前篇博文“杂技力学之五：呼啦圈”里讨论了细圆环围绕身体转动的力学现象。本文讨论与细圆环有关的另一个问题，即直立滚动圆环的力学问题。

最常见的滚动圆环就是滚铁环。在儿童玩具不如现在丰富的年代里，滚铁环可算是男孩子喜爱的宝物了。找一个箍木桶的铁环，用铁勾勾住铁环，边推动铁环向前滚动边控制方向，或直走或拐弯，可以从家门口一路滚到学校 (图 1)。可惜随着各种现代化玩具的出现，有着悠久历史的滚铁环游戏早已日渐冷落。只有在欣赏艺术体操表演时，还能看到圆环在地面上的滚动现象。

图1   滚铁环

滚铁环需要有些技巧。会滚铁环的孩子懂得，铁环在地面上滚动起来，即使暂时脱离铁勾，也能维持一段时间不倒。但这种稳定性和铁环的转速有关，滚得愈快愈稳，太慢就要翻倒。在经典力学里，粗糙平面上滚动的圆环或圆盘的运动问题曾是一个典型的非完整约束问题。研究工作可以追溯到  1899  年阿贝尔 (Appell, P.) 的著作，甚至更早。

滚动中的圆环为何能保持不倒？原因是当圆环受到扰动向一侧倾斜时，圆环在重力作用下出现倾倒的趋势。与此同时，绕水平轴的倾斜角速度使转动中的圆环产生绕垂直轴的陀螺力矩，使圆环产生绕垂直轴的角加速度。当角加速度积累为绕垂直轴的角速度时，圆环产生绕水平轴的陀螺力矩，与重力的倾覆力矩平衡。当绕垂直轴的角速度积累为转角时，圆环的前进方向发生改变，转变为曲线运动。圆环沿弯曲的轨道运动时，离心惯性力产生对接触点的力矩，也与重力的倾覆力矩方向相反。只要圆环有足够大的旋转速度，上述力学效应足以使圆环保持直立状态的稳定性。

关于陀螺力矩的定义和稳定性作用可参阅“陀螺力矩与鱼鹰飞机”,“自行车的发明简史及力学原理”,“杂技力学之三：独轮车”等另几篇博文。

  设圆环相对地面作纯滚动。以圆环与地面的接触点 O 为原点，建立参考坐标系 (O-XYZ)，其中 X 轴为水平轴，沿圆环的前进方向，Y 轴为垂直轴，另一个水平轴 Z 轴与前进方向正交。设  (O-XYZ)绕 Y 轴转过 ψ 角到达的位置为 (O-x₀y₀z₀)，绕 x₀ 轴转过 θ 角后到达的位置 (O-xyz) 为圆环的主轴坐标系（图 2）。

         图2   确定圆环姿态的坐标系

仅保留 ψ, θ 的一次项，设 i, j, k 为 (O-xyz)  各坐标轴的基矢量，则 (O-xyz) 坐标系的角速度 ω_R 为

                                                                                                                                  (1)

设圆环以速度 v₀ 沿 X 轴匀速前进，绕极轴的角速度为 ω₀k。设圆环的半径为 R，利用纯滚动约束条件，ω₀ = v₀/R。圆环的角速度为 ω = ω_R+ω₀k。设圆环相对 Ox 轴的惯性矩和相对 Oz 轴的惯性矩分别为 A 和 C，则圆环相对 O  点的动量矩 L 为

               (2)

设圆环的质量为 m，重力对O 点的力矩 M 为

                                                                                                                        (3)

将式(1),(2),(3)代入圆环相对O 点的动量矩定理：

                                                                                                                                  (4)

导出线性化的扰动方程:

                                                                                               (5)

以 ψ = θ = 0 作为圆环的未受扰状态，设 ψ₀, θ₀ 为初始扰动，利用指数函数特解 ψ = ψ₀e^λt, θ = θ₀ e^λt，导出此线性方程组的特征方程：

                                                                                                  (6)

除零根 λ = 0 体现圆环绕垂直轴的转动具有随遇性以外。若另两个特征根为虚数，依据一次近似的稳定性定理，未扰运动稳定。因此圆环的稳定性条件即特征根为虚数的条件: 

                                                                                                                                (7)

由此导出圆环中心速度 v₀ = Rω₀ 的临界值 v_0,cr：     

                                                                                                                                       (8)

速度大于临界值时，所产生的离心力矩可克服倾覆力矩将圆环扶正。速度小于临界值就做不到，圆环就会翻倒。

将圆环对 O 点的惯性矩 A = 3mR²/2, C = 2mR²代入后，得到 v_0,cr = 0.61(gR)^1/2。以上分析也适用于实心圆盘的滚动，将惯量矩换作 A = 5mR²/4, C = 3mR²/2，代入后得到 v_0,cr = 0.75(gR)^1/2，稍高于圆环的临界速度。可见相同半径的圆环要比圆盘更容易稳定。

虽然关于滚动圆环的力学问题在经典力学里已讨论得非常充分，但 1986 年美国人里特伍德（Littlewood,J.E.）提出了一个新问题^[1]，美国数学月刊在 1997 前后发表了多篇讨论文章，重新唤起对滚动圆环问题的注意^[2,3]。所谓里特伍德问题是：“ 在一个细圆环的轮缘上固定一个质点，圆环的质量忽略不计，当圆环在粗糙水平面上作平面滚动时，有无可能解除约束跳起腾空？”

为了确认圆环究竟能否跳起，1999 年施瓦布（Schwalbe）等人做了一个实验。他们在一个塑料制的细圈上固定一个小质量块，中间用十字支撑以维持圆环形状不变，然后用频闪仪拍摄圆环的滚动过程^[4]。从拍摄的照片可以明显看出圆环确实存在短暂的腾空阶段 (图3)。

图3   圆环滚动的频闪摄影（引自文献[4]）

从简单的物理概念考虑，可以设想当质点处于圆心的上方时，由于滚动产生的离心惯性力有可能与地面的法向约束力平衡而解除约束。如质点同时存在向上的垂直速度，必能离地跳起。

仍讨论半径为 R 圆心为 O 的细圆环在地面上的纯滚动，但在环上固定一个质量为 m 的质点 P (见图4)。环的质量忽略不计时P点即系统的质心。以 O  为原点，建立与地面固定的平面参考坐标系 (O-xy)，x 轴和 y 轴分别为水平轴和垂直轴， OP 相对 y 轴的转角为 φ。圆环的圆心沿x轴的前进速度 v₀ = Rω，ω = dφ/dt 为绕极轴的角速度，v₀ 和 ω 均随时间 t 变化。以 t₀ 表示解除约束时刻，此时地面对圆环的法向约束力 F_N 为零，摩擦力 F 亦随之为零。质点 P 仅受重力 mg 和沿 OP方向的离心惯性力 mRω² 作用，利用沿 y 轴的平衡方程导出

                                                                                                                                (9)

其中 φ₀ = φ(t₀), ω₀ = ω(t₀)。为保证 ω₀  有实数解，要求 0 < cosφ₀ ≤1，即

                                                                                                      (10)

即质点 P 的位置位于圆心 O 的上方，且圆环的转速大于或等于临界值 (g/R)^1/2，方能保证圆环的离心力与重力平衡而解除约束。

图4  带偏心质点的滚动圆环

即使解除约束，圆环能否离地还必须由质点 P 在 t₀  时刻有无垂直速度来判断。P 点的速度等于 O 点的水平速度 v₀ 与 滚动引起的相对 O 点的切向速度 Rω₀ 的矢量和。以 v_0x, v_0y 表示 t₀ 时刻的水平和垂直速度，导出

                                                                                                                             (11)

为保证 v_0y  > 0，φ₀ 应满足

                                                                                                                                                   (12)

综合上述分析，圆环应同时满足条件(10)和条件(12)，得出圆环离地跳起的充分必要条件：

                                                                                                             (13)

因此在解除约束时刻，如圆心速度大于或等于临界值 (gR)^1/2，且质点位于 (O-xy) 坐标平面的第二象限时，圆环可向上跳起作抛物线运动。圆环离地腾空后，随着抛物线轨迹的下降而重新与地面接触。

参考文献：

1.        Littlewood J E. Littlewood’s Miscellany, Cambridge, Cambridge University Press,1986

2.        Tokeida T F. The hopping hoop, Amer. Math. Monthly, 1997, 104 :152-154

3.        Butler J. Hoping hoops don’t hop, Amer. Math. Monthly, 1999, 106: 565-568

4.        Pritchett T. The hopping hoop revisited, Amer. Math. Monthly, 1999, 106: 609-617

（改写自：刘延柱. 滚动圆环的力学问题. 力学与实践，2002, 24(5): 74-76

刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，1.2节. 北京：高等教育出版社，2018）