1.   有限转动与欧拉定理

  刚体是刚硬物体的抽象，是由密集质点组成的质点系，其中任意两个质点之间的距离在运动过程中保持不变。不受约束的自由刚体有 6 个自由度，即刚体内任意点 O 的 3 个移动自由度和绕 O 点的 3 个转动自由度。若 O 点的运动规律已完全确定，仅讨论刚体绕 O点的转动时，刚体的姿态如何用数学方法表达就是首先要解决的问题^[1]。

将 O 作为原点建立固结于刚体的正交坐标系表示刚体的位置。各坐标轴的基矢量 e_k (k = 1,2,3) 组成矢量列阵，以略去下标的黑体字母 e 表示，称为刚体的连体基。任意矢量 a 可利用在基矢量 e_k 上的投影 a_k (k = 1,2,3) 表示，所组成的标量列阵称为矢量 a 在 e 基上的坐标阵，为简化表达仍以黑体字符 a 表示，以带括号的上标 i 和 j 表示不同连体基的序号。刚体绕 O 点转动的不同位置之间的几何关系可利用连体基 e⁽ⁱ⁾ 和 e^(j) 之间的方向余弦矩阵 A^(ij) 确定。其中 9 个方向余弦元素中只有 3 个独立参数，体现刚体的 3 个转动自由度。关于方向余弦矩阵的定义和性质，在文末的附录 1 中有详细说明。

刚体绕 O 点任意角度的转动称为有限转动。1765 年欧拉 (L. Euler) 的一次转动定理是关于有限转动的重要定理（图 1）：刚体绕定点 O 的任意有限转动可由绕过 O 点某根轴的一次有限转动实现。

为证明欧拉定理，可参阅附录 1 中方向余弦矩阵的性质五。因任意两个基之间的方向余弦矩阵存在等于 l 的特征值，所对应的特征矢量对两个不同基有完全相同的坐标阵。因此刚体绕 O 点的任意两个不同位置必能通过绕特征矢量的一次转动实现。

图1  欧拉 (L. Euler, 1707-1783)

2.  有限转动张量：

设刚体以 O 为基点的连体基在转动前的位置为 e⁽⁰⁾，刚体绕有限转动轴 p 轴逆时针转过 θ 角后的位置为 e⁽¹⁾。固结于刚体的任意矢量 a₀ 与转动后的位置 a 均位于相对 p 轴对称的圆锥面内。过 a₀ 和 a 的矢量端点 P₀ 和 P 作平面与 p 轴垂直并相交于 O₁ 点，过 P 点向 O₁P₀ 引垂线，垂足为 Q  (图 2)，则有

                                                                                                                            (1)

设 p 轴的基矢量为 p ，式 (1) 中的矢量 QP 沿 p×a₀ 方向，P₀Q 沿 p×(p×a₀)方向。则式 (1) 可写作

                                                                          (2)

利用二重矢量积的变换公式：

                                                                                        (3)

将式 (2) 中的  p×(p×a₀) 展开后，化作

                                                                             (4)

图2  刚体的有限转动

  依序并列的两个矢量称为并矢。关于并矢的定义和运算规则，在文末的附录 2 里有详细说明。矢量式 (4) 的右项可利用并矢 A 与矢量 a 的标量积表示为

                                                                                                                                                     (5)

其中的并矢 A 定义为

                                                                              (6)

其中 E 为单位并矢。式 (6) 定义的并矢 A 称为刚体的有限转动张量。公式 (5) 利用有限转动张量 A 确定刚体绕 p 轴转过有限角 θ 后，与刚体固结的矢量 a₀ 与转动后位置 a 之间的几何关系。欧拉于1775年导出此公式^[2]。

3.  有限转动矩阵：

  将式 (6) 中的矢量与并矢向 e⁽¹⁾ 基，即 (O-x₁y₁z₁) 坐标系投影。写出由矢量和张量的坐标阵组成的矩阵方程:

                                                                                                                                         (7)

此处的黑体字符表示投影矩阵。A⁽¹⁾ 为有限转动张量 A 在 e⁽¹⁾ 中的坐标阵，称为有限转动矩阵。省略上角标，从式 (6) 直接写出

                                                                                          (8)

其中 E 为单位阵，p 和 分别表示基矢量 p 在 e⁽¹⁾ 中的坐标阵和坐标方阵：

                                                                                            (9)

式 (7) 中的 a⁽¹⁾ 是矢量 a 在 e⁽¹⁾ 中的坐标阵，它与转动前的矢量 a₀ 在 e⁽⁰⁾ 中的坐标阵 a₀⁽⁰⁾ 应完全相同。因此式(7)中的 a⁽¹⁾ 可置换为 a₀⁽⁰⁾，改作

                                                                                                                                            (10)

上式表示同一矢量 a₀ 利用矩阵 A⁽¹⁾ 将 e⁽¹⁾ 中的坐标阵变换为 e⁽⁰⁾ 中的坐标阵。依照附录 1 中对方向余弦矩阵的定义，A⁽¹⁾ 是连体基转动后位置 e⁽¹⁾ 与转动前位置 e⁽⁰⁾ 之间的方向余弦矩阵。

将式(8)的右项展开后略去角标，称为有限转动矩阵：

                             (11)

由于方向余弦之间存在关系式：

                                                                                                              (12)

因此构成矩阵 A 所有元素的 4 个参数 p₁, p₂, p₃, θ 中只有3个独立变量，对应于刚体绕定点转动的 3 个自由度。将转动轴位置 p₁, p₂, p₃ 和转角 θ 代入式 (11)，即得到转动前后刚体位置之间的方向余弦矩阵。反之，给定任意方向余弦矩阵 A = (a_ij)，一般情况下，也可从式 (11) 逆解出用方向余弦元素 a_ij(i,j = 1,2,3)表示的转动轴位置 p_k (k = 1,2,3) 和转角 θ：

                                                   (13)

其中 p_k  的正负号可参照原矩阵 A 加以确定。上式的推导过程也可视为对刚体有限转动欧拉定理的证明过程。

4.  欧拉角：

式 (11) 表示的刚体绕 O 点任意两个位置之间的方向余弦矩阵中只有 3 个独立变量，与刚体的3个转动自由度相对应。欧拉设想将刚体的有限转动分解为依一定顺序绕连体坐标轴的 3 次有限转动，将每次转过的角度定义为 3 个广义坐标，以确定刚体转动前后的相对位置。

设刚体连体基从初始位置 e⁽⁰⁾，即坐标系 (O-x₀y₀z₀) 出发，先绕 z₀ 轴转动 ψ 角到达 e⁽¹⁾，即 (O-x₁y₁z₁)；然后绕 x₁ 轴转动 ϑ 角到达 e⁽²⁾，即 (O-x₂y₂z₂)；最后绕 z₂ 轴转动 φ 角到达 e⁽³⁾，即 (O-x₃y₃z₃) 为刚体的主轴坐标系。3 个广义坐标 ψ, ϑ, φ 称为欧拉角，其中 ψ 为进动角，ϑ 为章动角，φ 为自转角 (图 3)。将此转动次序表示为

利用有限转动矩阵的普遍公式 (11)，只要将每次转动的转动轴位置和转过的角度代入，即得到每次转动前后的方向余弦矩阵。

                                                                                                                  (14)

利用附录 1 中方向余弦矩阵的性质三，利用矩阵乘法可导出任意两个基之间的方向余弦矩阵。例如

                                                             (15)

                             (16)

其中以 c 和 s 作为 cos 和 sin 的简略符号。二次转动后的连体基 e⁽²⁾ 对轴对称刚体有特殊意义。若刚体的质量相对 z₂ 轴对称分布，则绕 z₂ 轴转动前后的连体基 e⁽²⁾ 与 e⁽³⁾ 均为刚体的主轴坐标系。e⁽²⁾ 通常称为莱查坐标系 (Resal,H.)，其中仅 z₂ 轴与刚体固结，不参与刚体绕 z₂ 轴的转动。用它作为轴对称刚体的参考坐标系可明显使计算简化。

图3   欧拉角

5.  卡尔丹角：

欧拉角是经典刚体动力学常用的广义坐标。它特别适合讨论章动角 ϑ 接近不变，进动角 ψ 和自转角 φ 接近匀速增长的刚体运动，例如天体的运动或陀螺的运动。欧拉角的缺点在于，在 ϑ = nπ (n = 0,1,…) 的特殊位置处，(x₂, y₂) 与 (x₀, y₀) 两个坐标面重合，ψ 角与 φ 角无法区分而成为奇异位置。当 ϑ 接近于零或 nπ 时，数值计算即无法进行。此外，e⁽³⁾ 相对e⁽⁰⁾ 即使有微小偏离，也能导致 ψ 角在 2π 范围内的大变化。

改变有限转动的顺序，可定义另一组角度坐标 α, β, γ，称为卡尔丹角（图 4）。其转动次序为

图4   卡尔丹角

卡尔丹角避免了欧拉角的缺点，当 e⁽³⁾ 相对 e⁽⁽⁰⁾ 有微小偏离时，所有的角度坐标 α, β, γ 均为小量，便于线性化处理。因此在工程技术中采用更为广泛，是确定飞机、船舶、车辆等工程对象姿态的常用方法。卡尔丹角的名称来自陀螺仪的万向支架，α, β, γ 就是外环、内环和转子的实际转角（图 5）。万向支架在西方曾错误地认为是 16 世纪意大利人卡尔丹（Cardano,G., 1501-1576）的发明。实际上万向支架早在我国西汉时期就已存在，刘歆的《西京杂记》里就有具体的文字记载，比卡尔丹提前了一千多年。因此卡尔丹角仅为习惯使用的角度名称，与万向支架的发明无关。

图5  陀螺仪的万向支架

卡尔丹角避免了欧拉角中章动角 ϑ 等于零时的奇异性，但仍不能避免奇异位置的存在。只是奇异位置 β = π/2 + nπ (n = 0,1,…)远离零点优于欧拉角。而卡尔丹角在奇异位置附近也同样发生数值计算的困难。因此有必要跳出三角函数的局限另辟蹊径，创造一种不存在奇异性的表达方法。于是四元数应运而生，将在下一篇博文里详细讨论。

参考文献

[1]  Shuster MD. A survey of attitude representations. J. Astron. Sci., 1993, 41(4): 439-518.

[2]  Euler L. Nova methodus motum corporum rigidorum determinandi. Novi Commentari Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 1775, 20: 208-238.

          （改写自：刘延柱. 高等动力学(第二版)，4.1节. 北京：高等教育出版社，2016）

附录1：方向余弦矩阵

              附录2：并矢