1.  欧拉参数：

  前篇博文里导出了刚体有限转动矩阵的普遍形式：

                       (1)

其中  p₁, p₂, p₃  为转动轴相对参考基各坐标轴的方向余弦，θ 为转过的角度。

    法国数学家罗德里格 (Rodrigues,B.O.) 于 1840 年对有限转动矩阵 (1) 做了关键性的改造（图1）^[1]。他将矩阵里的三角函数用半角公式做了代换，再引入以下 4 个参数：

                                                                     (2)

经上述变换后，有限转动矩阵 (1) 里所有的三角函数元素全转变为代数式：

                                             (3)

此 4 个参数 λ_k  (k = 0,1,2,3) 由转角 θ 和有限转动的转动轴方位 p₁, p₂, p₃ 共 4 个变量组成。直接验算可以证明欧拉参数之间存在关系式：

                                                                                                                          (4)

因此用 4 个欧拉参数表示刚体姿态仍只有 3 个独立变量。

图6   罗德里格 (B.O.Rodrigues, 1794~1851)

有限转动矩阵里的三角函数元素转化为代数式以后，欧拉角或卡尔丹角难以避免的奇异性问题就被彻底解决。在相当数量的文献里，如威泰克（Whittaker,E.T.）和戈德斯坦（Goldstein,H.）的经典著作，以及国内有关的一些著作和教材里，多将式 (2) 定义的参数称为欧拉参数 (Euler parameters)。而提出半角公式变换的罗德里格的姓氏被隐去未免有失公允。以 “欧拉－罗德里格参数” 命名应更为合理。为简化表述，下文仍简称欧拉参数。

变换后的有限转动矩阵 A 可分解为用两个矩阵 R 与 R^* 表示：

                                                                                                                       (5)

R 与 R^* 均为欧拉参数构成的 3×4 矩阵，由完全相同的第 1 列和相互转置的 3 阶反对称方阵组成：

                                                                                    (6)

直接验算可以证明矩阵 R 与 R^* 有以下性质：

                                                                                                     (7)

其中 Λ 为欧拉参数 λ_k (k = 0,1,2,3) 排成的列阵，E₃ 和 E₄ 为 3 阶和 4 阶单位阵。

2.  哈密顿四元数：

1843 年爱尔兰数学家哈密顿 (Hamilton,W.R.) 创造了一个新数学概念（图 2）^[2]。他将复数扩展为由一个实数单位和 3 个虚数单位 i, j, k 组成的包含 4 个实元 λ_k (k = 0,1,2,3) 的超复数，称为四元数 (quaternions)，记作 Λ：

                                                                                                               (8)

        图7   哈密顿(W.R.Hamilton, 1805~1865)

用空心圆点  ο  表示四元数的乘法运算，规定 3 个虚数单位之间的运算规则为

                                                                                                 (9)

若将式 (8) 中的虚数单位 i, j, k 视为基矢量，则后三项构成一个以 λ₁, λ₂, λ₃ 为坐标的矢量 λ。因此四元数也可定义为标量 λ₀ 和矢量 λ 的组合，借用加法符号写作

                                                                                                                    (10)

四元数中标量与标量之间，或标量与矢量之间的四元数乘积遵从一般乘法运算规则（设 α 与 β 为标量，a 与 b 为矢量）：

                                                                                                     (11)

矢量 a 与 b 的四元数乘积等于由标量 -a·b 与矢量 a×b 组成的四元数：

                                                                                                                (12)

以 Λ = λ₀+λ 与 M = μ₀+μ 的乘积为例，其运算结果为

                                                                                     (13)

改变式 (12) 中 λ 的正负号，即成为 Λ 的共轭四元数，记作 Λ^* = λ₀ - λ。Λ 与 Λ^* 的乘积为四元数的范数 Λ：

                                                                      (14)

3.  有限转动四元数：

  哈密顿创造的四元数最初仅为纯数学概念。1845 年英国数学家凯莱 (Cayley,A.) 提出将 4 个欧拉参数 λ_k (k = 0,1,2,3) 作为 4 个实元，定义以下标量和矢量（图8）^[3]

                                                                                                                                       ⁽¹⁵⁾

所构成的特殊四元数作为有限转动的数学表达，称为有限转动四元数。由于欧拉参数存在条件 (4)，有限转动四元数的范数等于 1。

图8   凯莱(A.Cayley, 1821-1895)

  在前篇博文里，曾给出有限转动张量的定义：

                                                           (16)

直接验算证明，此张量 A 可利用标量  λ₀ 和矢量  λ 表示为

                                                                                   (17)

代入有限转动的变换公式 a = A·a₀，化作以有限转动四元数 Λ 及其共轭四元数 Λ ^* 表示的有限转动公式

                                                     (18)

将上式左右两边各乘以 Λ ^* 与 Λ ，利用式 (14) 表示的范数等于 1 简化, 逆解出

                                                                                                                                                 (19)

若刚体相继作两次有限转动。第一次有限转动四元数为 Λ₁, 将矢量 a₀ 转至 a₁ 位置，

                                                                                                                          (20)

第二次有限转动四元数为 Λ₂, 将矢量 a₁ 转至  a 位置，导出

                                                                    (21)

上式表明，刚体的相继两次有限转动可由一次有限转动实现，合成的有限转动四元数等于各次有限转动四元数的乘积。此结论不难推广到刚体相继作 n  次有限转动的一般情形，所合成的有限转动四元数为

                                                                                                                 (22)

有限转动次序的不可交换性由四元数乘法运算的不可交换性所体现。

此后抽象的四元数就被赋予实际的力学内涵，成为刚体动力学的重要数学工具。文献中出现的四元数也就成为欧拉参数的同义词。

4.  角速度的四元数表达：

  在叙述刚体的角速度如何用四元数表达之前，必须先了解角速度的定义，以及利用角度坐标或方向余弦的表达方法。这部分内容作为预备知识在附录中给出。

附录中的式 (14) 表明，角速度 ω 相对连体基 e 的坐标方阵 ，可利用连体基 e 相对固定基  e ⁽⁰⁾ 的方向余弦矩阵 A 及其导数表示为

                                                                                                                      (23)

利用式 (7) 将上式中的矩阵 A 以 RR^*T 代替。直接验算可证实   

                                                                            (24)

代入式 (23)，利用矩阵 R 与 R^* 的性质 (7) 化简，得到

                               (25)

将式 (6) 代入上式右项展开后，其对角线元素即式 (4) 的导数，应等于零：

                                                                                                       (26)

从非对角线元素得到欧拉参数表示的角速度公式：   

                                                                       (27)

将 ω_j  (j = 1,2,3) 排列成坐标阵 ω，可利用 R^* 和 Λ 矩阵简洁地表示为

                                                                                                                             (28)

从式(27)导出欧拉参数 λ_k (k = 0,1,2,3)的 4 个变系数线性微分方程组：

                                                                                                 (29)

由于存在关系式(26)，此方程组只有 3 个方程是独立的。与附录中用卡尔丹角（或欧拉角）表示的非线性运动学方程 (5) 比较，线性方程组 (29) 的数值积分有明显优点。

参考文献：

[1]  Rodrigues O. Des lois géométriques qui régissent les déplacements d’un système solide dans l’espace, et de la variation des coordonnées provenant de ses déplacements consideérés indépendamment des causes qui peuvent les produire. Journal des Mathematiques Pures et Appliquées, 1840, 5: 380-440.

[2]  Hamilton WR. On quaternions: or a new system of imaginaries in algebra. Philosophical Magazine, 1844, 25: 489-495.

[3]  Cayley A. On certain results relating to quaternions. Philosophical Magazine, 1845: 141-145.

      （改写自：刘延柱. 高等动力学(第二版)，4.1节. 北京：高等教育出版社，2016）

附录：刚体角速度的数学表达

3.    角速度的方向余弦表达：