哥德尔命题5-命题11的两个图表 水灾 奥运——哥德尔读后之十六

刚刚感叹一番全球天灾，完成一篇哥德尔阅读的对比图表文。休憩转换一下阅读奇怪字符的神经，听听音乐，看看美图。这几天，重又走进哥德尔之际，历史的聚焦镜头，一下子从遥远的西欧洪灾折转到了老家的邻省河南。西欧的洪水恐怕还没有退尽，在河南郑州，还有河南很大范围的城镇，却似乎是碰到了千年未遇的水难。真不知道这个世界怎么啦，可怜地铁隧道中，沉没多少冤鬼魂。九龙翻江兴恶浪，遗祸中原郑州城。

祈祷上苍，佑护生灵。

水灾留照隧道积水和遂道旁车辆

郑州地铁5号线

还是来追寻我的文字梦吧。

哥德尔在给出46个定义之前，首先给出了4个可证明的命题。陈述思路其实差不多，也是先给出定义，再给出命题。给出递归的定义之后，一俟定义完毕，哥德尔马上就给出了命题1-4。在他继续去陈述另一批命题5-11之前，则是先给出46个定义。在阅读哥德尔1962年译本命题1-4时，还没见到2000年译本。既然在定义1-46中对于两个译本的定义做了对比，为保持这种对比的一致性，用更闪亮一点的描述，即所谓可持续性，在继续哥德尔的5-11命题之前，回顾一下前四个命题，并如同前述定义对比那样，对这两个版本的命题也来一个对比，应该还有点意思。

2000年译本的中译，来自张寅生《证明方法与理论》附录，其后的5-11命题对比同此。

一、两个译本的中译后命题1-4对比

    两个译本命题1-11对比图表1：1-4

二、两个版本译本的5-6定理对比

46个定义之后，接之又是一批可成立的命题，那自然可以称之为定理。但1962年译本以命题形式表述，2000年译本直接称之为定理。我们继续使用图表来进行这种对比，可惜2000年译本把哥德尔原著的第三部分和第四部分省略，只有命题1-6的内容，定理6之后无有。以下图表也就只有两个命题的对比，命题6之后的那些命题，仅仅1962年译本才有，单行列于其后吧。由此，我们的对比性证明，也就仅在命题5-6。从命题7到命题11，全来自哥德尔1962年英译本，贯通哥德尔原著的第2章，第3章和第4章，命题11的内容，包括其证明，出现在哥德尔全文的最后两页。这也是全文的第4章，先给出命题11，然后给出命题11的证明。

两个译本命题5-6对比图表2：5-6及1962年译本的命题7-11.

三、命题Ⅴ的简略说明

命题Ⅵ是哥德尔论文的核心，恐怕至少得一篇博文的篇幅才有可能理出个头绪。好在第5个命题Ⅴ的描述相对简单，争取在奥运开幕式前弄成这个说明。这个同样多灾多难的东京奥运，似乎要是因为对于字符的偏爱而错过，很是有点得不偿失，所以这个博文把这个短短的命题5说明搞掂。

东京奥运会馆

命题5是在说明什么呢：它是在说明两种正相反对的关系序列所导出的结果（3）和结果（4）。

哥德尔没有给出详细的证明，但给出了一个证明的概要思路。因为我们是为所有形如x₁=Φ(x₂,....x_n)的关系R(x₁,x,....x_n)给出证明，而这里的Φ是递归关系，所以就可以运用数学归纳法于Φ的度，即哥德尔在前就定义过的，公式Φ的最小序列长度。对于一度的Φ，（3）和（4）显然成立。若Φ为m度，借助代入和递归定义，也容易证明（3）和（4）成立。

有了这个命题5，不可判定性定理就来到了我们面前，这就是哥德尔原著中的命题6.对于这个命题6的证明，且留待下篇。