传统杂技里的独轮车表演已有一百多年历史。1870 年英国人斯塔利 (Starley,J.K.) 发明了双轮自行车（图1）。这个新发明曾戏称为 “Penny-farthing” ，意思是  “ 1 又 1/4 便士” 。因为高大的前轮带一个矮小的后轮恰似一个大硬币配一个小硬币。当骑车人紧急刹车时，会由于惯性令重心向前冲，带动后轮离开地面。如刹车太急骑车人会因惯性向前方摔出去。后来发现，后轮离地后只有一个轮子着地的自行车在驾车人的控制下也能稳定不倒。脚踏独轮车就此诞生，杂技表演里便多了一项特殊节目（图 2）。

 图1   斯塔利的双轮自行车

      图2   杂技中的独轮车

独轮车不仅是杂技舞台上的表演节目，而且是一项群众性体育活动。驾驶独轮车能协调人的综合平衡能力，增强灵活性而倍受青少年的喜爱（图 3）。国际独轮车大会暨独轮车锦标赛定期举行，吸引了几十个国家和地区的独轮车运动爱好者。2000 年在北京举办的第十届国际独轮车大会是参赛人数和比赛项目最多的一届。可见独轮车在杂技中具有的特殊地位。

图3  独轮车运动（引自网络）

独轮车依靠轮胎与地面接触的单点支承，与前几篇博文讨论的顶技和晃板等杂技类似，也是一只倒置的复摆。为使不稳定平衡转变为稳定平衡，所采用的方法有许多共同点。

独轮车的骑手通过脚蹬对车轮施加驱动或制动力矩。利用接触点的无滑动条件，转化为地面的摩擦力使车轮加速或减速。当行进中的骑手感觉身体向前或向后倾斜时，施加与倾斜方向相同的控制力矩使车体加速或减速，就能借助惯性力使身体恢复直立。当骑手感觉向左右侧倾斜时，则利用上躯干向相反的另一侧倾斜，以产生反方向的重力矩与之平衡。

这种稳定方法也适用于独轮车原地不动的情形。但骑手也可采用另一种稳定方法。即控制左右脚对脚蹬交替使力，使车轮在交变的激励力作用下往复滚动。与晃板的运动类似，仍可使车体的平均位置保持垂直。

为更清楚解释上述现象，将独轮车简化为由骑手下躯干连同固结的车架 B₁、车轮 B₂ 和骑手的上躯干 B₃组成的多体系统 {B} (图 4)。设独轮车整体绕垂直轴的转弯角度为 σ，与车架固结的骑手下躯干 B₁ 朝前后方的倾斜角为 θ，侧向倾斜角为 ψ，骑手的上躯干 B₃ 相对下躯干 B₁ 的侧弯角为 φ。设骑手的前方、侧方和垂直方向的坐标轴分别为 x, y, z 轴，系统 {B} 的质量为 m，相对总质心 O_c 的主惯量矩分别为 A, B, C，上躯干 B₃ 相对 x 轴的主惯量矩为 A₁，车轮 B₂ 绕转轴的主惯量矩为 J，转动角速度为 Ω，脚蹬传至车轮的驱动力矩减去阻力矩后为 M_c，地面对车轮的法向支承力 F_n 沿垂直轴，F_n = mg。摩擦力 F  沿前进方向，车轮匀速转动时，F = M_c/R，R为车轮 B₂ 的半径。设质心 O_c 至车轮与地面的接触点 P 的距离为 l，上躯干 B₁ 的质量和质心 O₁ 至总质心 O_c 的距离分别为 m₁ 和 l₁。引入参数 α = m₁l₁/ml，仅保留 θ 和 ψ 的一次项，列出系统 {B} 的动力学方程：

                                                                             (1a)                                                                                                                            (1b)

                                                                                                                          (1c)

列写车轮 B₂ 在驱动力矩 M_c 摩擦力 F 作用下绕极轴转动的动力学方程。利用车轮的纯滚动约束条件，导出 J (dΩ/dt) 与 F  和 M_c 的关系，代入方程 (1b)，化作

                                                                                                       (2)

上述方程的推导过程均在附录中给出。式 (1a), (1c), (2) 总共 3 个微分方程，组成独轮车的动力学方程组，含 6个未知变量：ψ ,θ, φ, σ, Ω, M_c。其中车轮转速 Ω 如预先给定，还须补充骑手对 φ 和 M_c 的控制规律，方可使方程组封闭。

图4  独轮车多体系统

对于独轮车匀速前进的一般情况，令方程 (1a), (2) 中 σ ≡ 0,  Ω 为常值。如骑手不采取控制措施，驱动力矩与阻力矩抵消，令 M_c = 0。上躯干无侧弯，令 φ ≡ 0。则式 (1a) 和式 (2) 解耦，特征方程为

                                                                                                             (3)

特征根为正实数，表明不加控制的独轮车的平衡不稳定。  

若骑手依据感觉到的倾斜角 θ 和 ψ，按以下控制规律对脚蹬施力和做弯腰动作： 

                                                                                                                (4)

代入方程组 (1)，设车体匀速直行，仍令  σ ≡ 0, Ω 为常值，式 (1c) 化作 dψ/dt = 0，式 (1a) 和式 (2) 解耦，化作

                                                                                         （5a）

                                                                                      (5b)                                

特征方程为

                                                                                      (6)

若方程 (6) 的所有系数均为正值，则特征值除零根以外均为纯虚数。按照线性系统的稳定性条件，平衡状态稳定。此条件要求控制规律中的系数 k₁, k₂ 满足

                                                                                                                     (7)

训练有素的骑手能保证此条件得到满足，以实现稳定的平衡。

原地不动的独轮车也能采用晃板的稳定方法。设骑手控制左右脚对脚蹬交替使力，对车轮施加往复变化的激励力矩 M_c = M_c0sinωt。代入方程 (2)，得到不稳定系统的受迫振动方程：

                                                                                    (8)

导出受迫振动的响应：

                                                                               (9)          车体在垂直平面内作周期摆动，其平均位置仍保持直立。

       独轮车的转弯过程也存在与自行车前轮类似的 “陀螺效应” 和 “离心力效应” 。当骑手向一侧倾斜时，也能使车轮进动促使车体转弯。设车轮匀速转动，Ω 为常值。若骑手连同车体朝一侧倾斜，使方程 (1c) 中出现 dψ/dt，积分一次后得到

                                                                                                                                    (10)

表明车体的侧向倾斜角 ψ 能使车轮进动，产生绕垂直轴的转弯角速度 dσ/dt。不过独轮车的转速 Ω 远低于自行车，陀螺效应十分微弱。即使是自行车，上述陀螺效应也只有理论意义，其实际效果已被 1971 年 Jones 的实验否定（参阅博文 “自行车的发明简史及力学原理”）。因此更有效的转弯方法是骑手靠下肢夹住车轮扭动，就能迅速转弯。由于施加的力矩为内力矩，车轮的转动必引起躯体的反方向扭动，必须待转弯完成后再恢复直立。

   （改写自：刘延柱. 独轮车运动的动力学解释. 力学与实践，1993, 15 (5) : 53-5

    刘延柱. 趣味刚体动力学(第2版)，2.1节. 北京：高等教育出版社，2018）

附录：独轮车的动力学方程