的机械能在各惯性系都成立（极坐标处理）.doc

自然摆动单摆的机械能在各惯性系都成立

摘要：重新解答了自然摆动的单摆机械能守恒问题,得出了在地面上和相对于地面做匀速运动的小车上,单摆的机械能都守恒的新结论．

关键词：单摆；动能；势能；机械能守恒

中图分类号：O 313.1    文献标识码：A

在中学物理和大学力学中,单摆摆动过程中的摆锤的运动可以利用重力机械能守恒定律来研究,可是参考文献[1～11]得出在单摆问题中机械能守恒定律不满足伽利略变换,本文就单摆在摆动过程中的机械能守恒问题作进一步研究.

将摆锤质量为m,轻质摆线（摆线质量视为0）长度为L的单摆挂在与地面相固连的摆架上,将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为θ₀（θ₀∈[0⁰,90⁰]时自然放手,在忽略各种阻尼时,单摆就做自然摆动,θ₀为最大摆角．有一小车在地面（地球质量视为充分大,稳定地保持为惯性系）上以正常数u向右运动．

求证：在地面系和小车系上观察,单摆的机械能都守恒．

解：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.

在地面上观察时,以单摆的悬挂点o为极点,单摆静止时与摆线重合的射线oy为极轴,从o到摆锤的矢量r为极径,极轴和极径的夹角θ为极角建立平面极坐标系如图1所示．

设在地面上观察时,单摆在t=0时刻从最大摆角θ₀（θ₀∈（0⁰,90⁰]）开始摆动(规定初始时刻的势能为0),t时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ,v,a,E_k(t),E_p(t),E(t)；在小车上观察时,单摆在t时刻的摆角、速度大小、动能、势能、机械能分别为：θ₁,v₁,E_1k(t),E_1p(t),E₁(t)；在地面上和小车上观察时,都设摆锤的最高点为零势点．则有：

v===．

dt=（0≤θ≤θ₀）．

mgsin θ=ma,gsin θ=a==×=×v,vdv=-gLsin θdθ,

dv=-gLθdθ,v²=gL(cos θ-cos θ₀)．v=．

==-

=-=-＜0,

     所以对于一个确定的单摆而言,只要初始状态确定,单摆的摆角是时间t 的单值函数,因此我们只需证明任意摆角的机械能相等即可,在本题中是减函数.

E_k(t)= E_k′(θ)=mv²=mgL(cos θ-cos θ₀)；

E_P(t)= E_P′(θ)= -θdθ=- m gLθdθ= -mgL(cos θ-cos θ₀)

E(t)=E_k(t)+E_P(t)= E_k′(θ)+E_P′(θ)=mgL(cos θ-cos θ₀) -mgL(cos θ-cos θ₀)=0．

所以在地面上观察时单摆的机械能守恒,守恒值为0．

在地面系——设初相为0,v=ωR,x=Rcosωt，y= R sinωt

将运动方程作伽利略变换,写出小车系运动方程：

x₁=x-ut=Rcosωt-ut，y₁= y=R sinωt.

在小车上观察时有：

=v-ucos θ,= (v-ucos θ)²=+θ-2vucos θ；=-usin θ,=θ．

=+=+θ-2vucos θ+θ=++2u×vcos θ=

2gL(cos θ-cos θ₀)+u²+2u×cos θ．

E_1k(t)= E_1k′(θ)=m=mgL(cos θ-cos θ₀)+mu²+mu×cos θ．

v===,dt=（0≤θ≤θ₀）．

a₁=a=gsin θ．ma₁=ma=mgsin θ．

0-E_1p(t)= -E_1p′(θ)= ds +dt +usin θdt=

 (-Ldθ)+mu×=

-mgL dθ+ muL×=

mgLcos+mugL×=

mgL(cos θ-cos θ₀)+ dcosθ=

mgL(cos θ-cos θ₀)+×(cos θ-cos θ₀ +×2 (cos θ-cos θ₀cos θ₀=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu×(cos θ-cos θ₀ +mu×(cos θ-cos θ₀cos θ₀=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu×(cos θ-cos θ₀+cos θ₀)=

mgL(cos θ-cos θ₀)+mu×cos θ．

E_1p(t)= E_1p′(θ)=-mgL(cos θ-cos θ₀)-mu×cosθ．

E₁(t)=E_1k(t)+E_1p(t)= E_1k′(θ)+E_1p′(θ)=mgL(cos θ-cos θ₀)+mu²+mu×cosθ+

-mgL(cos θ-cos θ₀)-mu×cosθ=m（常数）．

所以在小车上观察时,单摆的机械能守恒,守恒值为

m．

当u=0时两个坐标系重合,守恒值相等,符合对应原理的要求.M.波恩曾经讲过：“不懂数学语言的人，常对弯曲空间表示愤怒.他说，他能理解空间里某个东西是弯曲的，但要把空间本身想象成是弯曲的则纯属胡诌.”

说明：文献[1]和[2]都认为拉力F对于小球做功,造成机械能不守恒,这种观点是错误的.通过本文可以看出在单摆问题中绳子的拉力是一个保守力,可以同时改变摆锤的动能和势能,但是不改变摆锤的机械能,与直接计算重力机械能得出的结果一致.狄拉克认为：必须只运用美丽的数学，才可以建立有效和相关的物理理论.数学的美丽是区分有希望的理论和混乱的死胡同最重要的单一结构.

在小车系摆锤在最低点的动能和势能分别为：

E_1k(t)= E_1k′(θ) =m(v +u)²=m(v²+u²+×2uv)=mv²+mu²+muv=

mgL(1-cos θ₀)+mu²+mu×．

E_1p(t)=-mu×．

E_1p(t)=E_1p′(θ)= -mgL(cos0-cos θ₀)-mu×cos0

=-mgL(1-cos θ₀)-mu×

与地面系的结果不同,当u=0时与地面系一致,符合对应原理的要求.

 E₁(t)=E_1k(t)+E_1p(t)= E_1k′(θ)+E_1p′(θ)=

mgL(1-cos θ₀)+mu²+mu×-mgL(1-cos θ₀)-

mu×= mu²(常数)．

因此摆锤在最低点的势能不再相等,因为势能的零点发生了变化.

在上面的单摆问题中势能包括重力势能,不是严格意义上的重力势能,因为质点受到的合力不等于重力.当观察者相对于单摆静止时,利用重力机械能守恒定律得出的结果等效；当观察者相对于单摆的悬挂点匀速运动时,直接利用重力机械能守恒定律是错误的,应该利用保守力所做的功等于势能的减少来计算.在小车系看来,摆线的拉力并不始终与位移垂直,摆线的拉力也做功,同时改变了摆锤的动能和势能,不改变摆锤的机械能,机械能守恒定律中的保守力应该是保守力的合力,考虑了势能就不能再计算保守力的功了,本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理^[2～11].本文的处理方法与文献[12]完全相同.

文献[13]证明了所有的惯性力都是保守力，因此当小车变速运动时测量摆锤的机械能依然守恒.在单摆问题中，是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑摆线质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能^[14].

参考文献：

1.肖士绚.理论力学简明教程.北京：高等教育出版社,1983年10月.

2.蔡伯濂．关于力学相对性原理与机械能守恒综述[J]．大学物理,1994,(13)1：20～22．

3.何红雨．机械能守恒定律与惯性参照系的选择[J]．广西物理,1997,(18)3：27～29．

4.金若兴.机械能守恒定律的条件.物理教学,1985年1月: 13～14．

5.熊秉衡.在不同惯性系中的机械能守恒定律.物理通报,1964（6）：261～264.

6.施肖铮.在不同惯性系中的机械能守恒定律,常州信息职业学院学报, 第1卷第2期,2002年12月: 65～67．

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10.刘瑞金.有关机械能及其守恒律的研究评述.淄博师专学报，1995（12）：22～26.

11.易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：18～22.

12.张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报,2016(9)：115～117.

13李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318～319.

14李学生.匀速圆周运动中的机械能守恒问题.论证与研究，2020年第8期：9. http://www.chinaqking.com/yc/2020/2549290.html

    The mechanical energy of a natural pendulum can be found in each inertial system

Abstract：It refurbished the issue of mechanical energy conservation of a natural swinging single pendulum, which straightforwardly led to conclusion, no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth, the mechanical energy of a natural swinging single pendulum is always conservative.

Key words：the single pendulum；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy