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匀速圆周运动中机械能守恒问题

摘要：解答了匀速圆周运动物体的机械能守恒问题，得出了对所有的参照系，匀速圆周运动物体机械能都守恒的结论．

关键词：匀速圆周运动物体；动能；势能；机械能守恒

对称性思想最早产生于古希腊科学美学家毕达哥拉斯（ 约前571年———前497年）的思想中. 毕达哥拉斯认为在所有的几何图形中，圆和球是最完美的图形，而匀速圆周运动则是最完美的运动.这种认识起源于对天体的观察.毕达哥拉斯从月面明暗交界处所显露出的圆弧形，认识到月亮是球形的；从月食现象中观察到地球投射在月亮上的影子推断地球也是球形的；由此他断言所有的天体都是球形的. 亚里士多德和他的老师柏拉图对此持有相同的认识，他们同样坚持大地是球形的主张.球形是最具对称性的立体图形，是唯一能在自身所占据的空间范围内作任何方向旋转而不变的图形.而这种高度对称性的图形是世界上最美的. 因此上帝理应是按照美的原则创造世界.这种认识在科学发展过程中是一次重大的飞跃.它实际在思想上突破了绝对上下和高低的观念，为后来牛顿的万有引力理论的提出作了思想准备.同时古希腊人还发现了五种规则立体图形.它们分别是正四面体、正六面体、正八面体、正二十面体、正十二面体: 他们认为这种对称性几何图形分别代表着火、土、气、水和以太5种元素，并企图运用这5种几何图形来解释天体的结构.

总之，高度对称性一直深受古希腊的科学哲学家们的青睐. 特别在天文学研究中圆形及其在圆形轨道上的匀速运动几乎成了开普勒之前，欧洲天文学家研究天文学的最基本的原理. 无论是欧多克斯（前409———前356年）的天球层模型，还是托勒密的“地心说”结构，乃至后来的哥白尼的“日心说”理论均以此为出发点.就连后来由于发现了开普勒三定律而被人们尊称为“天空立法者”的开普勒，最初仍是怀着这种对对称性形式的狂热迷恋，去建立一种基于5种规则立体图形的行星轨道之直径比的理论.虽然结果以失败而告终，但他最终建立开普勒三定律仍然深受这种认识的启发.著名物理学家费曼在他的物理学讲义中写着：“我最想做的是给出对于这个奇妙世界的一些欣赏，以及物理学家看待这个世界的方式，我相信这是现今时代里真正文化的主要部分.

如下图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，问：小球在地面系（地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系）和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系(O₁-x₁y₁)，机械能是否都守恒？

解析：赵凯华编著的《新概念物理教程:力学》给出了保守力的一些充分条件: (1)对于一维运动,位置x 单值函数的力是保守力,例如服从胡克定律的弹性力; (2)对于一维以上的运动,大小和方向都与位置无关的力是保守力,例如重力; (3)凡是有心力都是保守力.由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.

1.在地面上观察时，以点o为坐标原点，以过点o且平行于小车运动的方向为x轴正向，建立平面直角坐标系如图1所示．由于向心力和位移始终垂直，有：

×ds =cosds=ds= 0．

根据保守力的定义可知在地面系匀速圆周运动物体受到的向心力是保守力．其实在这里向心力是有心力，有心力都是保守力，本文不再赘述.

设初相为0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt；x′=-Rωsinωt，y′= Rωcosωt；x′′=-Rω²cosωt，y′′= -Rω²sinωt；f_x=m x′′= -mRω²cosωt，f_y=m y′′= -mRω²sinωt

E_k(t) =m（x′′ ²+ y′′ ²）=m R²ω².

 d E_p(t)=— f_xdx—f_ydy=mRω²cosωt d（Rcosωt）+mRω²sinωtd(R sinωt)

=d(mR²ω²cos²ωt+mR²ω²sin²ωt)=0.

设E_p(t)=0，所以E(t)=E_p(t)+E_k(t)= mv²=const，在地面系质点的机械能守恒，恒量为mv².

2.小车系

文献[1]已经证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，因此在小车系约束力也是一个保守力.

将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：x₁=x-ut=Rcosωt-ut，y₁= y=R sinωt；

x′₁= x′-u=-Rωsinωt-u，y′₁= y′= Rωcosωt；x′′₁= x′′=-Rω²cosωt，y′′₁= y′′= -Rω²sinωt；

f_x1= f_x =m x′′= -mRω²cosωt，f_y1= f_y =m y′′= -mRω²sinωt

E_k1(t) = m （x₁′²+ y₁′²）= m (-Rωsinωt-u)²+mR²ω²cos²ωt

=m R²ω²+mu²+mRuωsinωt.

 d E_p1(t)=— f_xdx₁—f_ydy₁=mRω²cosωt d（Rcosωt -ut）+mRω²sinωtd(R sinωt)

=d(mR²ω²cos²ωt+mR²ω²sin²ωt- mRuωsinωt)=d(mR²ω²- mRuωsinωt).

E_p1(t)=mR²ω²- mRuωsinωt.

所以E₁(t)=E_p1(t)+E_k1(t)=mv²+mu²=const.

这说明在沿x方向匀速运动的小车系机械能也是守恒的，恒量为mv²+mu²，比地面系多出了mu².当u=0时两个坐标系重合，地面系与小车系的势能相等，机械能的守恒值也相等，符合对应原理的要求.

对应原理对物理学发展的作用突出表现在量子论的形成和矩阵力学的建立上，在能量子理论和光的波粒二象性理论提出的过程中，普朗克和爱因斯坦都潜意识地受到了对应原理基本思想的启发，而海森堡、波恩等正是在对应原理的指导下建立了矩阵力学.对应原理对科学方法论的影响也是巨大的，作为多数非经典逻辑的通用原理，对应原理真正的价值在于“向前看”，在于转换，在于启发创新.对应原理的优点在于事先预言新的非经典逻辑将可能会怎样，而不满足于事后说新逻辑有什么性质与旧逻辑相对应.它更象预言家，而不是“事后诸葛亮”.对应原理不仅仅是玻尔理论的重要部分，它用极限条件下的转化标准这根逻辑纽带，推进了和谐、完美、高度自治的物理学系统理论的构建；系统论的纲领性思想是研究不同领域的概念规律和模型的同形性，寻找通用原理，并使之在各领域间转移使用，对多种非经典思想而言，对应原理恰恰是一条重要的通用原理；对应原理的推广更使人们有理由相信，对应原理是物理学中的一个重要的普遍原理.科学研究是继承和创新的过程， 对应原理虽然具有一定的局限性和表述的非完备性，也不是一种具有严格规范程序的研究方法和定量表现形式，但作为一种富有启发性的物理思想，在物理学的发展史上起到过相当积极的作用，对当今的科学研究仍具有重要的实际指导意义.

两坐标系“守恒量”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加mu² - mu.v₀，其中v₀为t=0时静止系测量的质点初速度（因为在原点处势能相等，动能之差等于mu² -mu.v₀，在静止系和运动系测量的机械能都守恒，所以机械能之差始终为mu² - mu.v₀），上面的计算只是一个特例.

      定理：质点做匀速圆周运动的约束力是一个保守力，可以同时改变质点的动能和势能，但不改变质点的机械能.

当小车相对于地面变速运动时，只需要增加一个惯性力即可，文献[1]已经证明了惯性力都是一个保守力，只需引入惯性力势能即可，此时机械能依然守恒，这也验证了爱因斯坦的思想——物理规律对于所有的参照系都相同.

有些分析力学教材认为光滑约束中约束反力与实位移垂直，约束反力不做功，这是不完善的，因为约束反力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功.对于非惯性系，只需增加一个惯性力即可，也不改变机械能，所以完整的表述为——光滑约束中约束反力不改变质点的机械能，这样就适用于所有的参照系了.

有的力学教材中有这样一个实例——在一个相对于地面匀速上升的电梯底部静止放置一个物体（视为质点），在电梯内的观察者看来，没有任何力对质点做功，动能和势能（取电梯的底部为势能零点）均为0，机械能守恒；在地面的观察者看来，电梯底部对于质点的支持力做功，动能不变，势能不断增加（取地面为势能零点），机械能不守恒.其实这种分析是错误的，在这里约束力是一个保守力，质点受到合力为0，重力势能不断增加，支持力势能不断减少，重力势能与支持力势能变化量互为相反数，质点的总势能不变，因而机械能不变，在这个问题中机械能守恒定律满足力学相对性原理.

说明：1.根据柯西-古萨积分基本定理：设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则.由于匀速圆周运动的向心力没有奇点，环路积分为0，因此是保守力.

2.我们知道保守力有重力、弹簧的弹力、万有引力，其实静摩擦力也是保守力^[2]（因为静摩擦力在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里可能做功，但是不改变质点的机械能，可以按照保守力来处理），斜面的支持力^[3～^4]、匀速圆周运动的约束力、理想流体的压力（流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力.）、弹性碰撞中的弹力以及浮力等，文献[4]证明了在自由落体运动中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[3]证明了在斜面问题中机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[5～6]说明弹性势能机械能守恒定律满足伽利略变换，文献[7]论证了在引力机械能守恒定律满足伽利略变换，当质点受到其他保守力时机械能守恒定律也满足力学相对性原理，本文不再分析.文献[8]提出了约束力是保守力，文献[9]验证了约束力是保守力.

3.在这个问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理.在本题中约束力是弹力，约束力和保守力是同一个力，类似于弹簧振子，轻绳可以看做劲度系数是无穷大的弹簧，忽略形变.只要质点受到保守力弹力作用就具有弹性势能，不一定发生弹性形变，文献[10]的观点是正确的.

4.不少作者利用匀速圆周运动说明质点在运动过程中机械能不变，但是没有动能和势能的转换，不是机械能守恒^[11～12]，这种观点是错误的，机械能守恒就是机械能不变，机械能守恒定律是人们对于大自然规律的刻画，这样有更大的适用范围.在静止系动能和势能没有转换，在运动系有转换.机械能守恒定律中不必强调动能和势能的转化，只需说明机械能不变即可.美国物理学家Holton G曾这样论述:“在某确定环境中相互作用的一组物体无论发生什么样的变化，它的这种或那种可测度的量(质量、动量、能量或电荷) 的总和在整个观察期间都是恒定不变的.”^[13]

5.文献[14]证明了力的旋度等于0、环路积分为0和作用力F是某位势的梯度三者是等价的，力是保守力的充要条件是力的环路积分为0，因此本文利用了力的环路积分为0是保守力的问题.

6.根据 E_p1(t)=mR²ω²- mRuωsinωt可以得出转动过程中势能也可能发生变化，文献错误认为转动过程中势能不变，得出经典的角动量守恒定律具有伽利略变换的不变性.

发现一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许仅是一个数学上或实验上的技巧而已，而发现新的问题、新的可能性或是从新的角度去分析，就需要有创造性的想象力，而且还标志着科学的真正的进步.

参考文献：

[1]李学生.力的保守性具有伽利略变换的不变性.魅力中国，2020年9月：318～319.

[2]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程，高等教育出版社，2004年第二版，113～114.

[3]张翠．斜面上下滑滑块机械能守恒问题新解．物理通报，2016(9)：115～117.

[4]赵文桐，刘文芳，刘明成．重力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(3)：96～98．

[5]李学生，师教民.对一道中学生物理竞赛试题答案的商榷[J]．物理通报，2014(9)：119～120．

[6]刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(12)：109～111．

[7]刘明成，赵文桐，刘文芳.引力机械能守恒定律在各惯性系都成立[J]．物理通报，2015(6)：123～124．

[8]马忠义.物体在约束运动中的功和能.沈阳化工学院学报，1989（3）2：117～122.

[9]李有为.受光滑约束系统的机械能守恒问题.郑州工学院学报，1989（9）：91～94.

[10]李学生.正确理解弹性势能的概念.中国科技纵横，总第332期，2020年04（下）：237～238.

[11]李庆国.机械能守恒吗？——对“机械能守恒定律”几种错误理解的讨论[J].物理教学探讨，2010，28（6）：39～40.

[12]张寅静，丁姗.关于机械能守恒定律条件的讨论.河南纺织高等专科学院学报，1999（9）：31～33．

[13][美〕HoltonG，张大卫译.物理科学的概念和理论导论.上册.第1版.北京:高等教育出版社，1983：338.

[14]李学生.对一道困扰力学界五十多年习题的思考.百科论坛，2020年第11期卷:1359～1360.

[15]周筑文.物理学对称美和物理核心素养的培养.贵州师范学院学报，第35卷第12期，2019（12）：5 1～56．

Brand-new explanation of mechanical energy conservation of object moving in even speed around circle

Abstract：It the issue of mechanical energy conservation of the object moving in uniform speed around circle， which straightforwardly led to conclusion，for all reference systems， the mechanical energy of the object moving in uniform speed around circle is always conservative.

Key words：the object moving in uniform speed around circle；kinetic energy；potential energy；conservation of mechanical energy