与具有古老历史和传统的其它杂技项目不同，飞车走壁是和自行车、摩托车和汽车等现代交通工具相关，极具时代特征的杂技项目（图 1）。上世纪 30 年代，国人皮德福从英国引进飞车木桶，创立了飞车表演团，以其难度、技巧和观赏性而引起轰动。此后不少省市也相继成立了飞车团队，走壁的飞车从自行车发展成摩托车和小汽车，原始的大木桶也发展成钢制的圆球形网状结构（图 2）。观众不必攀登到木桶顶部的边缘向下俯视，就能以任意角度欣赏精彩的飞车表演。上海杂技团的 “时空飞车” 节目中，8 个现代化勇士骑着摩托车从四面八方冲进直径  6.5  米的巨型钢球，高速飞驰穿梭翻腾的表演令观众惊心动魄。

图1  大木桶内的飞车走壁

图2   球形钢网内的飞车走壁

在略带锥度的圆柱形木桶内，骑手在与地面平行的平面内能紧贴桶壁完成圆周运动，是因为桶壁对车轮的摩擦力平衡了车的重力。只要车的重力不超过桶壁的最大静摩擦力就不会掉落。根据库伦摩擦定律，最大静摩擦力与正压力成正比。而正压力来自离心惯性力对桶壁的挤压，与车速的平方成正比。圆柱形木桶内的飞车如偏离水平面，轨迹的曲率就会减小，离心惯性力和正压力，乃至最大静摩擦力都随之减小。因此骑手在木桶内的运动不能偏离水平面太远。当木桶发展成钢制圆球时，情况就不同了。骑手沿球面内的任意圆弧运动都有离心惯性力存在，它不仅产生正压力和摩擦力，而且沿铅垂轴的分量直接参与了重力的平衡。由于摩擦力和离心惯性力共同分担车的重力，骑手甚至可在过顶点的垂直平面内飞驰，获得更大的自由度。

为分析飞车沿球面内任意大圆弧的运动，以球壁的球心 O 为原点，建立固定参考坐标系 (O-XYZ)。Z 轴为垂直轴，X 轴沿运动平面与过 O  点水平面的交线（图 3）。令 (O-XYZ) 绕 X  轴转过 α 角，使 Z 轴到达的新位置与运动平面的法线轴 z 重合。再绕 z 轴转过 β 角的位置记作 (O-xyz)，x 轴沿球壁的外法线指向车和车手的质心 P，y 轴沿车的速度方向。α 和 β 是确定飞车位置 P 的两个角度坐标。设载人车的质量为 m，速度为 v，球面的半径为 R，桶壁对车轮的约束力 F 作用于前后轮接触点连线的中点 Q。设 F 沿 x, y, z 各轴的分量为 F_x, F_y, F_z，其中F_x = -F_n 为法向约束力，沿 x 轴的负方向，F_y , F_z 为沿切向的摩擦力。离心惯性力 mv²/R  沿 x 轴的正方向，重力 mg 沿 Z 轴的负方向。根据达朗贝尔原理列出车体沿 x, y, z 各轴的质心运动方程：

                                                                               (1)

                      图3  沿球形壁运动的飞车受力图

为使车轮保持紧贴球壁的滚动状态，法向的单面约束力 F_n 必须为正值，且摩擦力 F_y, F_z 的模必须小于最大静摩擦力。即以下 3 个约束条件必须同时满足：

                                                                                            (2)

其中 f 为静摩擦因数。各约束条件均与车的质量无关，因为所有的作用力均包含质量因素而相互抵消了。将上式中的不等号换成等号，解出速度 v 的 3 个临界值：

                                                                                       (3)

v_cr,j  (j = 1,2,3) 中的最大值是能使飞车贴壁滚动的 3 个约束条件全部满足的最低车速:

                                                                                                                     (4)

v_min 随 α 和 β 的变化曲线在 图 4 中给出。作为特例，α = 0 是在水平的赤道面内运动的飞车，圆周上各点有相同的最低速度 v_min = (gR/f)^1/2。设 R = 6 m，f = 0.4，算出的最低速度约为 12 m/s。对应的加速度 v²/R 为 24 m/s² ≈ 2.4g，超过了重力加速度的两倍。实际上飞车的表演速度大大超过此最低速度，如车速增至 18 m/s，车手就必须承受 5g 以上的加速度。α = 90⁰ 是在垂直平面内运动的另一特例，最低速度随车体的不同位置而改变。在 β = 90⁰ 的圆周顶端达最小值 v_min = (gR)^1/2，此时车的重力完全由离心惯性力平衡。按以上数据算出的最低速度 (gR)^1/2 约为 8 m/s。由此可见，虽然沿垂直面运动的飞车看起来惊险万分，在顶端甚至处于倒悬状态，但必需的最低速度反而比沿水平面的飞车小得多。

  图4　v_min/(gR)^1/2 随 α 和 β 的变化曲线

用于飞车的圆筒形木桶相对垂直轴通常有 γ = 10⁰  左右的倾角而略带锥度。设飞车在桶内作半径为 R 的水平圆周运动。以圆心 O 为原点，Z 轴为垂直轴，O 点 至车的质心 P  的连线为水平轴 X。令 (O-XYZ) 绕 Y 轴转过 γ 角，使 X  轴和 Z 轴到达的新位置平行于接触点 Q 处桶壁的法线轴  x  和切线轴  z，y  轴沿飞车前进方向。参照图 5 表示的受力状况，仅保留 γ  的一次项，列出车在重力、惯性力和约束力作用下沿 x 轴和 z 轴的平衡方程:

                                                                                  (5)

γ 角在  0⁰  至  90⁰  范围内变化时，为保证车轮紧贴球壁滚动的 F_n  > 0 条件可自动满足。飞车的最低速度可从另一条件 |F_z| <  fF_n  得出：

                                                                                                                (6)

图5  沿锥形壁运动的飞车受力图

  图 6 为  f = 0.4 时，飞车的最低速度 v_min 随 γ 角的变化曲线。当 γ 增大桶壁趋于平坦时，最低速度随之降低。对于 cot γ = f  的特殊情形，即 γ = 68⁰，或桶壁相对地面坡度为 22⁰ 的特殊情形，v_min = 0。此时重力的切向分量等于最大摩擦力而产生自锁，即使车速接近零也不会下滑。当车在此位置以任意速度行驶时，所产生的离心惯性力均能推动车向上方移动。

图6  v_min/(gR)^1/2随 γ 的变化曲线

类似现象发生在自行车的场地赛。自行车赛场的圆形赛道外圈高于内圈，形成弧形断面，便于使车的重力产生向心力分量。按以上分析，最低速度与半径的平方根成正比，内圈的最低速度低于外圈。当内圈上的自行车手速度过快时，离心惯性力将车向上推至外圈。速度降低时，重力再将车拉回内圈（图 7）。

图7　赛道上的自行车

以上在列写力平衡方程时并未考虑力矩的平衡。实际上在运动过程中，重力和离心惯性力作用于质心 P，法向约束力和摩擦力作用于车轮与桶壁的接触点 Q，P 与 Q 并不重合。以水平圆周运动为例，由于离心惯性力与支承力构成一对力偶，车体必须向一侧倾斜，使重力与摩擦力构成方向相反的力偶与之平衡。将 P 与 Q 的连线作为车的纵轴，相对垂直轴的倾角为 θ，设 h 为车直立时的质心高度，即 P 与 Q 之间的距离（图5）。则作用力对质心 P 的合力矩 M 沿切线轴  y 的负方向，模为

                                                                                        (7)

此力矩必须平衡因动量矩改变方向而出现的陀螺力矩 M_g

                                                                                                                                              ₍₈₎

其中 L 为前后车轮旋转产生的对质心的动量矩，沿车轮平面的法线，即 x 轴的负方向。如车轮沿 y 轴作无滑动的纯滚动，r 为车轮半径，则车轮的角速度为 Ω = v/r，设 J  为车轮的转动惯量，L  的模为 L = 2Jv/r。ω 为 L 矢量随同车的圆周运动绕 Z 轴转动的角速度，模为 ω = v/R。根据图 5 判断，M_g 指向 y 轴的正方向。从达朗贝尔原理出发，将 式 (5) 解出的 F_n，F_z  代入式 (7)，与 ω×L 的模 (2Jv²/Rr)cosγ 相等，导出

                                                                                                              (9)

其中 ε = 2J cosγ/mhr 是体现陀螺效应的参数。由于 mhr >>J，ε 为小量。仅保留 ε 的一次项，解出

                                                         (10)

其中 v²/gR 是向心加速度与重力加速度之比，倾角 θ 随着速度的增高和圆周半径的减小而加大。如忽略微弱的陀螺效应，则简化为 θ ≈ arctan (v²/gR)。将 v 以最低飞车速度 (gR/f)^1/2代入，化作 θ ≈ arctan (f) = 68⁰。这就是图 1, 图 2 和图 7 中所有飞驰中的车体都保持倾斜姿态的原因。

   （改写自：刘延柱，飞车走壁的动力学. 力学与实践，2014，36(2): 246-248

          刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，2.7节. 北京：高等教育出版社，2018）