体育和娱乐活动里将细藤圈作为道具有着古老的历史。投掷细藤圈以套中地面目标为乐的游戏在我国流传已久，也曾是古希腊的运动项目。在现代体育的艺术体操中，大藤圈也是规定的道具之一。将大藤圈套在身上靠扭动腰肢旋转的游戏最早出现在 1957 年的澳大利亚。一家 Toltoy 玩具公司用竹制成这种细圈，后来改为塑料圈，一年内售出了 40 万只。看到商机的两个年轻美国玩具商将这个新奇玩意带到美国，竟成为老少咸宜的娱乐活动席卷全国。由于扭动身体的舞姿很像夏威夷土著称为 Hula 的草裙舞，呼啦圈 (Hula hoop) 从而得名。全美呼啦圈竞赛每年举行，最长呼啦圈旋转时间、最大最重的呼啦圈、一次转动最多的呼啦圈、边转呼啦圈边跑的最长距离等世界纪录不断刷新。呼啦圈于 80 年代传入我国，成为一种减肥瘦身的健身运动，也成为杂技舞台上的新节目 (图 1)。2020 年一位 90 后女孩竟能一次转动 300 个呼啦圈，创造了吉尼斯世界纪录。

图1  呼啦圈表演

呼啦圈的玩法并不复杂。将一个呼啦圈套在腰部用力一甩，让它围绕身体旋转起来，然后不停地扭动腰肢，使呼啦圈持续地旋转（图 2）。扭腰动作愈剧烈，呼啦圈转动愈快，愈不容易往下掉。不过对于初学者，这种看似简单的动作也必须多次练习才能掌握。

图2  扭动腰肢转动呼啦圈

从力学观点分析，呼啦圈是圆环在非定常单面约束下的三维运动。为便于分析，将复杂的动力学问题分两步进行。先不考虑圆环沿垂直方向的运动，仅讨论在水平面内的平面运动。设 O₀ 为此平面内的固定点，以 O₀为原点建立惯性坐标系 (O₀-xyz)，z 轴为垂直轴，x, y 轴在水平面内。设转呼啦圈的人十分发福，用一个圆柱体近似地代表身体，以半径为 r 圆心为 O₁ 的圆 C₁ 表示圆柱体的截面。C₁ 的中心 O₁ 围绕固定点 O₀ 作半径为 a 的匀速圆周运动。站立在原地的人绕垂直轴不能转动，只能随同 O₁ 点平动。将一个比圆柱体大的半径为 R 的刚性圆环 C 套在圆柱体上，R > r。设圆柱体与圆环在接触点 P 处无滑动，速度的大小和方向均保持一致。

设在 t = 0 初始时刻，O₁ 点的初始位置为 O₁₀，与圆环与圆柱体接触点 P 的初始位置 P₀ 均在 y 轴上。圆弧 C 与 C₁ 在 P₀ 点处相切，圆环 C 上与 P₀ 重合的接触点为 Q₀（图3）。设在 t 时刻，圆柱体中心 O₁ 沿半径为 a 的圆轨迹 C₀ 绕 O₀ 转过 φ 角从 O₁₀ 转至新位置 O₁，∠O₁₀O₀O₁ = φ。圆柱体 C₁ 随 O₁ 平动至新位置，与圆环的接触点移至 P  点，圆环 C 上与 P  点重合的接触点为 Q 点。接触点的原位置 P₀ 和 Q₀ 亦随同圆柱体和圆环的运动改变位置。平动刚体 C₁ 在 P 点处的速度与 O₁ 点相同，均为 v_P = a(dφ/dt)，设 P  点相对 O₁ 点转过的角度为 ∠P₀O₁P = ψ，C₁ 在 P 点处的速度应同时满足 v_P = r(dψ/dt)，从而导出 dψ/dt = (a/r)(dφ/dt)。以 ψ = φ = 0 为初值，积分后得到 ψ = aφ/r。圆环 C 上的接触点 Q 相对圆环中心 O转过的角度为 ∠Q₀OQ = θ，依据接触点处无滑动的基本假设，P₀P 与 Q₀Q 弧长相等，rψ = Rθ，得出 θ = rψ/R。O₁,O,P(Q)三点共线。

图3  受约束圆环在水平面内的运动

利用矢量式 O₀O = O₀O₁+O₁O，导出圆环 C 的圆心 O 沿 x, y 轴的坐标：

                                                                                                      (1)

设 O₁ 绕 O₀ 转动的角速度为 ω₀ = dφ/dt，圆环 C 在 C₁ 上的滚动角速度为 ω = dψ/dt，则 ω = aω₀/r。圆环 C 的转动角速度 Ω = dθ/dt 不同于滚动角速度 ω，二者之间有以下关系：

                                                                                                                                               (2)

作为两种极端情况，C₁ 缩成一点时 r = 0，Ω = 0，圆环角速度为零。C₁ 与 C 的半径相同时 r = R，圆环角速度与滚动角速度相等，Ω = ω。

将式 (1) 对t微分两次，得到

                                                                                (3)

设圆环的质量为 m，圆环在接触点 P 处受到圆柱体的法向约束力 F_n 和切向摩擦力 F 的作用。列写圆环在 (x, y) 平面内的质心运动方程：

                                                                                                          (4)

将式 (3) 代入式 (4)，且代入 ω = aω₀/r，解出

                                                                           (5)

其中  γ = φ-ψ 为 O₁O₀ 与 O₁O 的夹角

                                                                                                                   (6)

  式 (5) 中的摩擦力 F 满足库伦摩擦定理，以静摩擦因数 f 为比例系数：

                                                                                                                                                    (7)

式 (5) 表明圆柱体对圆环的法向正压力 F_n 和摩擦力 F 均来源于腰肢的扭动。单面约束条件 F_n > 0 在 a = 0 时，即腰肢不扭动时也能满足，但切向摩擦力消失。若初始时甩动圆环产生滚动角速度 Ω，依靠惯性应也能继续滚动，但不可能持久。因为缺少腰肢扭动提供的驱动力 F，而柔软的身体与圆环接触点处存在因变形引起滚动力偶 M_f 。 M_f  与正压力成正比， M_f  = δF_n，比例系数 δ 为滚阻系数，取决于圆环和身体接触区的范围。圆环在圆柱体扭动产生的摩擦力 F 的推动下，角速度 Ω 应满足动量矩定理：

                                                                                                                              (8)

其中 J = mR² 为圆环对中心轴的惯性矩。可据此做出判断： 

                                                                                                   (9)

仅当 FR ≥ δF_n 条件满足时，呼啦圈的旋转运动方可能持续进行。

  分析了水平面内的运动以后，下一步分析呼啦圈在垂直平面 (x, z) 内的运动（图4）。旋转中的呼啦圈能否往下掉落，取决于圆环的重力 mg 与 P 点处沿垂直方向的摩擦力 F_z 能否平衡。由于最大垂直静摩擦力为 fF_n ，沿 z 轴的平衡要求满足

                                                                                                                                                    (10)

 图4   受约束圆环在垂直平面内的运动

圆环的滚动角速度愈大，正压力和摩擦力愈大，圆环越不会掉落。将式 (5) 代入上式，导出

                                                 (11)

其中 ω_0,cr 为腰肢扭动的临界角速度，只要扭动角速度 ω₀ 超过此临界值，呼啦圈就不会掉落。

从图 4 看出，圆环的重力 mg 与摩擦力 F_z 构成一对力偶 mgR。因此圆环平面必须偏离水平面一个微小角度 ε ，使圆环的离心惯性力 F_c 与法向约束力 F_n 以 Rε 为力偶臂，构成方向相反的另一对力偶以保持平衡：

                                                                                    (12)

从中导出圆环的偏角ε：

                                                                                                                         (13)

圆环的转动角速度 Ω 愈大，偏转角 ε 就愈小，圆环愈接近水平。更准确的分析还必须考虑圆环转动的惯性效应，即由于圆环偏转使角速度矢量 Ω 偏离圆环主轴而引起的陀螺效应。推导过程在附录中补充列出。

呼啦圈运动简便易行，不须进健身房就能起健身作用而受到欢迎。不过呼啦圈是强度很大的运动，主要靠腰部用力。过度用力可能会引起腰肌和腰椎的劳损，反而得不偿失。这倒是喜爱呼啦圈运动的朋友们要引起注意的。

（改写自：刘延柱. 呼啦圈的力学. 力学与实践，2010，32(1): 102-104

刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，2.2节. 北京：高等教育出版社，2018）

         附录：考虑陀螺效应的圆环倾斜角计算