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约束力是保守力

摘要：解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了对所有的参照系，匀速圆周运动物体机械能都守恒的结论．

关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒

中图分类号：O 313.1         文献标识码：A

质量为m的钢球（视为质点），在长为R的轻绳的牵制下，在光滑水平地面上绕地面上的o点做匀速量值为v的圆周运动，有一小车相对于地面以恒速量值u沿光滑水平地面运动，在忽略各种阻力时，试问在地面（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和小车上观察，钢球的机械能是否守恒，并说明理由．

解：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.在这个问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理.

在地面上观察时，以点o为坐标原点，以过点o且平行于小车运动的方向为x轴正向，建立平面直角坐标系如图1所示．由于向心力和位移始终垂直，有：

×ds =cosds=ds= 0．

无论运动多少周，当钢球回到出发点时，向心力的功始终等于0，根据保守力的定义可以得出圆周运动物体受到的向心力是保守力．其实在这里向心力是有心力，有心力都是保守力，本文不再赘述.

设在地面上观察时，钢球从t=0时刻在x轴正向与圆周交点处开始沿圆周转动，t时刻转过的角度、线速度、动能、势能、机械能分别为：θ，v，E_k(t)，E_p(t)，E(t)；在小车上观察时，t时刻的线速度、动能、势能、机械能分别为：v₁，E_1k(t)，E_1p(t)，E₁(t)；则在地面上观察时有：

E_k(t)=mv²；E_p(t)=0；E(t)=E_k(t)+E_p(t)=mv²+0=mv²．

所以，在地面上观察时，钢球的机械能守恒，守恒值为mv²．

在小车上观察时：由物理学知识知道，在匀速圆周运动中旋转角是时间t的单值函数，因此也可以用旋转角表示机械能.

v_1x=v_x-u=-vsin θ-u，=+-2uv_x；v_1y=v_y，=；

=+=+-2uv_x +=v²+u²+2uvsin θ．E_1k(t)= E_1k′(θ)=m=mv²+mu²+muvsin θ．

v===，dt=．

0-E_1p(t)= -E_1p′(θ)=-m×(cos θ)(-u)dt=mu×(cos θ)=muvcos θdθ，

E_1p(t)= E_1p′(θ)=-cos θdθ=-muv(sin θ-sin 0)=-muvsin θ．

E₁(t)=E_1k(t)+E_1p(t)= E_1k′(θ)+E_1p′(θ) =mv²+mu²+muvsin θ-muvsin θ=mv² +m．

所以在小车系看来，钢球的机械能守恒，守恒值为mv²+m．当u=0时两个坐标系重合，守恒值相等，符合对应原理的要求.

定理：质点做匀速圆周运动的约束力是一个保守力，可以同时改变质点的动能和势能，但不改变质点的机械能.

另证：在有心力的作用下，质点始终在一平面内运动.因为与矢量共线，质点只能在垂直于动量矩的平面内运动，因此只要用两个坐标或来研究它的运动.

有心力是保守力，利用保守力的判据.因为它一定存在势能V，且.

因为势能差与原点选取无关，故可写出：，这时势能函数V当然也只是矢径r的函数，即.至于机械能守恒定律当然也成立，具体表达式是：

_,

其中E是质点总能，它是一个常数.

江苏省特级教师朱建廉老师曾经讲过：“物理学规律，甚至是普遍的自然规律，在结构上通常有两种最基本的形式，即：形如“x=y”而揭示因果关系的规律；第二，形如“x=x”而揭示守恒特征的规律.”丁肇中认为：大家千万记住，物理上的基本原理非常重要.物理学、数学理论中的公式、结论，都是从定律、公理、原理、或假设，即从——理论的出发点——演绎推导得来的.如果出发点不可靠，整个理论就不可靠；如果出发点是骗人的，那么整个理论就是骗人的.日本的粒子物理学家汤川秀树（Hicliki Yukawa，1907～1981）评价爱因斯坦时说：“爱因斯坦拥有一份只有少数物理学家才拥有的美感.”物理学是一门实实在在的科学，是一门久经考验的科学，是一门伟大而艰巨的科学，那些昙花一现的理论、学说和物理学是无可比拟的，那些在改革浪潮中用蛊惑人心的语言装饰起来的雕虫小技更是不值一提，物理学的发展就像宇宙演变一样永不止息.物理学不是屹立固化的大厦，而是奔流不息的长河.

当小车相对于地面变速运动时，只需要增加一个惯性力即可，文献[1]已经证明了惯性力都是一个保守力，只需引入惯性力势能即可，此时机械能依然守恒，这也验证了爱因斯坦的思想——物理规律对于所有的参照系都相同.

有些分析力学教材认为光滑约束中约束反力与实位移垂直，约束反力不做功，这是不完善的，因为约束反力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功.对于非惯性系，只需增加一个惯性力即可，也不改变机械能，所以完整的表述为——光滑约束中约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的参照系了. 在分析力学中不考虑约束力对于系统的机械能的影响，也说明把约束力按照保守力来对待.在完整约束下的第二类拉格朗日方程：，如果要研究的系统所在的内外力场均是保守力场，或者其它作用于系统的力均不作虚功.如果系统处在保守力场中，保守力系必有与其对应的势能V，此势能是系统中各个质点的位置函数，即：V=V()，且有，它的三个分量表达式为：.

如果将用广义坐标表示：则势能也就是广义坐标及时间t的函数：V=V(q，t)，由此我们很容易求得在保守力场中广义力的表达式.由广义力的定义得：[根据复合函数的微分规则可知其结果为将此结果代入第二类拉格朗日方程就可将它写成为：∵∴左边的式子又可写成为：在这里就定义：，L称作为拉格朗日函数，简称为拉氏函数，它就等于系统的动能与势能之差.那么上式就可写成为：这个方程就是完整约束保守系的拉格朗日方程.有时也叫它为拉格朗日方程或拉氏方程.由前面的推导可知这个方程适用的条件是：完整约束，保守力系或者除了保守力系之外的其它力均不作虚功，T和V即L都是相对惯性系的量.

有的力学教材中有这样一个实例——在一个相对于地面匀速上升的电梯底部静止放置一个物体（视为质点），在电梯内的观察者看来，没有任何力对质点做功，动能和势能（取电梯的底部为势能零点）均为0，机械能守恒；在地面的观察者看来，电梯底部对于质点的支持力做功，动能不变，势能不断增加（取地面为势能零点），机械能不守恒.其实这种分析是错误的，在这里约束力是一个保守力，质点受到合力为0，，重力势能不断增加，支持力势能不断减少，重力势能与支持力势能变化量互为相反数，质点的总势能不变，因而机械能不变，在这个问题中机械能守恒定律满足力学相对性原理.

说明：1.我们知道保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力^[2]（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力^[3～^4]、匀速圆周运动的约束力、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）、弹性碰撞中的弹力以及浮力等，文献[4]证明了在自由落体运动中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[3]证明了在斜面问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[5～6]说明弹性势能机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[7]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换，当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献[8]提出了约束力是保守力，文献[9]验证了约束力是保守力.

2.在这个问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理.在本题中约束力是弹力，约束力和保守力是同一个力，类似于弹簧振子，轻绳可以看做劲度系数是无穷大的弹簧，忽略形变.只要质点受到保守力弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，文献[10]的观点是正确的.

3.不少作者利用匀速圆周运动说明质点在运动过程中机械能不变，但是没有动能和势能的转换，不是机械能守恒^[11～12]，这种观点是错误的，机械能守恒就是机械能不变，机械能守恒定律是人们对于大自然规律的刻画，这样有更大的适用范围.在静止系动能和势能没有转换，在运动系有转换.机械能守恒定律中不必强调动能和势能的转化，只需说明机械能不变即可.美国物理学家Holton G曾这样论述:“在某确定环境中相互作用的一组物体无论发生什么样的变化，它的这种或那种可测度的量(质量、动量、能量或电荷) 的总和在整个观察期间都是恒定不变的.”^[13]

4.文献[14]证明了力的旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某位势的梯度三者是等价的，力是保守力的充要条件是力的环路积分为0，因此本文利用了力的环路积分为0是保守力的问题.

5.根据 E_p1(t)=mR²ω²- mRuωsinωt可以得出转动过程中势能也可能发生变化，文献[15]错误认为转动过程中势能不变，得出经典的角动量守恒定律具有伽利略变换的不变性.

发现一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上或实验上的技巧而已，而发现新的问题、新的可能性或是从新的角度去分析，就需要有创造性的想象力，而且还标志着科学的真正的进步.

参考文献：

[1]李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318～319.

[2]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113～114.

[3]张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115～117.

[4]赵文桐，刘文芳，刘明成．重力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(3)：96～98．

[5]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷[J]．物理通报，2014(9)：119～120．

[6]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109～111．

[7]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123～124．

[8]马忠义.物体在约束运动中的功和能.沈阳化工学院学报，1989（3）2：117～122.

[9]李有为.受光滑约束系统的机械能守恒问题.郑州工学院学报，1989（9）：91～94.

[10]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237～238.

[11]李庆国.机械能守恒吗？——对“机械能守恒定律”几种错误理解的讨论[J].物理教学探讨，2010，28（6）：39～40.

[12]张寅静，丁姗.关于机械能守恒定律条件的讨论.河南纺织高等专科学院学报，1999（9）：31～33．

[13][美〕HoltonG，张大卫译.物理科学的概念和理论导论.上册.第1版.北京:高等教育出版社，1983：338.

[14]李学生.对一道困扰力学界五十多年习题的思考.百科论坛，2020年第11期卷:1359～1360.

[15]周筑文.物理学对称美和物理核心素养的培养.贵州师范学院学报，第35卷第12期，2019（12）：5 1～56．

Binding force is a conservative force

Abstract：It the issue of mechanical energy conservation of the object moving in uniform speed around circle， which straightforwardly led to conclusion，for all reference systems， the mechanical energy of the object moving in uniform speed around circle is always conservative.

Key words：the object moving in uniform speed around circle；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy